ВВЕРХ
Для доступа к меню нажмите правую кнопку мыши
§ 2. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
Определение. Последовательность чисел с общим членом аn = а + (n - 1) d, где а и d - любые заданные числа, называется арифметической прогрессией.
Число а называется первым членом арифметической прогрессии, d - разностью арифметической прогрессии. Для обозначения арифметической прогрессии употребляют знак ÷, т. е. пишут
÷ a1, a2, … , an, …
При d > 0 прогрессия будет возрастающей, так Как an+1 = a1 + n d> > а1 + (n - l) d = an, т. е. аn+1 > аn; при d < 0 прогрессия убывающая an+1 < an.
Из данного определения вытекают следующие свойства членов арифметической прогрессии.
- Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с разностью d, т, е.
ak+1 = ak + d, a1 = a, k = 1, 2, … (4)
В самом деле,
ak+1 = a + k d = [a + (k - 1) d] + d = ak + d.
- Каждый член арифметической прогрессии есть среднее арифметическое двух равноудаленных от него членов этой прогрессии, т. е.
, (5)
где k и m - любые натуральные числа и k > m.
Действительно,
ak+m = a1 + d (k + m - 1);
ak-m = a1 + d (k - m - 1)
поэтому
ak+m + ak-m = 2 a1 + d (2 k - 2) = 2 [a1 + d (k - 1)],
откуда
- Для любой арифметической прогрессии
ak + al = ar + as, (6)
где k, l, r, s - номера членов, удовлетворяющие условию k + l = r + s.
В самом деле,
ak + al = a1 + d (k - 1) + a1 + d (l -1) = 2 a1 + d (k + l - 2),
ar + as = a1 + d (r - 1) + a1 + d (s - 1) = 2 a1 + d (r + s - 2)
и так как, по условию r + s = k + l, то
ak + al = ar + as.
В частности, если арифметическая прогрессия состоит из n членов, то ak и an - k+1 являются ее членами, равноотстоящими отконцов a1 и an, причем
1 + n = k + (n - k + 1).
Поэтому согласно свойству 3
a1 + an = ak + an - k+1 (6')
т. е. для любой конечной арифметической прогрессии сумма двух членов, равностоящих от ее концов, есть величина постоянная для данной прогрессии, равная сумме крайних членов.
Замечание. Свойство 1 так же, как и свойство 2, является условием достаточным для того, чтобы соответствующая последовательность была арифметической прогрессией. Действительно, если для последовательности
al, a2, ..., аn, ...
выполняются соотношения
ak + 1 = ak + d, a1 = a для k = 1, 2, ...,
где а и d - заданные числа, то написав эту формулу для k = 1, 2, ..., n:
a2 = a1 + d,
a3 = a2 + d,
…
an = an - 1 + d
и сложив все эти равенства, получаем
an = a1 + d (n - 1).
Последнее означает, что al, a2, ..., аn, ... - арифметическая прогрессия.
Таким образом, арифметическую прогрессию можно определить как последовательность чисел al, a2, ..., аn, ..., заданную рекуррентным соотношением: ak + 1 = ak + d, а1 = а, k = 1, 2, ... .
Предлагаем читателю доказать, что последовательность чисел al, a2, ..., аn, ..., заданная рекуррентным соотношением
есть арифметическая прогрессия.
Последовательность же чисел, удовлетворяющая свойству 3, может и не быть арифметической прогрессией. Например, 1, 2, 4, 5 - не есть арифметическая прогрессия, хотя 1 + 5 = 2 + 4.
Сумма n членов арифметической прогрессии. Обозначим через Sn сумму первых членов арифметической прогрессии:
Sn = a1 + a2 + a3 + … + an - 1 + an (7)
Запишем слагаемые в обратном порядке
Sn = an + an - 1 + … + a3 + a2 + a1 (8)
Складывая почленно равенства (7) и (8) и группируя члены, получаем
2 Sn = ( а1 + аn ) + ( а2 + an - 1 ) + ... + ( an - 1 + а2 ) + ( аn + а1 ).
В скобках, число которых равно n, стоят суммы членов, равноудаленных от концов прогрессии.
По свойству 3 каждая из этих сумм равна а1 + аn. Следовательно,
, (9)
т. е. сумма n последовательных членов арифметической прогрессии равна полусумме ее крайних членов, умноженной на число членов.
Если в формуле (9) выразить аn по формуле общего члена, то получаем
, (9')