Общие положения
Пример 1
Пример 2
Пример 3
Пример 4
Пример 5
Пример 6
Пример 7
Пример 8
Пример 9
Пример 10
Пример 11
Оглавление
Предметный указатель
Литература

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, НЕРАВЕНСТВ И СИСТЕМ, СОДЕРЖАЩИХ АБСОЛЮТНУЮ ВЕЛИЧИНУ

   Алгебраические уравнения, неравенства и системы, содержащие неизвестные под знаком абсолютной величины, если нет специальной оговорки, рассматриваются на множестве действительных чисел.
   Пользуясь определением абсолютной величины действительного числа и ее свойствами, такую задачу сводят к подобной, уже не содержащей абсолютной величины.
   Приведем некоторые свойства уравнений, которыми удобно пользоваться при решении уравнений и систем, связанных с абсолютной величиной.
  1. Уравнение | А | = а, где a ≥ 0, равносильно совокупности двух уравнений А = а и А = - а.
  2. Уравнение | А | = а, где а < 0 – противоречиво, так как | А | ≥ 0.
  3. Уравнение | A | = B равносильно совокупности двух уравнений:
    • 1) А = В при условии, что корни этого уравнения удовлетворяют неравенству A ≥ 0, и
    • 2) -А = В при условии, что корни этого уравнения удовлетворяют неравенству A < 0.
   Справедливость всех этих свойств непосредственно вытекает из определения и свойств абсолютной величины действительного числа.
   Рассмотрим несколько примеров уравнений с одним неизвестным, содержащих его под знаком абсолютной величины.
   Пример 1. Решить уравнение | 2 | х - 1 | - 3 | = 5.
   Решение. Согласно свойству I это уравнение равносильно совокупности двух уравнений
2 | x - 1 | - 3 = 5 и 2 | х - 1 | - 3 = - 5,
или
| x - 1 | = 4 и | х - 1 | = - 1.
Второе из этих уравнений противоречиво (см. свойство II). Первое же уравнение равносильно в свою очередь совокупности двух уравнений х - 1 = 4 и х - 1 = - 4, корни которых х1 = 5 и х2 =-3.
   Пример 2. Решить уравнение
| 1 - 2 х | = 3 х - 2.
   Решение. Очевидно, неизвестное х должно удовлетворять условию 3 х - 2 ≥ 0, т. е. х ≥ 2/3. При этом условии наше уравнение равпосильно совокупности двух уравнений 1 - 2 х = 3 х - 2 и 1 - 2 х = - ( 3 x - 2 ). Корень первого из этих уравнений не годится. Корень второго уравнения х = 1 удовлетворяет условию x ≥ 2/3 и, следовательно, является искомым.
   Иногда при решении удобно пользоваться числовой осью.
   Пример 3. Решить уравнение
.
   Решение. Пользуясь свойствами абсолютной величины действительного числа, перепишем уравнение в виде
.
   Отметим на числовой оси х точки, где каждое выражение под знаком абсолютной величины обращается в нуль. Эти точки разбивают числовую ось на четыре промежутка:
.
   На первом промежутке, очевидно, х - 3/2 < 0, х < 0, х + 2/3 ≤ 0; поэтому данное уравнение равносильно на этом промежутке уравнению
.
корень которого х = - 23/9 входит в указанный промежуток и, следовательно, является решением данного уравнения.
   На втором промежутке х - 3/2 < 0, х ≤ 0, x + 2/3 ≥ 0, поэтому данное уравнение равносильно на этом промежутке уравнению
.
Корень этого уравнения х = 1/7 не принадлежит указанному промежутку и, следовательно, не является решением данного уравнения.
   На третьем промежутке х - 3/2 ≤ 0, х ≥ 0, х + 2/3 > 0, поэтому на этом промежутке данное уравнение равносильно уравнению
.
Его корень х = 3/23 принадлежит указанному промежутку и, следовательно, является решением данного уравнения.
   И, наконец, на четвертом промежутке х - 3/2 ≥ 0, х > 0, x + 2/3 > 0 и поэтому данное уравнение равносильно уравнению
.
корень которого х = 3/19 не принадлежит рассматриваемому промежутку и, следовательно, не является корнем данного уравнения.
   Таким образом, данное уравнение имеет два корня х = - 23/9 и x = 3/23.
   В отдельных случаях к уравнениям, содержащим неизвестное под знаком абсолютной величины, приводятся иррациональные уравнения с радикалами четных степеней, в случаях, когда подкоренные выражения представляют собой полные квадраты относительно неизвестных.
   Пример 4. Решить уравнение
.
   Решение. Замечая, что 4 х ² - 4 x + 1 = (2 х- 1) ², перепишем уравнение в виде
х ² = | 2 х - 1 | + 3, или | 2 х - l | = x ² -3
(радикал четной степени понимается в арифметическом смысле !). Последнее уравнение равносильно совокупности уравнений
2 х - 1 = х ² - 3 и 2 х - 1 = 3 - х ²
при условии, что х ² ≥ 3, т. е. х ≤ и x ≥ .
   Решая первое из этих уравнений, имеем
х ² - 2 х - 2 = 0, х1,2 = 1 ± .
Очевидно, х2 = 1 - не удовлетворяет ограничению и, следовательно, не является корнем данного уравнения.
   Из второго уравнения получаем х ² + 2 х - 4 = 0, х3,4 = - 1 ± . Число х3 = - 1 + не удовлетворяет ограничению.
   Таким образом, уравнение имеет два корня
х1 = 1 + и х2 = - 1 -
   Пример 5. Решить уравнение
.
   Решение. Полагая и тем самым х = у ² + 1, перепишем данное уравнение в виде
,
откуда получаем уравнение
| у - 2 | + | у - 3 | = 1,                      (А)
равносильное данному при условии, что у ≥ 0.
   На промежутке 0 ≤ y ≤ 2, где у - 2 ≤ 0 и у - 3 < 0, уравнение (А) имеет решение у = 2.
   На промежутке 2 ≤ y ≤ 3 уравнение (А) равносильно уравнению у - 2 - y + 3 = 1, которое обращается на нем в тождество 1 = 1.
   На промежутке y ≥ 3 уравнение (А) равносильно уравнению у - 2 + y - 3 = 1, корень которого у = 3 является и корнем уравнения (А). Итак, все корни уравнения (А) полностью заполняют промежуток 2 ≤ y ≤ 3, следовательно, корнями данного уравнения являются все значения х из промежутка 5 ≤ x ≤ 10 (x = y ² + 1).
   Напомним, что при решении любой задачи, содержащей параметры, необходимо исследовать решение в зависимости от допустимых значений параметров.
   Пример 6. Решить уравнение
.
   Решение. Если , т.е. , то уравнение можно записать в виде , или 4 х ² + 5 x - 2 а - 2 = 0, откуда находим и . Эти корни будут действительными числами, если 32 а + 57 ≥ 0, т. е. если а ≥ - 57/32, причем в случае а = - 57/32 x1 = x2 = - 5/8 < - 1/2 и, следовательно, это решение годится. Требуя теперь х1 ≤ - 1/2, получаем неравенство , которое выполняется для .
   Требуя x1 > 2, получаем неравенство , решив которое, находим, что а ≥ 12.
   Далее очевидно, что для а ≥ - 57/32.
   В случае , т, е. , получаем уравнение , отсюда . Это решение будет годиться, если , т. е. если .
   Объединяя полученные результаты, имеем:    При решении неравенств, связанных с абсолютной величиной, полезно иметь в виду следующие свойства.
  1. Неравенство | A | ≤ а, где а > 0, равносильно двойному неравенству - a ≤ A ≤ a.
       Действительно, если A ≥ 0, то | A | = A и, следовательно, A ≤ a; если A ≤ О, то | A | = - А, следовательно, - А ≤ а или A ≥ - а. Объединяя оба эти результата, получаем требуемое.
       В частности, неравенство | A | < а (а > 0) равносильно неравенству - а < A < a.
  2. Неравенство | A | ≤ а, где а < 0 - противоречиво, так как | A | ≥ 0.
  3. Неравенство | А | ≥ а, где а > 0, равносильно совокупности двух неравенств А ≥ а и A ≤ - а.
       Доказательство аналогично доказательству свойства I.
  4. Неравенство | А | ≥ а, где а ≤ 0, справедливо для всех допустимых значений выражения A, так как | A | ≥ 0.
  5. Неравенство | A | \/ В равносильно совокупности двух систем неравенств
    и
   Это свойство следует непосредственно из определения абсолютной величины действительного числа.
   Пример 7. Решить неравенство
|| 2 x - 1 | - 3 | > 2.
   Решение. Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств | 2 х - 1 | - 3 > 2 и | 2 х - 1 | - 3 < - 2, или | 2 х - 1 | > 5 (A) и | 2 х - 1 | < 1 (В).
   Неравенство (A) равносильно совокупности двух неравенств 2 х - 1 > 5 и 2 х - 1 < - 5 или х > 3 и х < - 2. Неравенство (B) равносильно двойному неравенству - 1 < 2 х - 1 < 1, или 0 < 2 х < 2, отсюда 0 < x < 1. Следовательно, решением искомого неравенства являются все х из промежутков (- ∞, - 2 ), (0, 1) и (3, + ∞ ).
   Пример 8. Решить неравенство
.
   Решение. Данное неравенство перепишем в виде | З х +1 | < 2 - х, которое равносильно (см. свойство V) совокупности двух систем неравенств
и
Решением первой системы служит промежуток , решением второй системы – промежуток . Следовательно, решением данного неравенства является промежуток .
   Пример 9. Решить неравенство
x + | 3 - 2 x | > | x + 1 | - 1.
   Решение. Перепишем неравенство в виде
и отметим на числовой оси х значения х = -1 и x = 3/2, в которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль. Эти точки разбивают числовую ось на три промежутка
x ≤ - 1 ( I ); - 1 ≤ x ≤ 3/2; ( II ); x ≥ 3/2; ( III )
Рассматривая х последовательно на каждом промежутке, получим, что искомое неравенство равносильно следующим трем системам неравенств:
Решая каждую из этих систем, последовательно находим, что решением первой является промежуток х ≤ - 1, решением второй – промежуток -1 ≤ х < 3/2 и решением третьей – промежуток х > 3/2.
   Итак, решением данного неравенства являются все действительные числа х, кроме x = 3/2.
   В заключение рассмотрим решение систем, содержащих неизвестные под знаком абсолютной величины.
   Пример 10. Решить систему
   Решение. Для удобства решения введем в рассмотрение плоскость хОу и построим прямые х = - 1, х = 2, у = - 2, на которых выражения, стоящие под знаком абсолютной величины, обращаются в нуль. Эти прямые разбивают плоскость на 6 областей, задаваемых следующими системами неравенств:
 (I)  (II)  (III)
 (IV)  (V)  (VI)
Рассмотрим данную систему на каждой из этих областей.
   Для х и у, принадлежащих области (I), имеем
Решение этой системы х = 7, у = 4 не принадлежит рассматриваемой области и, следовательно, не является решением данной системы.
   Для х к у, принадлежащих области (II), имеем
Решение этой системы х = - 11/3, y = - 4/3 не принадлежит этой области и также не является решением данной системы.
   Для x и у из области (III) имеем
Ее решение х = -15 и у = 10 также не годится. Для x и у из области (IV) имеем
Ее решение х = - 1, у = 0 принадлежит этой области и, следовательно, является решением данной системы.
   Для х и у из области (V) имеем
Ее решение х = - 1, y = 0 принадлежит этой области и, следовательно, является решением данной системы.
   И, наконец, для х и у из области (VI) получаем систему
решение которой х = 1, у = 2 не годится.
   Таким образом, заданная система имеет единственное решение (- 1; 0).
   В отдельных случаях решение системы упрощается, если использовать некоторые свойства абсолютной величины действительного числа.
   Пример 11. Решить систему
   Решение. Из данной системы следует равенство | х + у | = | х | + | у | , которое возможно лишь в случае ху ≥ 0 (см. гл. I, § 4). Если х ≥ 0, у ≥ 0, то данная система имеет вид
что равносильно одному уравнению х + у = 1.
   Если x ≤ 0, y ≤ 0, то данная система принимает вид
что равносильно одному уравнению х + у = - 1.
   Таким образом, системе удовлетворяет любая пара неотрицательных чисел, сумма которых равна 1, а также любая пара неположительных чисел, сумма которых равна - 1.