5_1

ВВЕРХ

Определение числовой последовательности

Определение ограниченной последовательности

Определение монотонной последовательности

Определение предела последовательности

Условия существования предела

Свойства предела последовательности

Оглавление

Предметный указатель

Литература

Для доступа к меню нажмите правую кнопку мыши

§ 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ

Определение. Если каждому, натуральному числу n отнесено по некоторому закону число а_n, то говорят, что задана числовая последовательность а₁, а₂, … , а_n, …. (1) Числа а₁, а₂, и т. д. называются членами последовательности (1); они не обязательно различны между собой. В некоторых случаях последовательность задается формулой ее общего члена a_n = f (n), n = 1, 2, 3, … (2) Зная ее, мы можем получить любой член последовательности. Для этого достаточно в правую часть формулы (2) вместо n подставить номер искомого члена. Например,

a_n = (- 1)ⁿ: 1, - 1, 1, …, - 1, …
a_n = 5, 5, 5, … (Такая последовательность, общий член которой не зависит от n, называется постоянной.)
Структура формулы общего члена может быть и более сложной. Например, формула

где k = 1, 2, ..., задает последовательность

у которой члены с четными номерами и члены с нечетными номерами образуются по разным законам.
Иногда последовательность задается так называемым рекуррентным соотношением, т. е. формулой, позволяющей находить члены последовательности по известным предыдущим. Например, а_n+1 = 2 а_n + n, а₁ = 1. Давая n значения 1, 2, 3, ..., мы последовательно получаем один за другим а₁, а₂, a₃, ...:

при n = 1 получаем а₂ = 2 а₁ + 1 = 3,
при n = 2 получаем а₃ = 2 а₂ + 2 = 8,
при n = 3 получаем а₄ = 2 а₃ + 3 = 19, и т. д.

   Формула общего члена а_n = f (n) может быть заданной для n, начиная с некоторого номера k. Тогда пишут а_n = f (n), n = k, k + 1, .... При этом первые члены последовательности a_l, а₂, ..., а_k-1 указываются. Например, 1, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 12, ..., где а_n = 2 n - 4 для n = 7, 8, ... . Первые шесть членов последовательности а₁, а₂, а₃, а₄, а₅ и а₆ указаны; они не получаются из формулы для общего члена а_n = 2 n - 4, которая задана лишь при n ≥ 7.
   Заметим, что по известным первым членам последовательности, если нет никаких других указаний, невозможно указать закон ее образования, Так, четыре первые члена некоторой последовательности 1, 3, 5, 7, ... могут быть, например, началом последовательности нечетных чисел или последовательности простых нечетных чисел.
   Не всякую последовательность можно задать формулой общего члена или рекуррентной формулой. Например, их нельзя указать для последовательности простых чисел 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... или для последовательности десятичных приближений (с недостатком) числа

1,4; 1,41; 1,414; 1,4142, .... Но для каждой последовательности должен быть задан закон, по которому мы можем получить любой ее член. В каком виде задан этот закон - это не имеет значения.
   Последовательность называется ограниченной, если существует положительное число М такое, что для всех членов последовательности выполняется неравенство |а_n| ≤ М.
   Если для любого числа М > 0 найдутся члены последовательности, превосходящие М по абсолютной величине, то такая последовательность называется неограниченной.
   Например, последовательности

ограниченные, а последовательность 1, 4, 9, ... , n², ... неограниченная.
Последовательность называется возрастающей, если для всех n а_n< а_n+1. Последовательность называется убывающей, если для всех n а_n> а_n+1. Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными.
Например, последовательности

монотонные, а последовательности

немонотонные.
Замечание. К монотонным последовательностям относят также неубывающие (а_n≤ а_n+1) и невозрастающие последовательности (а_n ≥ а_n+1).
Предел последовательности. Определение. Число А называется пределом последовательности а₁, а₂, … , а_n, …, если для любого положительного числа ε можно подобрать такое натуральное число N, что для всех значений n > N выполняется неравенство | a_n - A | < ε (3) В этом случае пишут:

Рис. 19 На множестве действительных чисел неравенство (3) эквивалентно неравенству A - ε < a_n < A + ε при n > N, которое означает, что в интервале (A - ε, A + ε)(рис. 19) находятся все члены последовательности, номер которых превосходит N, а вне этого интервала лишь конечное число (не больше, чем N).
Пример. Доказать, что

.
Решение. Возьмем, например ε = 10^-3. Найдем те члены данной последовательности, которые лежат в интервале (2 - 10^-3, 2 + 10^-3), т. е. удовлетворяют неравенству

Решая его, находим

, n > 10³.
   Итак, внутрь интервала (2 -10^-3, 2 + 10^-3) попадают все члены последовательности, номер которых n > 1000.
   Если взять ε = 10^-5 и интервал (2 - 10^-5, 2 + 10^-5), то внутрь этого интервала попадут все члены последовательности, номер которых n > 100 000.
   Вообще для любого ε > 0 внутрь интервала (2 - ε, 2 + ε) попадут все члены последовательности, которые удовлетворяют неравенству

(*) Решая последнее неравенство, находим, что

. Следовательно, все члены последовательности, номер которых

, удовлетворяют неравенству (*). А это согласно определению предела последовательноности и означает, что

.
Не всякая последовательность имеет предел. Рассмотрим, например, последовательность с общим членом

. Очевидно,

. Члены последовательности сгущаются к точкам -1 и 1. Эта последовательность не имеет предела. Действительно, если взять интервалы (- 1 - ε, - 1 + ε) и (1 - ε, 1 + ε), то в них (при ε < 2/3 находится бесконечно много членов последовательности, но и вне каждого из них - также бесконечно много (рис. 20).

Рис. 20.    Следующие теоремы дают достаточное условие существования предела последовательности.
   Теорема I. Всякая ограниченная монотонная последовательность имеет предел.
   Теорема II. Если члены последовательности b_n, начиная с некоторого номера N, заключены между соответствующими членами a_n и c_n двух других последовательностей, т. е. a_n ≤ b_n ≤ c_n для n ≥ N и

то данная последовательность имеет предел, причем

Доказательство этих теорем приводится в курсе высшей математики.
Тоже без доказательства отметим следующие свойства предела последовательности.

Если последовательность имеет предел, то этот предел единственный.
Предел постоянной последовательности равен этой постоянной, т. е.
Предел алгебраической суммы последовательностей равен алгебраической сумме пределов этих последовательностей, если послед ние существуют, точнее, если и существуют, то
Предел произведения последовательностей равен произведению пределов сомножителей, если последние существуют, т. е. В частности, если a_n = а, n = 1, 2, ..., то Последнее означает, что при переходе к пределу постоянный множитель выносится за знак предела.
Предел отношения двух последовательностей равен отношению пределов числителя и знаменателя, если последние существуют и предел знаменателя не равен нулю, т. е.