ВВЕРХ
Для доступа к меню нажмите правую кнопку мыши
БИКВАДРАТНЫЕ И ТРЕХЧЛЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ
Уравнение четвертой степени
а·х4 + b·х2 + с = 0 (а ≠ 0)
называется биквадратным. Заменой х2 = у решение этого уравнения сводится к решению квадратного уравнения а·у ² + b·y + с = 0 и затем двух двучленных уравнений х2 = у1 и х2 = у2, где у1 и у2 - корни соответствующего квадратного уравнения.
Если коэффициенты биквадратного уравнения действительны, то возможны следующие случаи:
- y1 ≥ 0 и y1 ≥ 0; тогда биквадратное уравнение имеет четыре действительных корня (с учетом кратности корней)
, 
- y1 ≥ 0 и y1 ≤ 0; тогда биквадратное уравнение имеет два действительных корня и два чисто мнимых сопряженных корня
.
- y1 < 0 и у2 < 0; тогда биквадратное уравнение имеет четыре
чисто мнимых попарно сопряженных корня
- y1 = u + v·i и y1 = u - v·i (v ≠ 0); тогда биквадратное уравнение имеет четыре попарно сопряженных комплексных корня.
Для их нахождения надо извлекать квадратные корни из комплексных чисел u + v·i и u - v·i. Чтобы избежать этой операции, преобразуем данное уравнение. Перепишем уравнение в виде 
, или x4 + p·x ² + q = 0, где р = b/a и q = c/a.
Так как соответствующее квадратное уравнение имеет комплексные корни, то его дискриминант D = p ² - 4q < 0. Следовательно, q > 0, так как при q ≥ 0 дискриминант D ≥ 0. Поэтому уравнение можно переписать в виде
(x² + √q) ² - 2·x²·√q + px² = 0 (√q - арифметический!)
или
(x² + √q) ² - x²·(2·√q - p) = 0,
где 2·√q - p > 0.
В самом деле, при р ≤ 0 это очевидно, а при р > 0 это вытекает из неравенства р2 > 4q.
Обозначая положительное число 2·√q - p через s2, перепишем последнее уравнение в виде
или (x² + √q - s·x)·(x² + √q + s·x) = 0.
Следовательно, биквадратное уравнение в этом случае равносильно совокупности двух квадратных уравнений с действительными коэффициентами
x² - s·x + √q = 0 или x² + s·x+ √q = 0 .
Решая их, найдем все четыре корня.
Пример. Решить уравнение х4 + х2 + 1 =0.
Решение. Если его решать общим приемом, то получим
или 
и для нахождения значении х1,х2, х3, х4 надо извлечь корни из этих комплексных чисел. Изберем другой путь решения.
Указанным приемом преобразуем уравнение к виду
(х2 + 1)2 - 2х2 + х2 = 0,
или
(х2 + 1)2 - х2 = 0.
Последнее равносильно совокупности двух уравнений
х2 - x + 1 = 0
и
х2 + x + 1 = 0
Решая их, находим все четыре корня данного уравнения
Биквадратное уравнение является частным случаем так называемых трехчленных уравнений
a·x2n + b·xn + c = 0 (а ≠ 0, n≥ 2).
Заменой хn = у решение таких уравнений сводится к решению квадратного уравнения a·y² + b·y + c = 0 и двух двучленных уравнений хn = у1 и хn = у2, где у1 и у2 - корни квадратного уравнения.