§ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ КРУГ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
(Тригонометрические функции)
Для удобства в тригонометрии используется так называемый "тригонометрический круг" - окружность произвольного радиуса R с центром в начале прямоугольной системы координат (смотри рисунок). Координатные оси делят этот круг на четыре квадранта, или четверти, соответствующие координатным четвертям и занумерованные в том же порядке. Горизонтальный радиус ОА принимают за неподвижный и считают его начальной стороной всех углов в круге (если не сделано дополнительной оговорки). Конечную сторону этих углов образует другой радиус ОВ, который называют подвижным. Каждому действительному числу α соответствует единственное положение подвижного радиуса ОВ (или точки В на окружности), образующее угол в α радианов. Обратная связь неоднозначна - каждому положению подвижного радиуса ОВ (или точки В на окружности) соответствует бесчисленное множество действительных чисел α - величины всех углов, определенных этим положением подвижного радиуса ОВ. Все эти числа содержатся в формуле α + 2 π k, где k = 0, ± 1, ± 2, ... и α -одно из этих чисел.
Говорят, что угол α оканчивается в той четверти, в которой лежит соответствующий ему подвижный радиус. В частности, если α - острый угол, т. е. 0 < α < π/2, то говорят, что он принадлежит I четверти.
Углы, конечная сторона которых лежит на горизонтальном или вертикальном диаметре (границы четвертей), обычно не относят ни к одной из четвертей. Таким образом, углы, изменяющиеся в интервалах (2 π k, π/2 + 2 π k), или (360°·k, 90° + 360°·k), оканчиваются в I четверти.
Углы, изменяющиеся в интервалах (π/2 + 2 π k, π + 2 π k, или (90° + 360°·k, 180° + 360°·k), оканчиваются во II четверти.
Углы, изменяющиеся в интервалах (π + 2 π k, 3π/2 + 2π k), или (180° + 360°·k, 270° + 360°·k), оканчиваются в III четверти.
И, наконец, углы, изменяющиеся в интервалах (3π/2 + 2 π k, 2π + 2πk) или (270° + 360°·k, 360° + 360°·k), оканчиваются в IV четверти.
Замечание. Вместо углов в круге можно говорить о соответствующих им дугах окружности, как положительных, так и отрицательных. При этом градусные измерения тех и других совпадают. Поэтому все, что в дальнейшем будет говориться об углах, в равной мере следует относить и к дугам.
Пусть α - некоторый угол и ОВ - соответствующий ему подвижный радиус. Обозначим через х и у координаты точки В и докажем, что для любого угла α величины отношений y/R и x/R не зависят от длины радиуса R. С этой целью рассмотрим два тригонометрических круга с радиусами R и R1(смотри рисунок.).
Пусть для определенности R < R1. Продолжая радиус ОВ, получим на второй окружности точку B1 с координатами х1 и у1. Очевидно, что тот же угол α во втором круге определяется радиусом ОВ1. Если точки В и B1 попадают на концы вертикального или горизонтального диаметра, то справедливость нашего утверждения очевидна (например, для левого конца горизонтального диаметра у = у1 = 0, х = - R, х1 = - R1 и, следовательно,
. Аналогично исследуются другие три случая). Во всех остальных случаях можно построить подобные треугольники ОВС и OB1С1( где С и С1 - проекции точек В и В1 на горизонтальный диаметр.Из подобия этих треугольников имеем
(*)
, если х ≠ 0 и х1 ≠ 0, т. е. 
, и отношения 
, если у ≠ 0 и у1 ≠ 0, т. е. α ≠ k π. Все эти четыре отношения, зависящие только от угла α,
называются тригонометрическими функциями этого угла, а именно:
- Синусом угла α называется отношение ординаты конца подвижного радиуса, соответствующего α, к длине радиуса:
.
- Косинусом угла α называется отношение абсциссы конца подвижного радиуса, соответствующего α, к длине радиуса:
.
- Тангенсом угла α называется отношение ординаты конца подвижного радиуса, соответствующего α, к его абсциссе:
.
- Котангенсом угла α называется отношение абсциссы конца подвижного радиуса, соответствующего α, к его ординате:
.
Секансом угла α называется величина, обратная косинусу α, т. е.
. Косекансом угла α называется величина, обратная синусу α, т.е. 
. Эти две функции специального интереса не представляют, ими пользуются лишь как удобным представлением выражений 
и 
. Поэтому мы в дальнейшем будем изучать свойства только первых четырех функций: sin α, cos α, tg α и ctg α.Из определения тригонометрических функций вытекает, что:
- 1) функции sin α и cos α определены для любого α, причем |sin α| ≤ l и | cos α | ≤ 1;
- 2) функция tg α определена для всех (k = 0, ± 1, ± 2, .. .). Подвижный радиус, соответствующий значению
, лежит на вертикальном диаметре (абсцисса его конца равна нулю);
- 3) функция ctg α определена для всех α ≠ π k. Подвижный радиус, соответствующий значению α = π k, лежит на горизонтальном диаметре (ордината его конца равна нулю).
Вместо тригонометрической функции угла или дуги можно говорить о тригонометрической функции действительного числа α.
Тригонометрической функцией действительного аргумента α называется одноименная тригонометрическая функция дуги или угла в α радианов. Все свойства тригонометрических функций мы будем формулировать для любого аргумента α, который может быть углом, дугой или числом.