Рациональные алгебраические выражения
Иррациональные алгебраические выражения
Многочлен
Алгебраическая дробь
Однородное алгебраическое выражение
Симметрическое алгебраическое выражение
Оглавление
Предметный указатель
Литература

§ 2. КЛАССИФИКАЦИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

   Алгебраические выражения подразделяются на рациональные и иррациональные.
   Алгебраическое выражение называется рациональным относительно какой-нибудь величины, входящей в это выражение, если над этой величиной производятся только действия сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень.
   Алгебраическое выражение называется иррациональным относительно какой-нибудь величины, если оно содержит эту величину под знаком корня (радикала).
   Если говорят "рациональное алгебраическое выражение", не добавляя относительно каких величин, то предполагается, что оно рационально относительно всех величин, которые входят в это выражение. Например, выражения
2 + x - x³,
– рациональные выражения, а выражения иррациональны относительно х и последнее из них рационально относительно у.
   Рациональные выражения подразделяются на целые и дробные.
   Целым рациональным выражением или многочленом (полиномом) относительно какой-нибудь величины называется выражение, в котором над этой величиной производятся только действия сложения, вычитания и умножения. Например, - многочлен относительно у.
   Многочлен n - й степени относительно х имеет вид
P(x) = a0·xn + a1·xn-1 + … + an-1·x + an,                        (3)
(где а0 = ≠ 0, n ≥ 0 − целое число), если его расположить по убывающим степеням х. Тот же многочлен Р (х) можно расположить и в ином порядке, например, по возрастающим степеням x.
   Многочленом нулевой степени является любое не равное нулю число. Число нуль также считается многочленом; это единственный многочлен, степень которого не определена.
   Многочлен или целое рациональное выражение Р (х, у, ..., z) является суммой членов вида
a·xk·yl…zq                        (4)
где а - числовой коэффициент, k, l, ..., q − неотрицательные целые числа.
   Выражение (4) называется одночленом, а сумма k + l + … + q − степенью одночлена. Очевидно, что одночлен - частный случай многочлена.
   Многочлен Р(х, у, ..., z) равен сумме одночленов. Наибольшая из степеней одночленов, составляющих многочлен, называется степенью многочлена (относительно совокупности величин х, у, ..., z).
   Дробным рациональным выражением, или алгебраической дробью называется отношение двух многочленов
                        (5)
   Алгебраическое выражение A (х, у, ..., z) называется однородным с показателем однородности α, если при любом t и х, у, . .., z
A (t·х, t·у, ..., t·z) = tα·A (х, у, ..., z)                        (6)
(лишь бы левая и правая части этого соотношения имели смысл).    Например, для A = √2 x − y имеем
Следовательно, выражение А однородно с показателем α = ½.
   Выражение В(х, у) = х − у + 2 не является однородным, так как условие (6) здесь не выполняется ни при каком α.
   Замена в алгебраическом выражении А (х, у, ..., z) первой буквы второй, второй буквы третьей и т. д., наконец, последней буквы первой называется круговой перестановкой величин х, у, ..., z. На рис. 8 изображена круговая перестановка трех величин. Она переводит х в у, у в z, z в х. Повторная круговая перестановка переводит у в z, z в х, х в у.
   Алгебраическое выражение А (х, у, ..., z) называется симметрическим, если оно не изменяется при любой круговой перестановке. Например, выражение
является симметрическим, а выражение x + y − z не является симметрическим.