§ 8. ПРОСТЕЙШИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГРАФИКОВ

1. Сдвинем все точки этого графика параллельно оси Ох на отрезок, равный а единицам, вправо. Тогда мы получим некоторую новую кривую. Если М{х₀, у₀) – произвольная точка графика y = f (x), т. е. y₀ = f (x₀),                        (1) то после сдвига она перейдет в точку N с координатами х = х₀ + а, y = y₀. Отсюда следует, что х₀ = х - а, у₀ = у и согласно равенству (1) y = f (x - a). Последнее означает, что сдвинутая кривая есть график функции y = f (x - a).
      Итак, мы получили следующее правило.
      Правило I. График функции y = f (x - a)  (y = f (x + a)) получается из графика функции y = f (x) сдвигом последнего вдоль оси Ох на а единиц вправо (влево), a > 0. (смотри рисунок.)
      Сдвинем все точки графика y = f (x) параллельно оси Оу на b > 0 единиц вверх. После этого сдвига мы получим новую кривую. Рассуждая так же, как и в случае сдвига вдоль оси Ох, убедимся, что эта кривая будет графиком функции y = f (x) + b. Таким образом, справедливо следующее правило.
      Правило II. График функции y = f (x) + b (y = f(x) - b) получается из графика функции y = f (x) сдвигом последнего вдоль оси Оу на b единиц вверх (вниз), b > 0. (смотри рисунок.)
      Заметим, что оба правила можно объединить в одно.
      Правило III. График функции y = f (x - a) + b получается из графика функции y = f (x) путем двух параллельных сдвигов последнего: вдоль оси Ох на | а | единиц (вправо, если а > 0, и влево, если а < 0) и затем вдоль оси Оу на | b | единиц (вверх, если b > 0, и вниз, если b < 0).
2. Умножим абсциссу каждой точки графика y = f (x) на число 1/a, не меняя при этом ее ординаты. Тогда каждая точка М(х₀, у₀) графика у = f (х) перейдет в новую точку N, координаты которой Такое преобразование называется сжатием вдоль оси Ох с коэффициентом а > 0. (смотри рисунок.)
      Так как y₀ = f (x₀), а х₀ = а х и у₀ = у, то y = f (a x).
   Последнее означает, что кривая, полученная в результате преобразования сжатия графика y = f (x), будет графиком функции y = f (a x).
      Правило IV. График функции y = f (a x), где а > 0, получается из графика y = f (x) сжатием последнего вдоль оси Ох с коэффициентом, равным а.
      Умножим теперь ординату каждой точки графика y = f (x) на число b > 0, не меняя при этом ее абсциссы. Это преобразование называется растяжением вдоль оси Оу с коэффициентом, равным b. Полученная кривая, как легко показать, будет графиком функции y = b f (x) (смотри рисунок.)
      Правило V. График функции y = b f (x), где b > 0, получается из графика y = f (x) растяжением последнего вдоль оси Оу с коэффициентом b.
      Замечание. При а < 1, очевидно, x/a > х, т. е. абсцисса х увеличивается (по существу график растягивается, а не сжимается). Аналогично b y < у при b < 1, т. е. ордината уменьшается (кривая сжимается к оси Ох, а не растягивается). Однако в любом случае умножение координаты на число называется растяжением, а деление ее на число – сжатием.
3. От каждой точки М (х₀, у₀) графика y = f (x) перейдем к точке N, симметричной М относительно оси Оу (смотри рисунок.). Очевидно, что координаты точек М и N связаны соотношением х = - х₀, у = у₀. Но тогда y = f (- х). Это означает, что геометрическое место точек N образует график функции y = f (- х).
      Правило VI. График функции y = f (- х) получается из графика y = f (x) симметричным отображением последнего относительно оси Оу.
      Правило VII. График функции y = - f (x) получается из графика y = f (x) симметричным отображением последнего относительно оси Ох (смотри рисунок.).