3_6

Теорема

Оглавление

Предметный указатель

Литература

Для доступа к меню нажмите правую кнопку мыши

ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЙ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

В теории квадратного уравнения a·x² + b·x + c = 0 и квадратного трехчлена a·x² + b·x + c большую роль играет выражение D = b² - 4ас, (15) называемое дискриминантом квадратного трехчлена или уравнения. При этом формулу корней квадратного уравнения можно записать в виде

(16) Имеет место следующая теорема.
Теорема. Квадратное уравнение с действительными коэффициентами имеет:

1) мнимые, причем обязательно сопряженные корни, тогда и только тогда, когда его дискриминант меньше нуля;
2) действительные равные корни тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю;
3) действительные различные корни тогда и только тогда, когда его дискриминант больше нуля.

   Доказательство. Действительно, эти утверждения в одну сторону непосредственно следуют из формулы (16). Например, если D < 0, то в формуле (16) под знаком радикала стоит отрицательное число и так как b и а - действительные числа, то, следовательно, уравнение имеет два комплексных сопряженных корня. Аналогично доказываются остальные случаи.
   Обратные утверждения легко доказываются от противного.
   Если, например, х₁ и х₂ - мнимые, то, предположив, что D ≥ 0, мы, согласно прямым утверждениям случаев 2 и 3, не можем иметь мнимых корней. Получаем противоречие. Аналогично рассуждаем в остальных случаях.
   Заметим, что если корни квадратного уравнения действительные, то формулы Виета позволяют по знакам коэффициентов уравнения определить знаки корней. Например, если а > 0, b > 0, с < 0, то х₁·х₂ = c/a < 0 и, следовательно, корни имеют разные знаки (произведение действительных чисел отрицательно!).
   Так как при этом х₁ + х₂ = - b/a < 0, то из этого следует, что больший по абсолютной величине корень отрицателен (сумма двух чисел разных знаков - отрицательная!). Аналогично рассуждаем в случае других комбинаций знаков коэффициентов квадратного уравнения.