ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ, СВЯЗАННЫЕ С УРАВНЕНИЯМИ
Под множеством допустимых значений уравнения, если нет специальной оговорки, понимают множество числовых значений буквенных величин, входящих в выражения А и В, при которых они одновременно имеют смысл.
Следует иметь в виду, что одно и то же равенство может быть как уравнением, так и тождеством в зависимости от того, на каком оно множестве рассматривается.
Например, равенство
, рассматриваемое на множестве действительных чисел,- уравнение (например, 
). Но если это равенство рассматривать на множестве действительных неотрицательных чисел, то это уже не уравнение, а тождество, так как 
(x ≥ 0).Буквенные величины, входящие в уравнение, по условию задачи могут быть неравноправными. Одни могут принимать все свои допустимые значения. Тогда их называют известными, или параметрами уравнения. Другие буквенные величины называют неизвестными. В зависимости от числа неизвестных, входящих в уравнение, последнее называют уравнением с одним, с двумя и т. д. неизвестными.
При постановке задач, связанных с уравнениями, должно быть указано, какие из буквенных величин, входящих в уравнение, считать неизвестными, а какие - параметрами. Иначе задача может стать неопределенной.
Поэтому обычно неизвестные величины в уравнениях обозначаются последними буквами латинского алфавита: х, у, z, ..., а параметры – начальными: а, b, с, т, п и т.д. и в таких случаях уже не делают специальных указаний.
Значения неизвестных, принадлежащие множеству допустимых значений уравнения и удовлетворяющие уравнению (т. е. обращающие его в справедливое равенство), называют корнями уравнения, или решениями. Решить уравнение – это значит найти все его корни (решения).
Например, уравнение х ² + 1 = 0, рассматриваемое на множестве комплексных чисел, имеет два корня х1 = i, х2 = - i. Уравнение х2 + у2 = 0, рассматриваемое на множестве действительных чисел, имеет одно решение х = 0, у = 0 (а не два, как иногда неправильно считают).
Множество корней уравнения может быть конечным (см. предыдущий пример), бесконечным или пустым (уравнение не имеет ни одного решения).
Например, уравнение sin x = 1 имеет бесконечное множество корней
k = 0, ± 1, ± 2, ...,
Если уравнение не имеет корней, то говорят, что оно противоречивое.
Классификацию уравнений (их название) проводят по характеру математических операций, выполняемых над неизвестными. Так, различают уравнения алгебраические и трансцендентные. В алгебраических уравнениях над неизвестными могут совершаться, притом в конечном числе, лишь операции сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в целую степень и извлечения корня.
Если над неизвестными совершаются и другие операции, как например, возведение в иррациональную степень, взятие логарифма, синуса и т. п., то уравнение называют трансцендентным. Вообще к трансцендентным уравнениям относят все неалгебраические уравнения.
Например, уравнение
), а уравнение
Частными случаями алгебраических уравнений являются уравнения рациональные (отсутствует операция извлечения корня над выражением, содержащим неизвестные) и иррациональные (есть операция извлечения корня). Например, уравнение
– рациональное, а уравнение 
– иррациональное.Рациональные уравнения в свою очередь подразделяются на целые рациональные (нет операции деления на выражения, содержащие неизвестные) и дробные рациональные (есть операции деления на выражения, содержащие неизвестные). Например, уравнение x ³ + 2·x ² - y ² + 3 = 0 – целое рациональное, уравнение
Частными случаями трансцендентных уравнений являются показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения и уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции.
Методы решения уравнения основаны на понятии равносильности (эквивалентности) уравнений.
Определение. Если все корни уравнения А = В являются в то же время корнями уравнения A1 = B1, то последнее уравнение называют следствием первого.
Определение. Два уравнения называют равносильными (эквивалентными), если каждое из них является следствием другого.
Из этих определений следует, что уравнение-следствие может иметь и другие корни, кроме корней исходного, а равносильные уравнения имеют одни и те же корни. Одни и те же два уравнения могут быть равносильными или неравносильными в зависимости от того, на каком множестве чисел они рассматриваются. Например, уравнения (x + 2)·(x ² + 1) = 3·(x ² + 1)и x + 2 = 3, рассматриваемые на множестве действительных чисел, равносильные (оба имеют один лишь действительный корень х = 1), но если их рассматривать на множестве комплексных чисел, то они уже не равносильные (первое уравнение, кроме 1, имеет еще корни ± i, т. е. оно является следствием второго уравнения). Два противоречивых уравнения, очевидно, равносильны, так как они оба не имеют корней).
При решении уравнения путем различных преобразований стараются заменить его более простым, равносильным ему уравнением. Однако такая замена не всегда удается. Тогда возможны следующие два случая.
- При переходе к новому уравнению может произойти потеря корней. Ясно, что такой переход недопустим, так как решить уравнение-это значит найти все его корни. Поэтому при переходе к новому уравнению надо тщательно следить за тем, чтобы такая потеря не могла произойти.
- Новое уравнение может содержать корни, не являющиеся корнями исходного (так называемые посторонние корни). Посторонние корни можно выделить проверкой (подстановкой всех корней нового уравнения в исходное), но сделать это иногда технически трудно. Чтобы избежать непосредственной проверки, на неизвестные и параметры в новом уравнении накладывают некоторые дополнительные ограничения, при которых это уравнение будет равносильным исходному. Тогда достаточно проверить – удовлетворяют ли найденные корни нового уравнения этим ограничениям или нет.
равносильно уравнению
a·b·[a·(b + x) + b·(a + x)] = (a + b) ²·(a + x)·(b + x) при условии, что параметры второго уравнения удовлетворяют условию a·b ≠ 0 , а неизвестное условию x ≠ - a и x ≠ - b. Если мы решим второе уравнение и из его корней исключим значения х = - а и х = - b (если такие будут), то все остальные корни, и только они, будут решениями первого уравнения (конечно при условии, что в формулах этих корней а·b ≠ 0). Подробно о решении этого уравнения см. гл. IV, § 1, пример 2.Если все же при решении уравнения не удалось избежать действий, которые могут привести к появлению посторонних корней, и нельзя указать дополнительные условия, то нужно обязательно делать проверку корней путем подстановки их в исходное уравнение. Иначе решение считают неполноценным (даже если на самом деле посторонние корни и не появились). В остальных случаях проверка не нужна (при условии, конечно, что сами вычисления проводятся без ошибок).