ВВЕРХ
Для доступа к меню нажмите правую кнопку мыши
§ 7. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ
Пусть на некотором промежутке Е задана функция у = f (х) и D-область ее изменения.
Возьмем какое-нибудь число y0 из области D. В области Е обязательно найдется хотя бы одно число х0, при котором наша функция принимает именно значение y0, так что y0 = f (x0). Чтобы получить это значение x0 достаточно через y0 на оси ординат (смотри рисунок.) провести прямую, параллельную оси абсцисс. Эта прямая пересечет график функции y = f (x) в одной или нескольких точках. Абсциссы этих точек и дают искомые значения х (одно из них х0), при которых функция равна у0. Таким образом, каждому значению у0 из области D соответствует одно или несколько значений х, принадлежащих промежутку Е. Этим определяется в области D однозначная (если каждому у из D соответствует единственное значение х из Е) или многозначная функция x = g (y), которая называется обратной для функции y = f (x).
Графики функции y = f (x) и обратной для нее функции x = g (y) совпадают, только аргумент обратной функции рассматривается на оси Оу. Но если, следуя нашим привычкам, аргумент обозначать буквой х и откладывать его на оси абсцисс, т. е. вместо уравнения x = g {y) писать уравнение y = g (x), то график функции y = g (х) будет отличным от графика функции y = f (x). Покажем, что графики функции y = f (x) и обратной ей функции y = g (x) симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов. В самом деле, пусть точка М(а, b) принадлежит графику функции y = g (х) (смотри рисунок.). Это значит, что справедливо равенство
b = g (a). (1)
Рассмотрим точку N (b, а). Ее координаты удовлетворяют уравнению x = g (y), так как согласно равенству (1)
b = g (a).
Следовательно, точка N (b, а) лежит на графике функции x = g (y) или y = f (x), так как эти графики совпадают.
Покажем, что точки М(а, b) и N (b, а) симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов. С этой целью соединим центр О с точками М и N и рассмотрим прямоугольные треугольники МОМ1 и NON1. Так как M1O = N1O = | b |, а М1М = N1N = | а |, то эти треугольники равны. Из их равенства вытекает, что MO = NO, ∠МОМ1 = ∠NON1. Следовательно, Δ MON - равнобедренный и прямая ОС – биссектриса I и III координатных углов – является его биссектрисой, так как ∠ MOC = ∠ NOC (дополнения равных углов до 45°). Но тогда ОС является также медианой и высотой, т. е. MN ⊥ OC и MC = CN. Последнее и означает, что точки М и N симметричны относительно биссектрисы ОС.
Итак, каждая точка М графика обратной функции y = g (x) симметрична некоторой точке графика y = f (x) и, как легко показать, обратно, каждая точка графика y = f (x) симметрична некоторой точке графика y = g (x). Поэтому весь график y = g (x) симметричен графику y = f (x) относительно биссектрисы I и III координатных углов.
Если функция y = f (x) монотонна в промежутке Е, то указанная прямая y = y0, где у0 Î D, пересекает ее график лишь в одной точке. Это значит, что каждому значению у из области D соответствует единственное значение х, т. е. обратная функция x = g (y) - однозначная.
В случае, когда y = f (x) немонотонная, обратная функция x = g( y) – многозначная, так как некоторым значениям у будет соответствовать несколько значений х. Все эти рассуждения помогут понять смысл следующей важной теоремы.
Теорема. Если y = f {x) возрастает (или убывает) на промежутке Е и D - множество всех ее значений (область изменения функции), то обратная ей функция y = g (x) определена в области D, однозначна и также возрастает (или убывает).
Доказательство этой теоремы дается в курсе высшей математики.
Замечание. Если уравнение y = f (x) можно разрешить относительно х, т. е. получить уравнение x = g (y), то, очевидно, функция y = g (x) является обратной по отношению к функции y = f (x).
Например, пусть 
- заданная функция. Выразив х через у, найдем, что
.
Следовательно, функция 
будет обратной относительно
заданной .