ВВЕРХ
Для доступа к меню нажмите правую кнопку мыши
ОБЪЕМ УСЕЧЕННОГО КОНУСА
Теорема. Объем усеченного конуса, площади оснований которого равны S1 и S2, а высота равна Н, находится по формуле
. (11)
Доказательство. Усеченный конус дополним до полного. Тогда объем усеченного конуса равен разности объемов двух конусов с общей вершиной А и основаниями F и Ф.
Обозначая высоту АО1 дополнительно построенного конуса через х, имеем
. (*)
В этом равенстве величина х нам неизвестна. Для ее нахождения воспользуемся формулой
,
откуда, извлекая из обеих частей равенства квадратный корень, получим
.
Применяя свойство производной пропорции, находим
,
откуда
.
Заменим в формуле (*) х найденным значением:
,
что и требовалось доказать.
Полученная формула позволяет находить объемы таких усеченных конусов, площади оснований которых мы умеем вычислять. К таким усеченным конусам относятся, например, усеченная пирамида, усеченный круговой конус и т. д.
Следствие 1. Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле
, (12)
где А и В – площади многоугольников, лежащих в ее основаниях, а H – высота.
Следствие 2. Объем усеченного кругового конуса вычисляется по формуле
, (13)
где R и r – радиусы оснований, а Н – высота.