Угол в тригонометрии
Равные углы
Сумма углов
Вычитание углов
Оглавление
Предметный указатель
Литература
ГЛАВА IX
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

§ 1. УГОЛ В ТРИГОНОМЕТРИИ
(Угол. Измерение угла)

   Пусть луч, выходящий из точки О, занимает исходное положение ОА. Сделав некоторый поворот от этого исходного положения против или по часовой стрелке, он займет положение ОВ (смотри рисунок). Это новое положение вместе с исходным образует угол AОВ, у которого ОА называется начальной, а ОВ-конечной сторонами. Угол называется положительным, если он образован поворотом луча против часовой стрелки, и отрицательным - в противоположном случае. Наименьший положительный поворот, при котором конечная сторона совместится с начальной, называется полным углом.
   При вращении луча от начальной стороны ОА до конечной ОВ, он может совершить несколько полных положительных или отрицательных поворотов, т.е. одной то же взаимное расположение лучей ОА и ОВ может быть достигнуто бесконечным множеством различных поворотов. Следовательно, чтобы задать угол АОВ, недостаточно внать его начальную и конечную стороны, а нужно указать еще тот поворот, который переводит луч из начального положения ОА в конечное ОВ. Этим и определяется угол в тригонометрии.
   Как и в геометрии, углы в тригонометрии измеряются в градусах и радианах. Один радиан это измерение такого центрального угла окружности, который опирается на дугу, длина которой равна радиусу окружности. Существуют и другие единицы для измерения углов. Мы на них останавливаться не будем. Но если мера или величина геометрического угла есть число положительное, принимающее значения от 0 до 360° (градусов) или от 0 до 2π; (радианов), то величина тригонометрического угла есть число, которое может принимать любые положительные и отрицательные значения.
   Два угла называются равными, если равны их величины. При этом, очевидно, их начальные и конечные стороны могут быть совмещены. Обратное утверждение не имеет места, т. е. из совпадения сторон двух углов α и β не вытекает, вообще говоря, равенство этих углов. Однако они могут отличаться друг от друга только на полное число оборотов положительных или отрицательных, т. е.
α - β = 360°·k, или α - β = 2πk, где k = 0, ± 1, ± 2, ... .
Здесь, как и в дальнейшем, под словом угол понимают величину угла (т. е. слово "величина" опускается, так же как говоря "сторона.треугольника а = 3", опускают слово "длина").
   Суммой двух углов α и β называется третий угол γ построенный по следующему правилу: принимая конечную сторону первого угла за начальную сторону второго, откладывают от нее второй угол против или по часовой стрелке, в зависимости от знака второго слагаемого (смотри рисунок.).
   Вычитание углов определяется как действие, обратное сложению, т. е. α - β = γ, если β + γ = α.(смотри рисунок.)
   Таким образом, если углы α и β откладывать от общей стороны ОА и за начальную сторону разности γ принять конечную сторону ОВ вычитаемого β, то конечная сторона γ совпадет с конечной стороной ОС уменьшаемого α (смотри рисунок.). Заметим, что всякое вычитание может быть рассмотрено как сложение, т. е.
α - β = α + (- β).
Очевидно, сложению углов соответствует сложение их величин, т. е. величина суммы углов равна сумме величин слагаемых.