Пример 1
Пример 2
Пример 3
Пример 4
Пример 5
Оглавление
Предметный указатель
Литература

РЕШЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ

   Иррациональной, или алгебраической системой называют всякую систему, в которой, по крайней мере, одно уравнение иррациональное, а остальные либо иррациональные, либо рациональные.
   Как и иррациональные уравнения, такие системы рассматриваются на множестве действительных чисел, радикалы четной степени понимаются в арифметическом смысле, а у радикалов нечетной степени берется их единственное действительное значение. При решении иррациональных систем используют те же приемы, что и при решении иррациональных уравнений и рациональных систем.
   Прежде чем рассматривать уравнения системы совместно, надо по возможности каждое уравнение системы заменить одним или несколькими более простыми уравнениями, равносильными ему.
   Пример 1. Решить систему
   Решение. Положив , получим относительно z уравнение . Решив это уравнение, найдем z1 = 2, z2 = 1/2. Следовательно, первое уравнение системы равносильно совокупности двух уравнений и . Положив , получим относительно t уравнение t ² + t - 56 = 0, откуда t = 7 (t = - 8 – не годится). Следовательно, второе уравнение системы равносильно уравнению х (х + у) = 45. Таким образом, искомая система равносильна совокупности двух рациональных систем
   Решив эти системы, найдем все решения данной системы:
   В отдельных случаях при решении иррациональных систем удобно использовать наличие одинаковых выражений, содержащих неизвестные в уравнениях системы. Если таких выражений нет, то их иногда удается получить за счет преобразований уравнений системы.
   Пример 2. Решить систему
   Решение. Считая х ≥ 0, у ≥ 0, после возведения обеих частей второго уравнения системы в квадрат получим равносильное ему уравнение . Умножив обе части первого уравнения системы на , получим систему
равносильную данной.
   Вычитая почленно из первого уравнения второе, получим уравнение , которое в силу условия х ≥ 0, у ≥ 0 равносильно уравнению 2 х2 + 2 у2 = (х + у)2 или х2 - 2 х у + у2 = 0, откуда следует, что у = х. Таким образом, данная система равносильна системе
из которой находим решение х = 4, у = 4.
   При решении иррациональных систем иногда оказывается эффективным присоединение к уравнениям системы уравнения - следствия.
   Пример 3. Решить систему
   Решение. Сложив почленно уравнения системы, получим уравнение-следствие , которое равносильно совокупности двух уравнений x + y + z = 0 и . Следовательно, данная система равносильна совокупности двух систем
Система Sl очевидно, имеет единственное решение (0; 0; 0). Система S2 равносильна системе
Первое уравнение последней системы является суммой второго и третьего уравнений и, следовательно, его можно отбросить. Из второго и третьего уравнений находим y = 3 z/4, х = z/2 и тогда из третьего уравнения получим , откуда и, следовательно, , . Таким образом, искомая система имеет два решения: (0; 0; 0) и .
   В принципе любая иррациональная система, как и иррациональные уравнения, путем введения новых вспомогательных неизвестных может быть заменена равносильной ей рациональной системой. Но этот прием целесообразно применять лишь в том случае, когда для получающейся рациональной системы решение может быть доведено до конца.
   Пример 4. Решить систему
   Решение. Введем вспомогательное неизвестное t, положив . Получим равносильную рациональную систему
Подставляя х, у, z из первых трех уравнений в четвертое, получим одно уравнение с одним неизвестным . Отсюда t1 = 0 и . Раскрывая скобки в левой части, после упрощения получим t ² = 1, откуда t = 1 ( t = - 1 < 0 – не годится). Подставляя найденные значения t впервые три уравнения последней системы, получим решения данной системы: (0; 0; 0) и .
   Пример 5. Решить систему
   Решение. Очевидно, решение должно удовлетворять условию х у > 0. Если х > 0 и у > 0, то положив и тем самым х = z ², y = t ², получим систему
из которой находим, что z = t = 1 (случай z - t = -1 < 0 — не годится). Следовательно, x = 1 и y = 1. В случае х < 0, y < 0, положив и тем самым х = - u ², y = - v ², получим систему
Эта система имеет единственное решение u = v = 1, удовлетворяющее условию u > 0, v > 0. Следовательно, данная система имеет еще одно решение х = у = - 1. Таким образом, исходная система имеет лишь два решения (1; 1), (- 1; - 1).