ВВЕРХ
Для доступа к меню нажмите правую кнопку мыши
ОБЪЕМ НАКЛОННОГО ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ТЕЛА
Теорема. Объем наклонного цилиндрического тела равен произведению площади его основания на высоту.
Доказательство. Пусть Т – наклонный цилиндр, F и Ф – его основания, ВЕ = Н – высота. Требуется доказать, что
об. T = пл.F·H. (5)
Через концы образующей АВ проведем две перпендикулярные к ней плоскости Р и Q. Тело, ограниченное этими плоскостями и продолженной боковой поверхностью, является прямым цилиндрическим, так как P || Q, а все образующие им перпендикулярны. Обозначим это прямое цилиндрическое тело через Т1, а его нижнее и верхнее основания через F1 и Ф1.
Тело Т1 и тело ADM, ограниченное сечениями F и F1, соприкасаются по F1 и вместе составляют тело ADNB. Поэтому, согласно свойству 2 объема, имеем
об. ADNВ = об. Т1 + об. ADM. (a)
Но это же тело ADNB составлено из данного наклонного цилиндрического тела Т и тела BCN, ограниченного сечениями Ф и Ф1. Поэтому
об. ADNВ = об. T + об. BCN. (б)
Покажем, что тела ADM и BCN равны. С этой целью передвинем тело ADM вдоль образующих на длину АВ. При этом точка А совместится с В, точка D – с точкой С, точка М – с точкой N. Фигура F совместится с равной и параллельной ей фигурой Ф, а фигура F1 – с фигурой Ф1.
Таким образом, тела ADM и BCN полностью совместятся, следовательно, они равны, а тем самым и равновелики, т. е.
об. ADM = об. BCN. (в)
Сравнивая теперь соотношения (а) и (б) и учитывая равенство (в), получаем
об. Т = об. T1
Согласно теореме § 3 об.T1 = пл. F1·AB.
Обозначим через φ линейный угол двугранного угла между плоскостями, в которых лежат основания F и F1. Очевидно, этот угол равен углу ABE между высотой BE и образующей АВ. Так как F1 является проекцией F на плоскость Р, то по лемме о площади проекции пл. F1 = пл. F·cos Φ и
об. Т1 = пл. F·cos φ·AB. (г)
Учитывая, что AB·cos φ = H, из равенства (г) получаем
об. Т = об. T1 = пл. F·H,
что и требовалось доказать.
Следствие 1. Объем наклонной призмы равен произведению площади ее основания на высоту:
Vпр = Sосн·H. (6)
Следствие 2. Объем наклонного цилиндра, в основании которого лежит круг, равен произведению площади круга на высоту.
Если R – радиус основания, а H – высота, то
Vцил = π R ²·H. (7)
Сопоставляя результаты § 3 и 4, мы получаем единую формулу для вычисления объема любого цилиндрического тела.
Объем любого цилиндрического тела равен произведению площади его основания на высоту.