5_6

ВВЕРХ

Сведение к известным суммам

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Пример 4

Применение метода математической индукции

Пример 5

Пример 6

Пример 7

Оглавление

Предметный указатель

Литература

Для доступа к меню нажмите правую кнопку мыши

§ 6. СУММИРОВАНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Пусть даны числа а₁, а₂, ..., а_n. Как найти сумму S_n = a₁ + a₂ +...+ a_n? Эта задача решена нами для случая арифметической и геометрической прогрессии. В общем же случае далеко не всегда удается найти формулу S_n для любого n и даже в тех случаях, когда это можно сделать, для ее нахождения требуются большие навыки в изобретении различных приемов.
Остановимся на некоторых задачах и методах их решений.

Сведение к известным суммам. Под "известными" суммами мы будем понимать суммы прогрессий и суммы равных степеней натуральных чисел S_n^(p) = 1^p + 2^p + 3^p + ... + n^p для 1) р = 2 и 2) р = 3. Вычислим их.
   Пример 1. Найти значения S_n⁽²⁾ и S_n⁽³⁾.
   Решение. 1. Положимте тождестве (k +1)³ = k³ + 3 k² + З k + 1 последовательно k = 0, 1, 2, .... n. Имеем: (0 + 1)³ = 1³,
(1 + 1)³= 1³ + 3·1² + 3·1 + 1,
(2 + 1)³ = 2³ + 3·2² + 3·2 + 1,
…
(n + 1)³ = n³ + 3·n³ + 3·n + l. Складывая левые и правые части всех этих равенств, получаем (n + l)³ = 3 S_n⁽²⁾ + 3 S_n⁽¹⁾ + l, где сумма членов арифметической прогрессии. Поэтому 2. Положим в тождестве ( k + 1 )⁴ = k⁴ + 4 k³ + 6 k² + 4 k + 1 последовательно k = 0, 1, 2, ..., n. Имеем: (0 + 1)⁴ = 1⁴,
(1 + 1)⁴ = 1⁴ + 4 1³ + 6 1² + 4 1 + 1,
(2 + 1)⁴ = 2⁴ + 4 2³ + 6 2² + 4 2 + 1,
…
( n + 1 )⁴ = n⁴ + 4 n³ + 6 n² + 4 n + 1, Складывая левые и правые части всех этих равенств, получаем откуда Так последовательно можно найти значения S_n^(p) для любого натурального р.
   Пример 2. Дана последовательность чисел а₀, a_l, ..., а_n такая, что a_k - a_{k - 1} = k (k = 1, 2, ..., n); а₀ = 0. Найти сумму а₀ + а₁ + ... + а_n.
   Решение. Прежде всего найдем формулу для общего члена этой последовательности. Обозначая S_k = а₀ + а₁ + а₂ + ... + а_k, запишем эту сумму одну под другой со сдвигом на один член: Вычитая из верхнего равенства нижнее, получим Итак, Теперь легко получаем S_n:    Пример 3. Пусть a_l, а₂, ..., а_n - арифметическая, а b_l, b₂, ..., b_n геометрическая прогрессия и q ≠ 1. Найти сумму произведений a_l·b_l + а₂·b₂ + … + а_n·b_n.
   Решение. Обозначая S_n = a_l·b_l + а₂·b₂ + … + а_n·b_n, находим S_n q, где q знаменатель геометрической прогрессии: S_n q = a_l·b_l q + а₂·b₂ q + … + а_n·b_n q = a_l·b₂ + а₂·b₃ + … + а_{n - 1}·b_n + а_n·b_n q. Записывая S_n и S_nq одно под другим со сдвигом на один член: и вычитая из верхнего равенства нижнее, получаем где d - разность арифметической прогрессии a₁, а₂, ..., a_n.
   Пример 4. Дана последовательность a₁ = 1, а₂ = 11, ..., . Найти сумму    Решение. Найдем формулу общего члена данной последовательности в явном виде. Очевидно, что Тогда
Применение метода математической индукции. Метод математической индукции применим в том случае, когда нам удалось угадать формулу, выражающую S_n в зависимости от n и нужно доказать справедливость этой формулы.
Пример 5. Доказать, что (23) Решение. Для n = 1 и n = 2 формула (23) справедлива, так как и . Допустим теперь, что равенство (23) справедливо для n - 1, докажем его для n.
Согласно нашему допущению Тогда
Представление членов последовательности в виде алгебраической суммы отдельных слагаемых. Такое представление при суммировании приводит иногда к уничтожению почти всех членов последовательности. Проиллюстрируем этот метод на следующих примерах.
   Пример 6. Найти сумму S_n= 1·1! + 2·2! + ... + n·n !
   Решение. Преобразуем каждый член данной суммы по формуле k·k ! = [(k + 1) - 1]·k ! = (k + 1) ! - k !. Тогда S_n = (2! - 1!) + (3! - 2!) + ...+ [(n + 1)! - n !] = (n + 1)! - 1.    Пример 7. Найти сумму    Решение. Каждое слагаемое представим в виде алгебраической суммы трех дробей:                         (24) где коэффициенты А, В и С нужно подобрать так, чтобы равенство (24) было справедливым для всех натуральных k. С этой целью приведем правую часть равенства (24) к общему знаменателю. Получаем Из равенства этих дробей вытекает равенство их числителей, т. е. 1 = k² (A + B + C) + k (3 A + 2 B + C) + 2 A.                        (25) Для того чтобы соотношение (25) имело место для всех k, достаточно, чтобы Решая эту систему, находим: А = ½; В = - 1; С = ½.
   Подставляя полученные значения А, В и С в равенство (24), получаем тождество                         (26) справедливое для любого натурального k. Полагая в тождестве (26) k = 1,2, …, n, находим Теперь нетрудно заметить, что все слагаемые записанной суммы, кроме трех, взаимно уничтожаются, т. е.