Определение
Свойства показательной функции
График показательной функции
Оглавление
Предметный указатель
Литература

ГЛАВА VIII ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
§ 1. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ. ЕЕ СВОЙСТВА И ГРАФИК

   Определение. Функция, определяемая равенством
у = ах,                        (1)
где а - постоянное положительное основание, не равное единице, называется показательной.
   Показательная функция рассматривается только при положительном основании а, так как при а < 0 выражение ах в области действительных чисел не имеет смысла, например для любого иррационального x и всех рациональных чисел p/q, где p/q - несократимая дробь и q = 2k. Заметим, что выражение ах для отдельных значений x может иметь смысл и при отрицательных значениях а, например, (- 1)3 = - 1, (- 32)1/5 = - 2 и т. д. При а = 1 число 1х = 1 для любых х и это тоже не представляет интереса.
   Все свойства показательной функции непосредственно вытекают из свойств степени с любым показателем (см. гл. I, § 4).
   Перечислим их.
  1. Показательная функция у = ах определена для всех действительных значений аргумента х, т. е. ее область определения есть вся числовая ось (- ∞, ∞).
  2. а0 = 1 при любом основании а ≠ 0.
  3. При а > 1 выражение ах > 1 для х > 0 и ах < 1 для х < 0; при 0 < а < 1 - наоборот.
       Полное доказательство этого пункта дается в курсе высшей математики; оно связано со свойствами предела. Остановимся лишь на случае рационального х. Если х = m/n, где m > 0, n > 0 - целые, то
    .
    Так как аm > 1 при а > 1, то , т. е. . Если x = - m/n, то
    при а > 1.
       Если а < 1, то, полагая b = 1/a > 1, имеем
    и
  4. Показательная функция у = ах положительна во всей области своего определения и принимает все положительные значения. Последнее означает, что для любого у > 0 существует такое значение х, при котором ах = у.
       Первая часть утверждения следует из свойства степени с положительным основанием. Вторая часть доказывается в курсе высшей математики.
  5. Показательная функция у = ах монотонна. Она возрастает при a > 1 и убывает при а < 1.
       Покажем это. Пусть а > 1 и х1 < х2. Так как ax2 - ax1 = ax1·(ax2 - x1 - 1) и ax1 > 0, то знак разности ax2 - ax1 совпадает со знаком разности ax2 - x1 - 1. По свойству III ax1 - x2 > 1 при х2 - х1 > 0. Следовательно, ax2 - x1 - 1 > 0 и ax2 > ax1. Последнее означает, что у = ах возрастает при а > 1.
       Если а < 1, то b = 1/a > 1. Тогда при х1 < х2 разность
    ,
    так как bx1 - bx2 < 0, а bx1 + x2 > 0. Итак, в случае а < 1 разность ax2 - ax1 < 0 при x1 < х1, т. е. у = ах убывает.
  6. Из равенства ax1 = ax2 следует, что x1 = x2. Это свойство вытекает из монотонности функции у = ах.
  7. Если а < b, то ах < bх при х > 0 и ах > bх при x < 0. При x = 0 значения ах и bx совпадают.
       В самом деле, по свойству показателя степени , где . Поэтому при х > 0 и при х < 0.
  8. График функции у = ах - вогнутый.
       Действительно, неравенство
    в нашем случае означает, что
    ,
    или
    ,
    что очевидно, так как
    .
   Учитывая перечисленные свойства функции у = ах, построим ее график.
   Рассмотрим сначала случай а > 1. Так как ах > 0 при всех х, то график функции лежит над осью абсцисс и пересекает ось ординат в точке (0, 1) при любых а > 0. При увеличении х кривая быстро растет вверх (при х = 1 у = а, при х = 2 у = а2 и т.д.). При движении в отрицательном направлении оси Ох (х ® ∞) ординаты неограниченно уменьшаются, принимая, однако, лишь положительные значения. Ось абсцисс является ее горизонтальной асимптотой.
   Для построения графика функции у = ах при а < 1 замечаем, что
,
где 1/a > 1. Это означает, что график функции у = ах с основанием, меньшим единицы, симметричен относительно оси Оу графику (смотри рисунок.) с основанием, большим единицы (см. гл. VII). Эти графики имеют вид кривых, изображенных на рисунке (смотри рисунок.). Они называются экспонентами.