ВВЕРХ
Для доступа к меню нажмите правую кнопку мыши
§ 3. УПРАЖНЕНИЯ
Пример 1. Что больше 202303 или 303202?
Решение. 1 способ. Из свойств показательной функции следует, что ас < bс при 1 < а < b и с > 0; аb < ас при а > 1 и b < с.
В данном примере и основания, и показатели сравниваемых величин различны, Обозначая А = 202303 и В = 303202, приведем их к одному показателю. Имеем
А = (2·101)3·101 = (8·1013)101, В = (3·101)2·101 = (9·1012)101.
Так как 8·1013 > 9·1012, то (8·1013)101 > (9·1012)101, т. е. А > В.
II способ. Прологарифмируем A и B по основанию 10. Имеем
lg A = 303·lg 202 = 303·2,...> 606
(характеристика lg 202 равна 2);
lg B = 202·lg 303 = 202·2,... < 606.
Таким образом, lg A > lg В и, следовательно, А > В.
Пример 2. Найти ошибку в следующих "рассуждениях". Очевидно, что
.
Следовательно,
. (11)
или
. (12)
Сокращая последнее неравенство на общий множитель, получаем явно неверный результат
2 > 3.
Решение. Ошибка состоит в следующем: при а > 1 равенства (11) и (12) верны, однако при сокращении на 
знак полученного неравенства изменится на противоположный, т. е.
2 < 3.
При а < 1 из условия вытекает, что
,
откуда следует, что 2 < 3, так как 
(a < l).
При решении задач на упрощение выражений, содержащих логарифмические или показательные функции, а также при доказательстве тождеств используются формулы, выведенные в § 2.
Пример 3. Вычислить без таблиц следующие выражения:
Решение. 1) Так как аb+с = аb·ас, то
Но 
. Поэтому log4 9 = log2 3 и 
. Итак,
2) Так как 
, то 
.
Поэтому
.
Пример 4. Упростить выражения:
Решение. 1) Так как аbс = (аb)с и 
, то
2) Обозначая данное выражение через A и переходя в каждом логарифме к основанию 10 [по формуле (5)], имеем
Пример 5. Найти log54 168, если log7 12 = a и log12 24 = b.
Решение. Разложим числа 168, 54, 12, 24 и 7 на простые множители:
168 = 23·3·7, 54 = 2·33, 12 = 22·3, 24 = 23·3, 7 =7.
Отсюда видно, что число различных простых множителей, входящих в разложение, равно трем (2, 3, 7). Обозначая log2 3 = x и log2 7 = y, мы можем выразить через х и у все логарифмы, содержащиеся в данной задаче. Действительно,
Используя данные задачи, составляем для определения х и у систему двух уравнений
решая которую, находим, что
Подставляя найденные значения х и у в третье из равенств (13), получаем
Замечание. Исследование способа решения показывает, что подобная задача имеет решение, если число различных простых множителей чисел и оснований на единицу больше числа условий. Тогда, принимая один из множителей за основание, мы цолучаем систему уравнений, число которых равно числу неизвестных.
Задачи, где все логарифмы рассматриваются при одном основании, решаются проще, без составления системы.
Пример 6. Вычислить log30 8, если log30 3 = a и log30 5 = b.
Решение. Замечая, что 30 = 2·3·5, имеем
log30 2 + log30 3 + log30 5 = log30 30 = 1, или а + b + log30 2 = 1.
Отсюда находим log802=l - (a + 6) и log30 8 = 3·(l - a - b).
Пример 7. Найти lg 2 и lg5, если lg 2 - lg 5 = a.
Решение. Так как lg 2 + lg 5 = lg l0 = 1, а по условию lg 2·lg 5 = a, то lg 2 и lg 5 являются корнями квадратного уравнения
z2 - z + a = 0.
Решая его, находим
,
откуда
Пример 8. Сколько цифр содержит число 275?
Решение. Вычисляя lg 275, имеем
lg 275 = 75·lg 2 = 75·0,3010 = 22,5750.
Отсюда следует, что характеристика этого десятичного логарифма равна 22. Но характеристика на единицу меньше количества цифр. Следовательно, число 275 содержит 23 цифры.
Пример 9. Доказать, что если a2 + b2 = 7 ab, причем аb ≠ 0, то
Решение. Дополняя левую часть данного равенства до полного квадрата, имеем
a2 + 2ab + b2 = 9 ab.
Из равенства положительных чисел вытекает равенство их логарифмов, взятых по одному и тому же основанию, т. е.
lg (a + b)2 = lg 9ab.
Так как lg x2 = 2 1g |x| и lg (x1·x2) = lg |x1| + lg |x2|, то из последнего равенства следует, что
2 lg |a + b| = 2 lg 3 + lg |a| + lg |b|,
или
что окончательно дает
Пример 10. Доказать, что
,
где N > 0, a > 0, b > 0, с > 0, а ≠ 1, b ≠ 1, с ≠ 1, аbс ≠ 1, N ≠ 1.
Решение. Используя тождество , перейдем в каждом сомножителе левой части к основанию N. Обозначая ее через A, имеем
Преобразуя каждый логарифм к числу N, получаем
,
что и требовалось доказать.