Теорема разложения
Свойства разложения бинома
Правило
Свойства разложения трехчлена
Оглавление
Предметный указатель
Литература
§ 2. БИНОМ НЬЮТОНА
   Теорема. Для любого натурального n справедлива формула
.                        (10)
   Доказательство. Формула (10) верна для n = 2 и n = 3:

   Допуская, что она справедлива для n - 1, т. е.
покажем ее справедливость для n. Имеем
Согласно тождеству (9)
Кроме того, и . Следовательно, равенство (11) принимает вид
или
                        (12)
Теорема доказана.
   Формула (10) или (12) называется формулой бинома Ньютона, а ее правая часть называется разложением бинома. Коэффициенты
называются биномиальными.
Записывая разность х - а в виде х + ( - а), имеем
                        (13)
   Отметим следующие свойства разложения бинома.
  1. Число всех членов разложения на единицу больше показателя бинома.
  2. Сумма показателей степеней х и а каждого члена разложения равна показателю степени бинома.
  3. Общий член разложения Tk + l имеет вид
                            (14)
    Полагая в этой формуле k = 0, 1, 2, ... , n, мы получаем первый, второй, третий,..., n - й члены разложения.
  4. Биномиальные коэффициенты членов, равноотстоящих от концов разложения, равны между собой, так как
  5. Биномиальный коэффициент (k + l) - ro члена разложения связан с предшествующим биномиальным коэффициентом соотношением
                            (15)
    из которого вытекает следующее правило:    каждый биномиальный коэффициент разложения, начиная со второго, равен предшествующему биномиальному коэффициенту, умноженному на показатель степени у буквы х в предшествующем члене (степень х убывает) и деленному на число предшествующих ему членов.
  6. Из равенства (15) следует, что , если , т.е. , и , если , т.е. . Если показатель бинома-число нечетное (n = 2р + 1), то биномиальные коэффициенты
    возрастают (p < p + 1), a
    убывают. Коэффициенты
    наибольшие.
       Если показатель бинома-число четное (n = 2р), то биномиальные коэффициенты
    возрастают , а
    убывают. Разложение, имеет один наибольший коэффициент .
  7. Сумма всех биномиальных коэффициентов равна 2n. В самом деле, полагая в формуле (10) х = а = 1, имеем
  8. Сумма биномиальных коэффициентов членов разложения, стоящих на четных местах, равна сумме биномиальных коэффици ентов членов, стоящих на нечетных местах, и равна 2n - 1, т. е.
    Доказательство получается из формулы (13), если положить в ней х = а = 1.
       Используя формулу (10), найдем разложение трехчлена х + y + z. С этой целью запишем его в виде бинома [x + (y + z)]n, в котором второй член равен y + z. Согласно формулам (14) и (12), для k = l, 2, …, n имеем
    (Это равенство будет справедливым и при k = 0, если принять условие, что С00 = 1. Кроме того, = 0, если р > k.) Все разложение запишется в виде суммы Т1 + Т2 + Т3 + ... + Tn + 1, где каждое T k + 1 вычисляется по формуле (16). Отметим некоторые свойства разложения трехчлена.
  1. Разложение трехчлена содержит членов. В самом деле, T1 получается при k = 0 и содержит один член хn, T2 содержит два члена и т. д. Следовательно, число членов в сумме Т1 + Т2 + Т3 + ... + Tn + 1, среди которых нет подобных (они отличаются, например, степенью х), равно сумме
  2. Сумма показателей при х, у и z в каждом члене разложения равна покавателю трехчлена:
    n - k + k - p + p = n .
  3. Формула общего члена разложения трехчлена:
где 0 ≤ k ≤ n, 0 ≤ p ≤ k.
   Коэффициент называется биномиальным. Вычисляя его по формуле (6), имеем
тогда
               (17)