ЗАДАЧИ НА СЕЧЕНИЯ
Чтобы определить сечение в случае многогранника, нужно найти прямые пересечения секущей плоскости с гранями многогранника. Для этого достаточно (если это возможно) определить точки пересечения секущей плоскости с его ребрами.
Если секущая плоскость параллельна какому-нибудь ребру многогранника, то она пересекается с плоскостью грани, содержащей это ребро, по прямой, параллельной ребру.
Задача 1. В произвольной треугольной призме ABCA1B1C1 проведено два сечения. Первое сечение проходит через АВ и середину A1C1, а второе – через A1B1 и середину СС1. Найти отношение длины отрезка линии пересечения этих сечений, заключенного внутри призмы, к длине отрезка АВ.
Решение. Построим каждое из указанных сечений. Первое сечение пересекает грань AA1C1 по прямой АЕ, где Е – середина отрезка A1C1. Так как АВ || А1В1, то секущая плоскость параллельна прямой A1B1 и, следовательно, пересекает основание А1В1С1 по прямой EF || A1B1. Соединив точки F и В, получим прямую пересечения грани ВСС1В1 с секущей плоскостью. Таким образом первое сечение есть трапеция ABFE. Второе сечение – треугольник А1QB1. Так как плоскость ABFE параллельна прямой А1В1, то оба сечения пересекаются по прямой, параллельной А1В1: MN || A1B1.
Чтобы найти искомое отношение MN/AB или MN/A1B1 , рассмотрим подобные треугольники A1B1Q и MNQ. Имеем
. (*)
или 
,
. (**)
.Решение. Пусть К лежит на ребре CS и SK : KC = 2 : 1. Сечение проходит через прямую АК и параллельно диагонали BD. Следовательно, плоскость SBD пересекает это сечение по некоторой прямой MN, параллельной BD. Высота SO треугольника SBD пересекает отрезок MN в точке O1 причем MO1 = O1N (Δ SBD – равнобедренный). Так как точка O1 лежит и на прямой АК, то она может быть получена как пересечение прямой АК с высотой SO треугольника SBD. Получив точку О1, проводим через нее.в плоскости SBD прямую, параллельную BD. Она пересечет ребра SB и SD в точках N и М соответственно. Соединив последовательно точки A, N, К и М, получим четырехугольник ANKM. Так как BD
пл. ASC (BD АС и BD AS), a MN || BD, то MN пл. ASC, в частности, MN AK, т. е. диагонали полученного четырехугольника взаимно перпендикулярны. Поэтому SANKM = ½· MN·AK.Величину АК найдем из треугольника SAC, где
А = 90°, AC = a 
, AS = h и SK : КС = 2 : 1. Проведем КЕ АС. Очевидно, АЕ : ЕС = 2 : 1 и AS : KE = 3 : 1. Следовательно,
и 
.. Так как MN || BD, то 
и
.
.
Δ OO1L, откуда
, или 
, 
. (**)
, т. e. 
. Теперь из пропорции (**) находим
.
и
.Секущая плоскость по условию проходит через точки А и К параллельно диагонали BD. Чтобы построить сечение, достаточно указать точки пересечения секущей плоскости с ребрами SB и SD. Рассмотрим эту секущую плоскость за пределами пирамиды. Так как плоскость проходит через точку А и параллельна BD, то ей будет принадлежать прямая PQ, проходящая через точку А и параллельная BD.
Продолжим ребра основания СВ и CD до пересечения с прямой PQ в точках Е и F. Точки Е и К принадлежат как секущей плоскости, так и плоскости грани SBD. Следовательно, прямая КЕ является линией пересечения секущей плоскости с плоскостью боковой грани CSB. Эта прямая пересекает ребро SB в точке М (а грань CSB – по отрезку КМ). Аналогично получаем точку N на ребре SD, как точку пересечения этого ребра с прямой KF. Итак, сечением является четырехугольник AMKN.
Заметим, что его площадь можно получить как разность между площадью треугольника EKF и площадями двух равных треугольников АМЕ и ANF.
Рассмотренный способ продолжения секущей плоскости за пределы многогранника является весьма удобным, а иногда и единственным методом для построения сечений. Так как он используется учащимися крайне редко, то рассмотрим еще две задачи, связанные с сечениями и решаемые указанным методом продолжения секущей плоскости.
Задача 3. В правильной шестиугольной пирамиде боковые грани образуют с плоскостью основания углы в 60°, ребро основания равно а. Через ребро нижнего основания перпендикулярно к противолежащей ему боковой грани проведена плоскость. Найти площадь полученного сечения.
Решение. Пусть секущая плоскость проходит через ребро АВ. Построим высоту пирамиды SO и из середины ребра АВ проведем прямую КО до пересечения с ребром ED в точке L. Точку L соединим с S. Очевидно, AВ
пл. KLS, так как AB SO и АВ KL. В треугольнике KLS проведем KR SL. Прямая KR лежит в секущей плоскости, которая пересекает грань DES по прямой MN || ED (так как АВ || ED). Таким образом, мы нашли точки пересечения секущей плоскости с ребрами SE и SD.
Для того чтобы найти точки пересечения секущей плоскости с ребрами SF и SC, продолжим ребра основания EF и DC до их пересечения с продолжением ребрами в точках Р и Q; Р соединим с М, а Q – с N. Прямая РМ пересечет ребро SF в точке Т, а прямая QN – ребро SC в точке G. Соединив Т с A и G с В, получим искомое сечение – шестиугольник ABGNMT. Его площадь равна разности между площадью трапеции PMNQ и площадью двух равных треугольников РТА и BGQ. Далее PQ = 3a, так как треугольники AFP и BGQ – равносторонние {
PAF = AFР = 60°); поэтому AP = AF = a и BQ = a. Высоту трапеции RK найдем из треугольника RLK, в котором LК = а 
, LRK = 90° и RLK = 60°. Следовательно, RK = LK·sin 60° = 3a/2, RL = a /2. Теперь легко вычислить верхнее основание MN. В треугольнике DES высота LS = LK = a
, RL = a /2 = SL/2, поэтому
MN = DE/2 = a/2. Следовательно, площадь трапеции
. ОKO1 = 30°, O1OK = 90°, OK = a/2 ) находим 
, а затем 
и окончательно подсчитываем площадь сечения:
.Решение. Секущая плоскость пересекает основание куба по отрезку AE, где Е – середина ребра ВС. Продолжим ребро DC до пересечения в точке Р с продолжением отрезка АЕ. Точки Р и М при надлежат и секущей плоскости, и плоскости грани CDD1C1, поэтому прямая PQ, проходящая через Р и М, является линией пересечения этих плоскостей. Она встречает ребро СС1 в точке F, а ребро DD1 – в точке Q. Соединив последовательно точки Е, F, Q и A, получим искомое сечение.
Уточним положение точек F и Q. В треугольнике ADP отрезок СЕ || AD и CE = AD/2. Следовательно, CD = CP = a (примем ребро куба за a. Пусть MN || DD1. В треугольнике MNP имеем: MN = a/2, MC = a/2, CP = a. Из пропорции MN : FC = NP : CP находим
. Далее 
, откуда 
. Найдем объем многогранника AQDEFC. Его можно получить как разность объемов двух пирамид – пирамиды PADQ и пирамиды PEFC:
,
,
.
. Следовательно, секущая площадь делит объем куба в отношении 7 : 29.