9_5

ВВЕРХ

sin α

cos α

tg α

ctg α

Неравенство

Оглавление

Предметный указатель

Литература

Для доступа к меню нажмите правую кнопку мыши

§ 5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОСТРОГО УГЛА

Пусть α -острый угол (0 < α <

) и OB - соответствующий ему подвижный радиус. Тогда этот угол можно рассматривать как острый угол в прямоугольном треугольнике ВОС, в котором катеты ОС и ВС равны соответственно координатам х и у точки В, а гипотенуза ОВ равна радиусу круга (смотри рисунок.). Верно и обратное. Всякий прямоугольный треугольник ВОС с острым углом α, гипотенузой с и катетами а и b можно поместить в тригонометрический круг радиуса R = c так, как это указано на рисунке смотри рисунок.. При этом координаты точки В совпадают с длинами катетов: В(b, а).
Согласно определению тригонометрических функций произвольного угла имеем:

1) , т. е. синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе;
2) , т. е. косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе;
3) , т. е. тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему;
4) , т. е. котангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к противолежащему.

Очевидно, что все тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике положительны.
Пусть α - радианная мера острого угла. Продолжим соответствующий ему подвижный радиус ОВ до пересечения в точке D с вертикальной касательной, проведенной к окружности в точке А (смотри рисунок.). Рассмотрим треугольники ВОA и DOА и круговой сектор BOA. Все они содержат общий угол α. Согласно свойству площадей (см. гл. XV) S_BOA <

< S_DOA. (*) Вычисляя эти площади, имеем S_BOA = ½·OB·sin α·OB = ½·R²·sin α.

= ½·R²·α и S_DOA = ½·0A·AD = ½·0A·0A·tg α = ½·R²·tg α. Подставляя найденные значения площадей в неравенство (*) и сокращая все его члены на множитель (*), получаем sin α < α < tg α. (9) Итак, мы доказали важное неравенство, справедливое для действительных чисел α, заключенных в интервале (0,

). Заметим, что sin α < α для любого α > 0.