Определение системы уравнений
ОДЗ уравнения
Классификация систем
Решение системы
Системы сследствия
Равносильные системы
Свойства систем
Cпособ подстановки
Пример
Оглавление
Предметный указатель
Литература

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ, СВЯЗАННЫЕ С СИСТЕМАМИ УРАВНЕНИЙ. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

   Совокупность двух и более уравнений А1 = В1, А2 = В2, ..., Аn = Вn, рассматриваемых совместно, называют системой уравнений и записывают
                        (S)
   Под множеством допустимых значений системы, если нет специальной оговорки, понимают множество числовых значений буквенных величин, входящих в выражения A1, Bl, А2, В2, ..., Аn, Вn, при которых все они одновременно имеют смысл.
   Классификацию систем (их названия) проводят по числу и характеру уравнений, входящих в систему. Например:
– система двух рациональных уравнений с одним неизвестным;
– система двух уравнений первой степени (линейных) с двумя неизвестными;
– смешанная система двух уравнений с тремя неизвестными (одно уравнение-иррациональное, а другое - рациональное), или просто - алгебраическая система двух уравнений с тремя неизвестными.
   Бывают системы логарифмические, тригонометрические и т. д.
   Решением системы называют совокупность значений неизвестных системы, принадлежащих ее множеству допустимых значений и удовлетворяющих всем уравнениям системы одновременно.
   Если, например, х = 3, у = - 1, z = 2 и х = -1, у = 2, z = 5 – два решения некоторой системы с тремя неизвестными, то их обозначают
х1 = 3, у1 = - 1, z1 = 2 ; х2 = -1, у2 = 2, z2 = 5
или в виде (3; -1; 2), (-1; 2; 5), каждый раз сохраняя порядок значений неизвестных.
   Решить систему - это значит найти множество всех ее решений. Если система не имеет решений, то говорят, что она противоречивая, или несовместная.
   Если все решения одной системы являются решениями другой системы, то вторую систему называют следствием первой системы.
   Две системы называются равносильными (эквивалентными), если каждая из них является следствием другой.
   Из этого определения следует, что равносильные системы имеют только одни и те же решения.
   Очевидно, что две несовместные системы можно считать равносильными (они обе не имеют решений).
   Важны также следующие понятия.
   Система (S) равносильна совокупности двух систем (S') и (S"), если каждое решение системы (S) является в то же время решением либо системы (S'), либо системы (S") и обратно: все решения систем (S') и (S") являются в то же время решениями системы (S).
   Уравнение А = В есть уравнение - следствие системы (S), если все решения этой системы являются в то же время решениями уравнения А = В.
   Например, очевидно, что уравнения A1 + A2 + ,..+ An = В1 + В2 +...+ Bn и А1·А2·...·Аn = В1·В2·...·Вn являются уравнениями-следствиями системы
   Если обратно, все решения уравнения А = В являются решениями системы (S), то это уравнение и систему называют равносильными.
   Имеют место следующие свойства систем.
  1. Любое уравнение системы можно заменить уравнением ему равносильным; при этом получится равносильная система.
       Справедливость этого свойства вытекает из понятий равносильности уравнений и систем.
  2. Если одно из уравнений системы (S) равносильно совокупности двух уравнений, то эта система равносильна совокупности двух систем (S') и (S"), в каждой из которых это уравнение заменено на одно из уравнений равносильной совокупности, а осталь ные оставлены без изменения.
   Справедливость этого свойства вытекает из понятий равносильности уравнения и совокупности двух уравнений и равносильности системы и совокупности двух систем.
Например, в системе
первое уравнение равносильно совокупности двух уравнений. x + y = 0 и x ² - x·y + y ² = 3 и, следовательно, система равносильна совокупности двух систем
и
  1. Если к уравнениям системы (S) присоединить уравнение - следствие этой системы, то новая система будет равносильна системе (S). Справедливость этого свойства очевидна из понятий уравнения-следствия системы и равносильности систем.
  2. Система двух уравнений
                            (S)
    равносильна системе
                            (S1)
    где m1 m2, n1, n2 - либо числа, либо некоторые математические выражения, имеющие смысл на множестве допустимых значений системы S и такие, что выражение Δ = m1·n2 - n1·m2 не обращается на нем в нуль.
       Действительно, умножая обе части первого уравнения системы S на m1, а второго на m2 и складывая, получим первое уравнение системы S1. Умножая эти уравнения на n1 и n2 и складывая, получим второе уравнение системы S1. Из этого следует, что система S1 является следствием системы S. Обратно, умножая первое уравнение системы S1 на n2, а второе на - m2 и складывая, получим уравнение Δ·А1 = Δ·В1. Умножая первое уравнение системы S1 на - n1 а второе на m1 и складывая, получим уравнение Δ·А2 = Δ·B2. Следовательно, система
                            (S2)
    является следствием системы S1, но, очевидно, система S является в свою очередь, следствием системы S2 (если сократить обе части уравнений системы S2 на Δ ≠ 0).
       Таким образом, каждая из систем S и S1 является следствием другой, т. е. они равносильны.
       Выражение Δ обычно записывают в виде
    и называют определителем, составленным из элементов m1, m2, n1, n2. Следовательно, по определению
    .
       Следствия.
    1. Система
                           (S)
      равносильна системе
                           (S1)
      при условии (т. е. m и n не равны нулю на множестве допустимых значений системы S).
         В частности, она равносильна системе
                           (m = 1, n = - 1).
    2. Система
      равносильна системе
      при условии
      .
      В частности, она равносильна системам
                           (m = 1, n = 1)
      и
                           (m = 1, n = - 1)
    Бывает, что в системе
    например, выражение А1 входит составной частью в выражение А2. Если в выражении А2 его составную часть А1 заменить через В1, то получим новое выражение А'2 и тем самым новую систему
                         (S1)
    которая отличается от системы S лишь левой частью второго уравнения.
       Например, если в системе
    во втором уравнении заменим х ² + у через 3, то получим систему
  3. Система
                         (S)
    равносильна системе
                         (S1)
    где A'2 - новое выражение, получившееся из выражения А2 в результате замены в нем его составной части А1 через B1.
       Действительно, из справедливости равенства А1 = В1 системы S или системы S1 для какого-нибудь решения системы S или S1 следует справедливость равенства А2 = А′2, а значит и равносильность систем S и S1.
   Из последнего свойства следует обоснование метода решения систем так называемым способом подстановки, который заключается в следующем.
  1. Выражаем из какого-нибудь уравнения системы одно неизвестное через остальные (при этом надо следить, чтобы новое уравнение было равносильно исходному).
  2. Исключаем это неизвестное из остальных уравнений системы, подставив найденное выражение в прочие уравнения. В результате получим систему, в которой число уравнений и неизвестных на единицу меньше, чем в исходной системе.
  3. С этой системой поступаем аналогично и т. д. В конечном итоге мы придем к одному уравнению.
  4. Находим все решения последнего уравнения и подставляем их последовательно в уравнения, выражающие одно неизвестное через остальные. В итоге получим все решения первоначальной системы.
   Пример. Решить систему
   Решение. Из первого уравнения находим
х = 2·у -3·z + 9.                     (*)
Подставляя это значение х во второе и третье уравнения системы, после приведения подобных получим систему
Из второго уравнения этой системы имеем
y = 3·z - 7.                      (**)
Подставляя у в первое уравнение, получаем 8·z = 16, откуда z = 2. Теперь из уравнения (**) находим у = - 1 и окончательно из уравнения (*) имеем х = 1.
   Таким образом, первоначальная система имеет единственное решение: х = 1, у = -1, z = 2.
   Однако далеко не всегда можно решить систему методом подстановки (не всегда возможно из уравнения выразить одно неизвестное через остальные). Тогда применяют различные частные приемы, которые невозможно предусмотреть общей теорией. Но каким бы приемом система ни решалась, надо тщательно следить за равносильностью преобразований. Если не удалось избежать действий, которые могут привести к появлению посторонних решений системы, то все найденные решения надо подвергнуть проверке, подставляя их в первоначальную систему.
   Как и при решении уравнений, надо помнить, что если все уравнения системы рациональны относительно неизвестных и нет специальной оговорки, то решения такой системы ищутся на множестве комплексных чисел. Во всех остальных случаях системы в элементарной математике рассматриваются на множестве действительных чисел.