Объем шарового сегмента
Объем шара
Объем шарового сектора
Оглавление
Предметный указатель
Литература

ОБЪЕМ ШАРА И ЕГО ЧАСТЕЙ

   Теорема 1. Объем шарового сегмента вычисляется по формуле
                        (14)
где R – радиус шара, а Н – высота сегмента.
   Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда H ≤ R. Разделим высоту сегмента АВ на n равных частей и через точки деления О1, О2, ... , Оn (считая от точки A) проведем плоскости, перпендикулярные высоте АВ. В сечении этих плоскостей с шаром образуются круги с радиусами
r1 = O1A1, r2 = O2A2, …rn - 1 = On - 1An - 1.
На этих кругах построим цилиндры с высотой . Эти цилиндры образуют ступенчатое тело, содержащееся внутри данного шарового сегмента. Его объем
.                        (*)
Величина rk² есть средняя пропорциональная между отрезками и . Следовательно,
и
Будем неограниченно увеличивать n. Тогда
.
   Ступенчатое тело, состоящее из цилиндров с высотами и радиусами оснований r1; r2, ...,rn - 1, rn = BAn, содержит данный шаровой сегмент. Его объем
.
Так как , то
.
По определению объема тела отсюда следует, что
.
   Следствие. Объем шара вычисляется по формуле
                        (15)
   Действительно, полагая в формуле (14) H = R, получим объем полушара. Поэтому
.
   Замечание. Теперь можно показать, что формула (14) справедлива и в том случае, когда высота сегмента H > R.
   Объем V такого шарового сегмента можно получить как разность между объемом шара и объемом V1 сегмента с высотой 2R - H = h, где h < R. Тогда
.
   Теорема 2. Объем шарового сектора вычисляется по формуле
,
где H – высота этого сектора.
   Доказательство. Объем простого шарового сектора равен сумме объемов шарового сегмента и конуса:
,
где
h = R — H, r² = H (2 R - H).
   Поэтому
.
Объем полого шарового сектора равен разности объемов двух простых секторов:
.