Общие понятия
Общие подходы к решению
Пример 1
Пример 2
Оглавление
Предметный указатель
Литература

СИСТЕМА, СОСТОЯЩАЯ ИЗ ОДНОГО ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ И ОДНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ

   Такая система может быть представлена в виде
                        (33)
где хотя бы один из коэффициентов а и b, а также А, В и С не равны нулю.
   Пусть, например, b ≠ 0 (в случае а ≠ 0 рассуждаем аналогично). Тогда из первого уравнения находим
                        (34)
Подставляя у во второе уравнение системы и производя приведение подобных, получим уравнение
а'х2 + b'х + с' = 0,                        (35)
где
Возможны следующие случаи.
  1. а' ≠ 0. Тогда из уравнения (35) находим значения х (вообще говоря, два) и, подставляя их в равенство (34), найдём соответствующие значения у.
  2. а' = 0, b' ≠ 0. В этом случае из уравнения (35) имеем х = - c'/b' и из (34) находим соответствующее значение у.
  3. а' = b' = 0, с' ≠ 0. В этом случае уравнение (35) противоречивое и, следовательно, система решений не имеет.
  4. а' = b' =с' = 0, т. е. уравнение (35) удовлетворяется тождественно при любых х. Все решения системы содержатся в формуле (34), где х - любое.
   Пример 1. Решить систему
   Решение. Из первого уравнения находим х = m·у + 1. После подстановки во второе уравнение и приведения подобных членов получим
(m2 -m - 2)·y2 + 2·(m - 2)·y + l = 0.                        (*)
Если m2 - m - 2 ≠ 0, т. е. m ≠ 2, m ≠ - 1, то из уравнения (*) находим у: ,а из формулы x = m·y + l соответствующие значения х:
.
Если m = - 1, то уравнение (*) принимает вид -6y + 1 = 0, откуда y = 1/6 и х = 5/6. Если m = 2, то уравнение (*) противоречиво и, следовательно, система не имеет решений.
    Частный случай системы (33)
                        (36)
целесообразней решать не способом подстановки, а с помощью вспомогательного квадратного уравнения.
   Действительно, согласно формулам Виета для корней квадратного уравнения, значения неизвестных х и у системы (36) должны быть корнями квадратного уравнения
z2 - pz + q = 0.
Найдя корни z1, и z2 этого уравнения, получим два решения системы (z1; z2) и (z2; z1) , если z1 ≠ z2, и одно решение (z1; z2), если z2 = z1.
    Пример 2. Решить систему
   Решение. Решая квадратное уравнение z2 + 3z + 2 = 0, находим z1 = - 2, z2 = - 1. Следовательно, решения системы (-2: -1) и (-1; -2).
   Замечание. Аналогично можно решать систему
если ее переписать в виде