ВВЕРХ
Для доступа к меню нажмите правую кнопку мыши
§ 3. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Уравнение называется иррациональным, если над неизвестными в этом уравнении наряду с другими операциями совершается операция
извлечения корня.
Иррациональные уравнения в элементарной алгебре рассматриваются лишь на множестве действительных чисел.
Радикалы четной степени, входящие в уравнение, понимаются в арифметическом смысле (см. гл. I, § 4), а у радикалов нечетной степени рассматривается их единственное действительное значение (см. там же). Поэтому, например, уравнение
не имеет решений, так как при любом допустимом значении х левая часть уравнения неотрицательна, а его правая часть отрицательная.
При решении уравнений, содержащих радикалы четных степеней, полезно предварительно найти множество допустимых значений этого
уравнения.
Пример 1. Решить уравнение
Решение. Множество допустимых значений этого уравнения есть решение системы
неравенств
Эта система, как легко убедиться, противоречива и, следовательно, данное уравнение решений не имеет.
Иногда к множеству допустимых значений уравнения полезно присоединить условие совпадения знаков обеих частей уравнения.
Пример 2. Решить уравнение
Решение. Множество допустимых значений этого уравнения есть решение системы
Замечая, что правая часть уравнения при любом допустимом значении х положительна, присоединяем к системе (А) еще одно условие
или х -5 > 2 х - 1. Таким образом, решение данного уравнения должно удовлетворять системе
которая, как легко проверить, противоречива. Следовательно, данное уравнение решений не имеет.
Одним из стандартных приемов решения иррациональных уравнений является освобождение от радикалов путем последовательного
возведения обеих частей уравнения в соответствующую степень.
При решении уравнений этим приемом надо предварительно указать множество допустимых значений исходного уравнения и иметь в виду следующие свойства уравнений, рассматриваемых на множестве действительных чисел.
При возведении обеих частей уравнения в нечетную степень получается уравнение,
равносильное исходному; при возведении обеих
частей уравнения в четную степень получается уравнение, равносильное исходному при условии, что его решения удовлетворяют условию совпадения знаков
обеих частей исходного уравнения.
Действительно, из равенства А = В следуют равенства
A2n+1 = B2n+1 и A2n = B2n
Обратно, из равенства А2n+1 = В2n+1 на множестве действительных чисел следует единственное равенство
или А = В.
Из равенства А2n = В2n следует равенство
или | A | = | В |.
Если при этом А В ≥ 0, то из последнего равенства вытекает, что А = В (так как случай А = - В не удовлетворяет условию АВ > 0).
Пример 3. Решить уравнение
Решение. Решив систему
найдем, что множество допустимых значений уравнения есть промежуток 
Возводя обе части данного уравнения в квадрат, получаем уравнение
(А)
равносильное данному, при условии, что
,
т. е. х < 8. Вновь возведя в квадрат обе части уравнения (А), получаем уравнение
7x2 + 34 x – 69 = 0 (В)
равносильное уравнению (А) при условии, что 3 - x ≥ 0, т.е. x
≤ 3. Таким образом, исходное уравнение равносильно уравнению (В) при условии, что одновременно
x < 8, x ≤3. на промежутке
Решая квадратное уравнение (В), находим, что
причем
не лежит в промежутке 
, а
.
Следовательно,
единственный корень данного уравнения.
Пример 4. Решить уравнение
Решение. Корни уравнения должны удовлетворять условиям х > 0 и x2> 1, т. е. х > 1. Возведя обе части данного уравнения в квадрат, получим уравнение
или
равносильное данному при условии, что х > 1. Это квадратное уравнение относительно
Решив его, получим, что
Записав последнее уравнение в виде
и решив его как квадратное относительно 
найдем, что оно равносильно совокупности двух уравнений
Решив эти уравнения, найдем 
Прежде чем возводить обе части уравнения в степень, надо по возможности упростить данное уравнение.
Пример 5. Решить уравнение
Решение. Очевидно, 
Поэтому, умножив числитель и знаменатель левой части уравнения на это выражение, получим равносильное уравнение
или
Это уравнение равносильно уравнению
или 
откуда имеем 
Пример 6. Решить уравнение
Решение. Множество допустимых значений этого уравнения х ≠ 0. Перепишем уравнение в виде
или
Возведя обе части уравнения в седьмую степень, получим равносильное уравнение (12 + x)8 = 256 x8, которое на
множестве действительных чисел равносильно совокупности двух уравнений
12 + х = 27х и 12 + x = - 27х.
Решив их, найдем, что 
В отдельных примерах при возведении в степень удобно пользоваться формулами возведения в степень в преобразованном виде.
Пример 7. Решить уравнение
Решение. Возведя обе части уравнения в куб согласно тождеству
(а - b)3 = а3 - b3 - 3 a b(a - b),
получим равносильное уравнение
Учитывая, что
после очевидных преобразований получим уравнение - следствие
откуда найдем, что 
Вопрос о пригодности найденных значений х можно решить непосредственной проверкой, для чего достаточно заметить, что
В других случаях проверка может оказаться очень затруднительной. Тогда надо решать вопрос о сохранении равносильности в процессе решения. В нашем случае уравнение А - В = С, где 
мы заменили уравнением - следствием
А3 - В3 - 3 A B C = С3.
Преобразуем его. Имеем
(А - В)3 + 3А В(А - В) - 3 А В С - С3 = 0,
или
[(А - В) - С]·[(А - В)2 + (А - B) С + С2 + 3 A В] = 0,
или
Следовательно, уравнение - следствие, рассматриваемое на множестве действительных чисел, равносильно совокупности уравнений .
Последнее из них равносильно системе
В нашем примере это система
которая не имеет решений.
Таким образом, среди найденных значений 
нет посторонних корней.
Пример 8. Решить уравнение
Решение. Множество допустимых значений этого уравнения - промежуток x ≥ 1. Перепишем уравнение в виде
или
(*)
Очевидно, тождество
(а - b)4 = а4 - 4 а3 b + 6 а2b2 - 4 a b3 + b4
можно переписать в виде
(а - b)4 = а4 + b4 - 4 a b (а2 + b2) + 6 а2 b2
или
(а - b)4 = а4 + b4 - 4 a b [(a - b)2 + 2 а b] + 6 а2
b2,
или
(а - b)4 = а4 + b4 - 4 a b (а - b)2 - 2 а2b2.
Возведя обе части уравнения (*) в четвертую степень согласно приведенному тождеству, получим равносильное уравнение
Заменяя выражение в скобках единицей, после упрощения имеем уравнение - следствие
Это квадратное уравнение относительно 
. Решив его, найдем, что
Возводя обе части последнего уравнения в четвертую степень, имеем равносильное уравнение
или 
из которого находим, что исходное уравнение имеет единственный корень 
(x2 < 0 не удовлетворяет условию x ≥ 1).
Решим вопрос о его пригодности.
В процессе решения равносильность могла быть нарушена лишь при переходе от данного уравнения
А - В = С,
где
к уравнению - следствию
С4 + 4 A B C2 - (A4 + B4) + 2 A2 B2 = 0,
или
(С2 + 2 A B)2 - (A2 + B2)2 = 0,
или
(A2 + B2 + 2 A B + C2)·(A2 + B2 - 2 A B - C2) = 0,
или
[(A - B) - C]·[(A - B) + C]·[(A + B)2 + C2] = 0.
Таким образом, уравнение - следствие, рассматриваемое на множестве действительных чисел, равносильно следующей совокупности:
исходное уравнение
A - B = C, (а)
уравнение
A - B = - C, (б)
и система уравнений
(в)
В нашем случае А > В и С = 1 и, следовательно, найденное значение х является единственным корнем исходного уравнения.
Другим основным приемом решения иррациональных уравнений является способ введения новых неизвестных, относительно которых
получается либо более простое иррациональное уравнение, либо рациональное.
Пример 9. Решить уравнение
Решение. Так как левая часть уравнения неотрицательна, то необходимо, чтобы х + 2 > 0, а следовательно, и x + 3 > 0, х - 5 ≥ 0, x - 4 ≥ 0, что равносильно одному условию х ≥ 5. Учитывая это, запишем данное уравнение в виде
После приведения к общему знаменателю получим уравнение
Положив x2 - 2 x - 8 = y, получим относительно y уравнение
или 
Отсюда находим y = 16.
Теперь из уравнения x2 - 2 x - 8 = 16 имеем x = 6 (x = - 4 < 5 – не годится).
Пример 10. Решить уравнение
Решение. Положив
после подстановки получим уравнение
или (3 - х) у2 - 2 у + х - 1 = 0. Решив это уравнение как квадратное относительно
у, найдем, что у = 1 и 
Следовательно, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений
каждое из которых имеет единственный корень x = 2.
Пример 11. Решить уравнение
где n - натуральное и а ≥ 0, b ≥
0, х ≥ 0.
Решение. Положим 
и тем самым xn = yn +1, a an = cn + 1.
После подстановки получим уравнение
или
которое равносильно уравнению (у + c)n + 1 = bn. Это уравнение в свою очередь
равносильно уравнению
Таким образом, исходное уравнение равносильно уравнению
Так как левая часть неотрицательна, то должно быть b ≥ а и тогда получаем
единственный корень
В случае b < а уравнение противоречиво.
Иногда при решении иррациональных уравнений бывает полезна тригонометрическая замена.
Пример 12. Решить уравнение
Решение. Очевидно, что х > 0. Положим 
где
Сделав эту подстановку, получим тригонометрическое уравнение
В указанных пределах изменения t, очевидно, sin 2 t > 0. Поэтому должно быть cos t - sin t > 0, т. е.
tg t < l. После возведения в квадрат при указанных ограничениях на tg t получим равносильное уравнение 2 (1 - sin 2 t) = sin22t, решив которое, найдем, что 
Очевидно, 0 < sin 2 t1 < 1, a
sin 2 t2 < - 1 и поэтому не имеет смысла. Так как
,
то из уравнения
находим, что
.
Легко убедиться, что tg t1 > 1, а 0 < tg t2 < 1. Следовательно, данное уравнение имеет единственный корень
В принципе любое иррациональное уравнение путем введения нескольких новых вспомогательных неизвестных можно заменить равносильной рациональной
системой. Но к этому приему следует прибегать лишь в случае, когда получающаяся рациональная система может быть решена известными приемами.
Пример 13. Решить уравнение
Решение. Положив
получаем равносильную рациональную систему
Выразив из второго уравнения х (х = 1 + z2), взяв из третьего уравнения у(y = 1 - z)
и подставляя их в первое, получаем уравнение
1 - z2= (1 + z)3, решив которое, найдем, что z1 = 0, z2 = 1, z3 = 3. Все
эти значения z удовлетворяют условию z ≥ 0 и, следовательно, годятся.
Теперь из соотношения x = 1 + z2 находим корни данного уравнения х1 = 1, х2 = 2, х3 = 10.
Пример 14. Решить уравнение
Решение. Положив 
получим иррациональную систему
которая равносильна при этих ограничениях на х, у рациональной системе
Вычитая из первого уравнения второе, получим равносильную систему
которая равносильна совокупности двух систем
Из первого уравнения системы (1) в силу условия х ≥ 0, у ≥ 0 следует, что x = y = 0, и значит, а = 0. Решив систему (2), находим, что
Учитывая ограничение x ≥ 0, окончательно получаем: если
а = 0, то уравнение имеет единственный корень х = 0; если а≥1, то
уравнение также имеет единственный корень 
.
Для
остальных значений параметра а уравнение не имеет решений.