Определения
Площадь боковой поверхности прямой призмы
Площадь боковой поверхности пирамиды
Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды
Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра
Площадь боковой поверхности прямого кругового конуса
Оглавление
Предметный указатель
Литература

ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ МНОГОГРАННИКОВ,
ЦИЛИНДРОВ И КОНУСОВ

         Поверхность многогранника сострит из плоских граней – многоугольников. Поэтому площадь поверхности многогранника равна сумме площадей всех его граней.
   Для цилиндрических и конических тел вводятся понятия площади боковой поверхности и площади полной поверхности.
   Площадь боковой поверхности призмы и пирамиды равна сумме площадей всех их боковых граней.
   Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра определяется как общий предел площадей боковых поверхностей правильных вписанных и соответственно описанных призм, когда число сторон основания этих призм неограниченно удваивается.
   Аналогично вводится понятие площади боковой поверхности конуса и усеченного конуса. Площадью боковой поверхности прямого кругового конуса называется общий предел, к которому стремятся площади боковых поверхностей правильных пирамид, вписанных и соответственно описанных около конуса, когда число сторон основания этих пирамид неограниченно удваивается.
   Площадь полной поверхности этих тел складывается из площади их боковых поверхностей и площади оснований.
   Приведем основные формулы для вычисления площадей поверхностей указанных тел.

   Теорема 1. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра ее основания на высоту.

   Доказательство. Боковые грани такой призмы – прямоугольники с общей высотой H, равной высоте призмы. Обозначая стороны основания призмы через а, b, с, . . ., q, получим
S6oк пр = a H + b H + c H + .. .+ q H = (a + b + c + ...+ q) H = Р·H,                        (17)
где Р - периметр основания призмы.

   Теорема 2. Площадь боковой поверхности пирамиды, боковые грани которой имеют равные между собой апофемы, равна произведению полупериметра ее основания на апофему.

   Доказательство. Боковая поверхность такой пирамиды состоит из треугольников с равными высотами. Обозначая через l апофему, а через а, b, с, ..., q - стороны основания, имеем
,                        (18)
где р - полупериметр основания.
   Следствие. Площадь боковой поверхности пирамиды с равными апофемами боковых граней равна площади ее основания, деленной на косинус угла наклона ее боковых граней к плоскости основания:
,                        (19)
   Доказательство. Из равенства апофем вытекает равенство их проекций r на плоскости основания и равенство двугранных углов при основании, причем апофема . По теореме 2
,
так как p·r = Sосн.
   Замечание. Теорема 2 и следствие справедливы, в частности, для любой правильной пирамиды. Требование равенства апофем можно заменить равенством двугранных углов при основании пирамиды и другими эквивалентными условиями.

   Теорема 3. Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды с равными апофемами боковых граней равна произведению суммы полупериметров ее оснований на апофему.

   Доказательство предоставляется читателю.

   Теорема 4. Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра равна произведению длины окружности его основания на высоту.

   Доказательство. Впишем в цилиндр правильную n - угольную призму. Площадь ее боковой поверхности sn = Pn·H, где Pn - периметр многоугольника ее основания, а H - образующая цилиндра. При неограниченном удвоении числа сторон основания
.
Площадь Sn боковой поверхности правильной n - угольной призмы, описанной около цилиндра, равна Qn·H, где Qn – периметр n - угольника, описанного вокруг основания цилиндра:
.
   Согласно определению площади боковой поверхности цилиндра
Sбок. пов = 2 π R·H.                        (20)
   Теорема 5. Площадь боковой поверхности прямого кругового конуса равна половине произведения длины окружности его основания на образующую:
Sбок. кон = π R l                        (21)
   Доказательство. Площадь боковой поверхности правильной n - угольнои вписанной пирамиды , площадь боковой поверхности правильной n - угольной описанной пирамиды . Так как и , то по определению
Sбок. кон = π R l.
   Замечание. Так как , а , то .
   Площадь боковой поверхности прямого кругового усеченного конуса можно получить как разность площадей боковых поверхностей двух конусов.
   Теорема. Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы периметров его оснований на образующую:
Sбок. ус. кон = π( R + r ) 1.                        (22)
   Доказательство. Достроим усеченный конус до полного и обозначим через х образующую достроенной части. Тогда
Sбок. ус. кон = π R ( l + x ) - π r x = π R l + π ( R - r ) x.                        (*)
Для определения величины х составим пропорцию
,
откуда ( R - r ) x = r l. Возвращаясь к соотношению (*), находим
Sбок. ус. кон = π R l + π r l = π ( R + r ) l.