Тождества
Уравнения
Тождественные преобразования
Оглавление
Предметный указатель
Литература

§ 1. РАВЕНСТВА АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

   Алгебраическим выражением называется выражение, составленное из чисел (обозначенных буквами или цифрами) при помощи алгебраических действий (сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня). Предполагается, что указанные действия применяются конечное число раз.
   Алгебраическое выражение, содержащее величины х, у, …, z, сокращенно записывается в виде А (х, у, ..,, z). Заранее должно быть указано, на каком множестве оно рассматривается, т. е. какие значения могут принимать величины х, у, … z - действительные или комплексные, или целые и т. д.
   Значения величин, при которых выполнимы все действия, указанные в выражении A, называются допустимыми значениями. Они образуют область определения или множество допустимых значений выражения А. Иногда в связи с конкретным смыслом А на допустимые значения налагаются дополнительные условия.
   В дальнейшем алгебраические выражения будем рассматривать на множестве действительных чисел, если не сделано специальных оговорок.
   При совместном рассмотрении нескольких алгебраических выражений нужно брать общую часть их областей определения. Например, рассматривая совместно выражения
считают, что х ≠ - 1, x ≠ 0, y ≠ - 2.
   Два алгебраических выражения А и В, соединенные знаком равенства (=), образуют равенство:
A = B.                        (1)
   При любом конкретном выборе значений величин (из общей части областей определения выражений А и В) равенство (1) обращается в числовое равенство. Полученное числовое равенство может быть справедливым (верным) или несправедливым (ложным). Например, очевидно, что равенство х² + 1 = − х4 является несправедливым для любого действительного числа х.
   О п р е д е л е н и е 1. Равенство, верное для всех допустимых значений, входящих в него величин, называется тождеством. Тождествами называются также и все верные числовые равенства.
   Для обозначения тождественности двух выражений применяется также символ ≡:
А (х, у, . . . , z) ≡ В (х, у, .... z).                        (2)
Простейшими тождествами являются равенства, выражающие основные свойства арифметических действий:
a + b ≡ b + a, (a + b) + c ≡ a + (b + c), a·b ≡ b·a,
(а·b)·с ≡ а·(b·с), (a + b)·c ≡ a·c + b·c.
   О п р е д е л е н и е 2. Равенство, верное не для всех допустимых значений входящих в него величин, называется уравнением.
   Таким образом, равенства (1) бывают двух видов: тождества и уравнения.
   Замечание. Понятия равенства, тождества и уравнения установлены не только для алгебраических, но и для любых математических выражений.
   Тождества (2) обладают следующими основными свойствами:
  1. Если А ≡ В и B ≡ С, то А ≡ С;
  2. Если А ≡ В, то А + С ≡ В + С;
  3. Если А ≡ В, то А·С ≡ В·С,
где выражения А, В и С рассматриваются на одном и том же множестве допустимых значений.
   Переход от алгебраического выражения А к тождественному с ним алгебраическому выражению В называется тождественным преобразованием.