19_2

ВВЕРХ

Общие положения

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Оглавление

Предметный указатель

Литература

Для доступа к меню нажмите правую кнопку мыши

УГОЛ И РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ

Как известно, за один из углов между скрещивающимися прямыми р и q принимают угол, образованный двумя лучами ОА и ОВ, выходящими из одной точки О и соответственно параллельными данным прямым: ОА || р и OB || q. Точка О выбирается произвольно и, в частности, может быть взята на одной из скрещивающихся прямых. Вообще, выбор точки О зависит от конкретной задачи. Если через одну из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость, перпендикулярную другой, то эти прямые образуют угол в 90°. В этом случае легко построить их общий перпендикуляр. Для этого достаточно из точки А пересечения прямой q с перпендикулярной ей плоскостью Р опустить перпендикуляр АВ на прямую р, лежащую в плоскости Р. Длина этого перпендикуляра и есть расстояние между прямыми р и q (см. задачу 1). В общем случае, чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми р и q, нужно через одну из них (например q) провести плоскость Q, параллельную другой (р). Тогда расстояние от любой точки прямой р до параллельной ее плоскости Q и есть искомое расстояние между скрещивающимися прямыми р и q.

Задача 1. Ребро правильного тетраэдра равно а. Найти угол и расстояние между его скрещивающимися ребрами.
Решение. Найдем угол и расстояние между ребрами ВС и AS. Из точки A опустим на ребро ВС перпендикуляр AD и соединим D с S. Так как ВС

SO (S0 – высота) и ВС

AD, то ВС

пл. ASD и, следовательно, ВС

AS.
Чтобы найти расстояние между AS и ВС, проведем в плоскости ASD прямую DE

AS. Так как DE

BC и DE

AS, то DE является общим перпендикуляром скрещивающихся прямых ВС и AS. Кроме того, ED – высота в треугольнике ASD, в котором

и AS = a. Поэтому

. Задача 2. В кубе, ребро которого равно а, найти угол и расстояние:

1) между ребром и скрещивающейся с ним диагональю куба;
2) между диагональю грани и скрещивающейся с ней диагональю куба;
3) между скрещивающимися диагоналями двух смежных граней.

Решение. 1) В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ рассмотрим ребро АА₁ и диагональ DB₁. Так как АА₁ || ВВ₁, то угол DB₁B равен искомому углу между скрещивающимися прямыми АА₁ и DB₁ и легко находится из треугольника DB₁B, в котором ВВ₁ = а,

B₁BD = 90°. Поэтому

.
Для определения расстояния между прямыми АА₁ и DB₁ заметим, что прямая АА₁ параллельна плоскости BDD₁B₁, в которой лежит прямая DB₁. Искомое расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из любой точки прямой АА₁ на эту плоскость. Проведем диагональ AC. Taк как AC

BD и АС

ВВ₁, то AC

пл. BDD₁B₁ и

и есть искомое расстояние.
2) Решим задачу относительно прямых AD₁ и DB₁. Рассмотрим сечение A₁DCB₁, в котором лежит прямая DB₁. Так как AD₁

A₁D и AD₁

A₁B₁, то AD₁

пл. A₁DCB₁, в частности, AD₁

DB₁, т. е. угол между AD₁ и B₁D равен 90°.
Из точки Е пересечения AD₁ с сечением A₁DCB₁ проведем в плоскости сечения EF

DB₁. Отрезок EF является общим перпендикуляром прямых AD₁ и DB₁ и легко находится из треугольника DEK. В самом деле,

, EK = DC/2 = a/2 и

Но EF·DK = DE·EK, поэтому

, откуда

.
3) Возьмем диагонали AD₁ и DC₁. Так как AD₁ || BC₁, то угол между прямыми AD₁ и DC₁ равен углу DC₁B. Так как треугольник DC₁B равносторонний, то

DC₁B = 60°.
Расстояние между AD₁ и DC₁ равно расстоянию от прямой AD₁ до параллельной ей плоскости DC₁B. Опустим из точки D₁ перпендикуляр D₁O на плоскость DC₁B. Соединив вершины D, В и C₁ с точкой D₁ получим пирамиду D₁DBC₁, в которой D₁O является высотой. В основании пирамиды лежит правильный треугольник DC₁B (DB = BC₁ = DC₁ = a

), ребра D₁C₁ = D₁D = a и D₁B = a

. Так как D₁C₁ = D₁D, то основание высоты лежит на биссектрисе угла В.
Рассмотрим треугольник BD₁E, в котором D₁O является высотой. В нем нам известны все стороны:

. Заметим, что D₁B² > BE² + D_lE², т. е. треугольник D₁BE – тупоугольный. Определив угол D₁BE:

, найдем OD₁:

Задача 3. В правильном тетраэдре SABC отрезок MN соединяет середины ребер АВ и SC, а отрезок PQ соединяет середину ребра AS с центром грани ABC. Найти угол между MN и PQ.

Решение. Через ребро CS и точку М проведем плоскость, которая в пересечении с тетраэдром образует треугольник SMC. В этом треугольнике

и CS = a, где а – ребро тетраэдра. Отсюда Проведем в плоскости CMS прямую QE || MN. Образовавшийся при этом угол PQE и есть искомый. Его можно найти из треугольника PQE, если предварительно вычислить стороны EQ, PQ и РЕ.

1) Δ MNC Δ QEC; , . Далее, ; .
2) PQ является медианой прямоугольного треугольника AQS, проведенной из вершины прямого угла. Следовательно, .
3) РЕ является стороной треугольника PSE, в котором PSE = 60°, РS = a/2, SE = SC − EC = 2a/3. По теореме косинусов . Теперь в треугольнике PEQ нам известны все три стороны. Снова используя теорему косинусов, находим , откуда .