Площадь поверхности шарового слоя (сегиента)
Площадь поверхности шара
Оглавление
Предметный указатель
Литература

ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ШАРА И ЕГО ЧАСТЕЙ

   Определение. Площадью поверхности тела, образованного вращением дуги окружности вокруг неперссекающего ее диаметра, называется предел, к которому стремится площадь поверхности тела, образованного вращением вокруг той же оси правильной ломаной, вписанной в указанную дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно удваивается.

   Теорема. Площадь поверхности шарового слоя, а также шарового сегмента равна произведению их высоты на длину большого круга шара:

Sшар. слоя = 2 π R H; Sшар. сегм = 2 π R H.                        (23)
   Доказательство. Шаровой пояс образован вращением дуги АВ вокруг диаметра MN (если точки М и А совпадают, то получается шаровой сегмент).
   Впишем, в дугу АВ правильную ломаную. При ее вращении вокруг MN звенья ломаной могут описывать либо боковую поверхность усеченного конуса (например, АЕ), либо боковую поверхность кругового конуса (если конец звена совпадает с концом оси), либо боковую поверхность кругового цилиндра.
   Проведем апофемы OD, ОК, … . Длину апофем обозначим через rn: OD = ОК = ... = rn. Найдем площадь поверхности, которую описывает произвольное звено, например АЕ. Так как D1D – средняя линия трапеции ЕЕ1А1А (DD1 ⊥ MN), то
   Мы использовали равенство углов АЕЕ1 и D1OD. Вывод остается верным для любого звена взятой ломаной. Тогда площадь боковой поверхности, образованной вращением всей ломаной,
Sлом = 2 π rn MA1 + 2 π rn A1E1 + 2 π rn E1F1 + 2 π rn F1B1 = 2 π rn ·H,
где
Н = МА1 + А1Е1 + E1F1 + F1B1 = А1В1.
При неограниченном удвоении числа звеньев ломаной апофема неограниченно приближается к радиусу окружности. Следовательно,
,
и, согласно определению,
S шар.слоя = 2 π R H.
   Следствие. Площадь поверхности шара вычисляется по формуле
Sшара = 4 π R².                        (24)
   Действительно, полагая в предпоследнем равенстве Н = 2 R, получим формулу (24).