Предлагаются для решения задачи с номерами в диапазоне 101 – 198. Для перехода к задаче наберите как на телефоне номер задачи. Кроме того, предлагаются задачи по разделам
  1. Признаки подобия треугольников
  2. Задачи для самостоятельного решения
  3. Метрические отношения в прямоугольном треугольнике
  4. Метрические соотношения в треугольнике
  5. Задачи для самостоятельного решения
  6. Теоремы о пропорциональных отрезках в окружности

Признаки подобия треугольников

   Первый признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны.
   Второй признак подобия треугольников. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.
   Третий признак подобия треугольников. Если стороны двух треугольников пропорциональны, то треугольники подобны.

Задачи для самостоятельного решения

  1. В одном из подобных треугольников стороны относятся, как 2 : 5 : 6. Большая сторона другого треугольника равна 15 см. Найти стороны второго треугольника.

    Ответ: 5 см и 12,5 см

  2. В треугольниках АВС и А1В1С1 дано, что ∠А = ∠А1 и ∠С = ∠С1. Сторона ВС = 17,5 см и В1С1 = 7 см. Найти сторону А1В1, если АВ = 12,5 см.

    Ответ: 5 см.

  3. В треугольнике со сторонами АС = 12 СМ и ВС = 16 см проведён отрезок AD, образующий со стороной ВС угол ADC, равный углу BAC. Найти длину отрезка DC.

    Ответ: DC = 9 см








  4. В треугольнике АВС и А1В1С1 дано, что ∠В = ∠В1 и АВ : А1В1 = ВС : В1С1 = 4 : 3. Найти длину стороны треугольника А1В1С1, если АВ = 16 см, ВС = 20 см и АС = 24 см.

    Ответ: А1В1 = 12 см, В1С1 = 15 см и А1С1 = 18 см

  5. В треугольнике АВС и А1В1С1 дано ∠А1 = ∠А2 и АВ : А1В1 = АС : А1С1 = 4 : 5. Найти ВС и В1С1, если их сумма равна 45 см.

    Ответ: ВС = 20 см и В1С1 = 25 см

  6. В треугольнике АВС проведена биссектриса угла В, которая пересекает сторону АС в точке D. Из точки D проведены прямые, параллельные сторонам АВ и ВС. Найти длину сторон образовавшегося четырёхугольника, если АВ = 4,5 дм и ВС = 9 дм.

    Ответ: 3 дм

Метрические отношения в прямоугольном треугольнике

   Теорема Пифагора. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
c² = a² + b²
   Доказательство. Построим квадрат со стороной a + b и разобьём его так, как указано на рисунке. Тогда площадь квадрата со стороной a + b равна сумме площадей четырёх рассматриваемых прямоугольных треугольников и площади квадрата со стороной с:
(a + b)² = 4·½·a·b +c².
Раскроем квадрат в левой части последнего соотношения
a² + 2·a·b + b² = 4·½·a·b +c².
и получим искомое соотношение теоремы Пифагора
c² = a² + b²





   Теорема. Квадрат высоты, опущенной из вершины прямого угла, равен произведению отрезков, на которые эта высота разбивает гипотенузу.
h² = p·q
   Теорема. Квадрат катета равен поизведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

Метрические соотношения в треугольнике

   Теорема. Квадрат стороны, лежащей против острого угла треугольника, равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения одной из этих сторон на проекцию на неё другой стороны.
Доказательство.
Требуется доказать
AB² = BC² + AC² - 2·AC·DC
Действительно. Из ΔABD и ΔDBC имеем:
АВ² = AD² + BD²
и
BD² = BC² - DC²
поэтому
АВ² = AD² + BD² = AD² + BC² - DC² = (AC - DC)² + BC² - DC² = AC² - 2·AC·DC + DC² + BC² - DC² = AC² + BC² - 2·AC·DC. Что и требовалось доказать.
   Теорема. Квадрат стороны, лежащей против тупого угла треугольника, равен сумме квадратов двух других сторон сложенной с удвоенным произведением одной из этих сторон на проекцию на неё другой стороны.
Доказательство.
Требуется доказать
AB² = AC² + BC² + 2·BC·DC
Действительно. Из ΔDAB и DAC имеем:
АВ² = AD² + DB²
и
AD² = AC² - DC²
поэтому
АВ² = AD² + BD² = AC² - DC² + BD² = AC² - DC² + (CD + BC)² = AC² - DC² + CD² + BC² + 2·CD·BC= AC² + BC² + 2·BC·DC.
   Теорема. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.
AC² + BD² = AB² + BC² + CD² + AD²
Доказательство. Из Δ ABD имеем
AD² = AB² + AD² - 2·AD·AM.
Из ΔACD имеем
AC² = AD² + DC² + 2·AD·DM.
Складывая эти два соотношения, получим искомое равенство, если учесть, что AD = BC и AM = DN (по признаку равенства треугольников Δ ABM и ΔDCN.
   Теорема. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.

Задачи для самостоятельного решения

   Условимся обозначать в прямоугольном треугольнике буквами а и b – катеты; с – гипотенуху; h – высоту, опущенную из вершины прямого угла; р – проекцию катета а и q – катета b на гипотенузу.
  1. Принимая во внимание указанные обозначения, найти по двум нданным элементам прямоугольного треугольника остальные его элементы.
      a b c h p q
    1 16 12        
    2 7 24        
    3 5   13      
    4   8 10      
    5   17   15    
    6     122   50  
    7         1 9
    8     20 8    
    9 3       1,8  
    10       18   12
  2. Высота h прямоугольника делит гипотенузу на отрезки, равные 5 см и 7,2 см. Найти h, a, b (с точностью до 0,1 см).

    Ответ: 6 см, 7,8 см и 9,4 см.

  3. Катет прямоугольного треугольника равен 35 см. Сумма гипотенузы и другого катета равна 49 см. Найти гипотенузу и другой катет.

    Ответ: 37 см и 12 см.

  4. Гипотенуза прямоугольного треугольника 125 мм. Высота h = 33,9 мм. Найти отрезки гипотенузы (с точностью до 0,5 мм).

    Ответ: 10 мм и 115 мм

  5. Гипотенуза прямоугольного треугольника 35 см. Отношение катетов равно 3 : 4. Найти катеты.

    Ответ: 21 см и 28 см.

  6. Диагонали ромба 12 см и 18 см. Найти его сторону (с точностью до 1 мм).

    Ответ: 10,8 см.

  7. Катет, лежащий против угла в 30°, равен 10 см. Найти перитетр треугольника (с точностью до 0,1 см).

    Ответ: 47,3 см.

  8. Периметр ромба 8 м, одна диагональ ромба 2,4 м. Найти вторую диагональ.

    Ответ: 3,2 м.

  9. Из круглого железа надо выфрезеровать квадратную головку со стороной 18 мм. Какого наименьшего диаметра следует взять железо для этой цели? (с точностью до 0,1 мм).

    Ответ: 25,5 мм.

  10. Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит противолежащий катет на части в 8 см и 10 см. Найти гипотенузу.

    Ответ: 30 см.

  11. Периметр прямоугольного треугольника равен 132, а сумма квадратов сторон треугольника – 6050. Найти стороны.
  12. В параллелограмме даны острый угол α и расстояние m и р от точки пересечения диагоналей до неравных сторон. Определить диагонали и площадь параллелограмма.Консультация


  13. В равнобедренном треугольнике основание равно 30 см, а высота 20 см. Определить высоту, опущенную на боковую сторону.
  14. В треугольнике основание равно 60 см, высота 12 см и медиана, проведённая к основанию, 13 см. Определить боковые стороны. Консультация
    По теореме найдём сторону ВС = 25 см. Обозначим неизвестную высоту МС = х. Тогда
    Избавившись от иррациональности, получим х = 24 см.
  15. На сторонах ранобедренного прямоугольного треугольника с катетом b построены квадраты во внешние стороны. Центры этих квадратов соединены между собою прямыми линиями. Найти площадь получившегося треугольника. Консультация
  16. Стороны квадрата разделены в отношении m к n, причём к каждой вершине прилежит один большой и один малый отрезок. Последовательные точки деления соединены прямыми. Найти площадь полученного четырёхугольника, если сторона данного квадратаравна а.
  17. В квадрат вписан другой квадрат, вершины котоого лежат на сторонах первого, а стороны составляют со сторонами первого квадрата углы по 30°. Какую часть площади данного квадрата составляет площадь вписанного?
  18. В квадрат со стороной а вписан другой квадрат, вершины которого лежат на сторонах первого квадрата. Определить отрезки, на которые стороны первого квадрата рассекаются вершинами второго квадрата, если площадь второго квадрата равна 25/49 площади первого квадрата.
  19. В прямоугольник со сторонами 3 м и 4 м вписан другой прямоугольник, стороны которого относятся, как 1 : 3. Найти стороны этого прямоугольника.
  20. В равносторонний треугольник АВС, сторона которого а, вписан другой равносторонний треугольник LMN, вершины которого лежат на сторонах первого треугольника и делят каждую из них в отношении 1 : 2. Определить площадь треуголника LMN.
  21. Найти стороны прямоугольного треугольника по данным: периметр 2р и высоте h. Консультация
    Из обозначений задачи следует
    a + b + c = 2·p.
    Отсюда a + b = 2·p - с. Возведём обе части последнего равенства в квадрат
    a² + b² + 2·a·b = 4·p² - 4·p·c + c².
    По теореме Пифагора a² + b² = c² и поэтому
    с² + 2·a·b = 4·p² - 4·p·c + c².
    или
    a·b = 2·p² - 2·p·c.
    По формуле вычисления площади прямоугольного треугольника имеем a·b = c·h и поэтому
    с·h = 2·p² - 2·p·c.
    откуда
    Используя полученное выражение и вышеприведённые данные, запишем систему уравнений
    Следовательно а и b есть корни квадратного уравнения
    Решив это уравнение, получим окончательно.
    Ответ.
  22. На боковых сторонах СА и СВ равнобедренного треугольного треугольника АВС отложены равные отрезки СМ и CN. Определите длину этих отрезков, зная периметр 2Р треугольника АВС, его основание АВ = 2а и периметр 2р четырёхугольника AMNE, отсечённого прямой MN.
  23. Дана прямоуголная трапеция с основаниями а, b и наименьшей боковой стороной с. Определить расстояния точки пересечения диагоналей трапеции от основания а и от меньшей боковой стороны.
  24. Найти площадь равнобедренного треугольника, если основание его 12 см, а высота, опущенная на основание, равна прямой, соединяющей середины основания и боковой стороны.
  25. Периметр ромба cодержит 2р см, сумма диагоналей его m см. Найти площадь ромба.
  26. Большее основание трапеции а, меньшее b; углы при большем основании 30° и 45°. Найти площадь трапеции.
  27. Вычислить лощадь трапеции, параллельные стороны которой содержат 16 см и 14 см, а непараллельные 17 см и 25 см.
  28. Найти площадь квадрата, вписанного в праввильный треугольник со стороной а.
  29. Основание треугольника делится высотою на части 36 см и 14 см. Перпендикулярно к основанию проведена прямая, делящая площадь данного треугольника пополам. На какие части эта прямая разбила основания треугольника?
  30. Высота треугольника равна 4 см; она делит на две части, относящиеся как 1 : 8. Найти длину прямой, параллельной высоте и делящей треугольник на равновеликие части.
  31. Треугольник АВС разбит на три равновеликие фигуры прямыми, параллельными стороне АС. Вычислить, на какие части разбили эти прямые сторону АВ, равную а. Консультация

    Площади подобных фигур относятся как квадраты соответствующих сторон.

  32. Прямая, параллельная основанию треугольника, площадь которого равна S, отсекает от него треугольник с площадью, равной q. Определить площадь четырёхугольника, три вершины которого совпадают с вершинами меньшего треугольника, а четвёртая лежит на основании большого треугольника. Консультация
    Площадь четырёхугольника не зависит от положения точки L на основании большего основания. Введём обозначения SMBN = q, SABC = S, MN = a1, BL = H, BL1 = h2. Так как диагонали четырёхугольника взаимно перпендикулярны, то площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей
    Так как , то . Учитывая опять отношения подобия, получим, . Откуда легко получим искомое соотношение для площади.
  33. Параллельные стороны трапеции равны а и b. Определить длину отрезка, параллельного им и делящего площадь трапеции пополам.
  34. Из вершины тупого угла ромба опущены перпендикуляры на его стороны. Длина каждого перпендикуляра равна а, расстояние между их основаниями равно b. Определить площадь ромба.
  35. Определить площадь треугольника, если две стороны соответственно равны 27 см и 29 см, а медиана третьей стороны равна 26 см.
  36. Даны две стороны b и с треугольника и его площадь . Найти третью сторону а треугольника.
  37. По основаниям а и b и боковым сторонам с и d трапеции определить ее диагонали m и n.
  38. Дан параллелограмм, в котором острый угол 60°. Определить отношение длин сторон, если отношение квадратов длин диагоналей параллелограмма равно .
  39. Внутри равностороннего треугольника взята произвольная точка, из которой опущены перпендикуляры на все его стороны. Доказать, что сумма этих трех перпендикуляров равна высоте треугольника.
  40. Из точки вне круга проведены две секущие. Внутренний отрезок первой равен 47 м, а внешний 9 м; внутренний отрезок второй секущей на 72 м больше внешнего ее отрезка. Определить длину второй секущей.
  41. Из точки, отстоящей от центра круга на m см, проведены касательные к кругу. Расстояние между точками касания равно а см. Определить радиус круга.
  42. Внутри круга, радиус которого равен 13 см, дана точка M, отстоящая от центра на 5 см. Через точку М проведена хорда AB = 25 см. Определить длину отрезков, на которые хорда АВ делится точкой М.
  43. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен а. Определить отношение радиусов кругов вписан ного и описанного.
  44. Стороны треугольника: а = 13, b = 14, c = 15. Две из них (а и b) служат касательными к кругу, центр которого лежит на третьей стороне. Определить радиус круга.
  45. Около круга радиуса R описан равнобедренный треугольник с углом 120°. Определить его стороны.
  46. На большем катете, как на диаметре, описана полуокружность. Определить длину этой полуокружности, если меньший катет равен 30 см, а хорда, соединяющая вершину прямого угла с точкой пересечения гипотенузы с полуокружностью, равна 24 см.
  47. В прямоугольный треугольник вписан полукруг так, что диаметр его лежит па гипотенузе и центр его делит гипотенузу на отрезки, равные 15 см и 20 см. Определить длину дуги полукруга, заключенной между точками касания его с катетами.
  48. В равнобедренном треугольнике с основанием, равным 4 см, и высотой, равной 6 см, на боковой стороне, как на диаметре, построена полуокружность. Точки пересечения ее с основанием и боковой стороной соединены прямой. Определить площадь получившегося четырех угольника, вписанного в полукруг. Консультация
    Площадь четырёхугольника найдём как SABED = SABC - SDEC.
    .
    Отрезок ЕС найдём из свойства секущих окружности, проведённых из внешней точки:
    AC·DC = DC·EC
    .
    Площадь треугольника SDCE найдём по двум сторонам и синусу угла между ними
    .
  49. Дан равнобедренный треугольник с основанием 2а и высотой h. В него вписана окружность, и к ней проведена касательная, параллельная основанию. Найти радиус окружности и длину отрезка касательной, заключенного между сторонами треугольника.
  50. Из точки, лежащей вне круга, проведены две секущие, внешние части которых содержат по 2 м. Определить площадь четырехугольника, вершинами которого служат точки пересечения секущих с окружностью, зная, что длина двух erg противоположных сторон равна 6 м и 2,4 м.
  51. Стороны треугольника равны 6 см, 1 см, 9 см. Из трех вершин, как из центров, проведены взаимно касающиеся окружности, причем окружность, центр которой лежит в вершине наименьшего угла треугольника, имеет с остальными двумя окружностями внутреннее касание, а остальные две между собой имеют внешнее касание. Определить радиус трех окружностей.
  52. Внешняя касательная двух окружностей радиусов 5 см и 2 см в 1,5 раза больше их внутренней касательной. Определить расстояние между центрами этих окружностей.
  53. Расстояние между центрами двух окружностей, радиусы которых равны 17 см и 10 см, равно 21 см. Определить расстояние центров от точки, в которой прямая центров пересекается с общей касательной окружностей.
  54. К двум окружностям радиусов R и г, находящимся в положении внешнего касания, проведены их общие касательные - внутренняя и две внешние. Определить длину отрезка внутренней касательной, заключенного между внешними касательными.
  55. К двум окружностям радиусов R и г, находящим ся в положении внешнего касания, проведены их общие внешние касательные. Определить площадь трапеции, ограниченной этими касательными и хордами, соединяющими точки касания.
  56. Две окружности радиусов R и г находятся в положении внешнего касания. К этим окружностям проведена общая внешняя касательная, и в образовавшийся при этом криволинейный треугольник вписана окружность. Найти ее радиус.
  57. Через одну и ту же точку окружности проведены две хорды, равные а и b. Если соединить их концы, то получится треугольник площади 5. Определить радиус окружности.
  58. В круге радиуса R по одну сторону от центра проведены три параллельные между собой хорды, соответственно равные сторонам правильных вписанных в круг шестиугольника, четырехугольника и треугольника. Определить отношение площади той части круга, которая заключена между второй и третьей хордами, к площади той части круга, которая заключена между первой и второй хордами.
  59. Определить площадь круга, вписанного в прямоугольный треугольник, если высота, опущенная на гипртенузу, делит ее на отрезки, равные 25,6 см и 14,4 см.
  60. В ромб со стороной а и острым углом 60° вписана окружность. Определить площадь прямоугольника, вершины которого лежат в точках касания окружности со сторонами ромба.
  61. К окружности радиуса R проведены 4 касательные, образующие ромб, большая диагональ которого равна 4R. Определить площадь каждой из фигур, ограниченных двумя касательными, проведенными из общей точки, и меньшей дугой окружности, лежащей между точками касания.
  62. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна S. Определить боковую сторону этой трапеции, если известно, что острый угол при основании трапеции равен π/6.
  63. Около круга радиуса 2 см описана равнобочная трапеция с площадью 20 см³. Найти стороны трапеции.
  64. Около круга описана трапеция, боковые стороны которой образуют с большей из параллельных сторон острые углы α и β, Определить радиус круга, если площадь трапеции Q.
  65. Около круга радиуса r описана прямоугольная трапеция, наименьшая из сторон которой равна 1,5·r. Определить площадь трапеции.
  66. Центр круга, вписанного в прямоугольную трапецию, отстоит от концов боковой стороны на 2 см и 4 см. Найти площадь трапеции.
  67. В равносторонний треугольник со стороной а вписан круг. Затем в этот треугольник вписаны еще три круга, касающиеся первого круга и сторон треугольника, и еще три круга, касающиеся только что вписанных кругов и сторон треугольника, и т. д. Найти сумму площадей всех вписанных кругов. То естьпредел суммы площадей вписанных кругов.
  68. Треугольник ABC вписан в окружность; через вершину А проведена касательная до пересечения с продолженной стороной ВС в точке D. Из вершин В и С опущены перпендикуляры на касательную, меньший из которых равен 6 см. Определить площадь трапеции, образованной этими перпендикулярами, стороной ВС и отрезком касательной, если ВС = 5 см, AD = 5· см.
  69. В правильный треугольник, сторона которого равна а, вписаны три равных круга, касательных друг к другу. Каждый из них касается двух сторон данного треугольника. Определить радиусы этих кругов.
  70. Внутри равностороннего треугольника со стороной а расположены три равных круга, касающиеся сторон треугольника и взаимно касающиеся друг друга. Найти площадь криволинейного треугольника, образованного дугами взаимно касающихся кругов (вершинами служат точки взаимного касания).
  71. Внутри квадрата со стороной а расположены четыре равных круга; каждый из них касается двух смежных сторон квадрата и двух кругов (из числа остальных трех). Найти площадь криволинейного четырехугольника, образованного дугами касающихся кругов (вершинами служат точки касания кругов).
  72. Найти площадь сегмента, если периметр его равен р, а дуга содержит 120°.
  73. В треугольник вписан круг радиусом 4 см. Одна из сторон треугольника разделена точкой касания на части, равные 6 см и 8 см. Найти длины двух других сторон.
  74. Перпендикуляр, опущенный из вершины угла при основании равнобедренного треугольника на противоположную сторону, делит последнюю в отношении m : n. Найти углы треугольника.
  75. Хорда, перпендикулярная к диаметру, делит его в отношении m : n. Определить каждую из дуг (В дуговых переменных), на которые разделится окружность хордой и диаметром.
  76. Определить угол параллелограмма, если даны две его высоты h1 и р2 и периметр 2р.
  77. В прямоугольном треугольнике найти отношение катетов, если высота и медиана, выходящие из вершины прямого угла, относятся, как 40 : 41.
  78. В прямоугольном треугольнике гипотенуза с, а один из острых углов равен α. Определить радиус вписанного круга.
  79. Стороны треугольника равны 25 см, 24 см и 7 см. Определить радиусы вписанного и описанного кругов.
  80. Определить радиусы двух внешне касающихся кругов, если расстояние между их центрами равно d, а угол между общими внешними касательными равен φ.
  81. Определить угол ромба, зная его площадь Q и площадь вписанного в него круга S.
  82. В круг вписан правильный 2n - угольник; вокруг этого же круга описан правильный n - угольник. Площади этих многоугольников отличаются друг от друга на Р. Определить радиус круга.
  83. Середины сторон правильного n - угольника соединены прямыми, образующими новый правильный n - угольник, вписанный в данный. Найти отношение их площадей.
  84. Около правильного n - угольника со стороной а описана окружность и в него вписана окружность. Определить площадь кольца между этими окружностями и ширину его.
  85. В сектор радиуса R с центральным углом α вписан круг. Определить его радиус.
  86. К кругу радиуса R проведены из одной точки две касательные, составляющие между собой угол 2α. Определить площадь между этими касательными и дугой круга.
  87. Ромб с острым углом α и стороной а разделен прямыми, исходящими из вершины этого острого угла, на три равновеликие части. Определить длины отрезков этих прямых.
  88. Внутри угла 60° расположена точка на расстояниях а и b от его сторон. Найти расстояние этой точки до вершины данного угла.
  89. Определить площадь треугольника, если даны а и b - длины его сторон и t - длина биссектрисы угла между этими сторонами.
  90. В равнобедренном треугольнике длины боковых сторон равны а каждая, а длина отрезка прямой, проведенного из вершины треугольника к его основанию и делящего угол между равными сторонами в отношении 1 : 2, равна t. Определить площадь этого треугольника.
  91. Зная углы треугольника, определить угол между медианой и высотой, проведенными из вершины какого-нибудь угла.
  92. Сторона правильного треугольника равна а. Из центра его радиусом a/3 описана окружность. Определить площадь части треугольника, лежащей вне этой окружности.
  93. В прямоугольной трапеции, высота которой равна h, на стороне, не перпендикулярной к основанию, как на диаметре, описана окружность, и оказалось, что она касается противоположной стороны трапеции. Найти площадь прямоугольного треугольника, у которого катеты - основания трапеции.
  94. Доказать, что в прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит пополам угол между медианой и высотой, опущенными на гипотенузу.
  95. Доказать, что в прямоугольном треугольнике сумма катетов равна сумме диаметров вписанной и описанной окружностей.
  96. Определить угол прямоугольного треугольника, зная, что радиус описанного около него круга относится к радиусу вписанного круга, как 5 : 2.
  97. Доказать, что прямые, соединяющие последовательно центры квадратов, построенных на сторонах параллелограмма и примыкающих к нему извне, образуют также квадрат.
  98. Биссектриса угла В пересекает сторону АС треугольника АВС в точке М и делит её на отрезки АМ = 21 см и СМ = 27 см. Найдите периметр треугольника АВС, если биссектриса угла АМВ перпендикулярна прямой АВ. Консультация
    Биссектриса делит сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам, откуда имеем уравнение . Треугольники AKM и BKM подобны, вследствие чего можно сделать вывод, что треугольник АВМ является равнобедренным. Далее треугольники ВМС и АВС подобны по двум углам, вследствие чего имеем . Решая систему уравнений
    Получим ВС = 36 см, ВС = 28 см. Окончательно получим Р = 28 + 36 + 48 = 112 см.

ТЕОРЕМЫ О ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫХ ОТРЕЗКАХ В ОКРУЖНОСТИ

   Теорема 1. Если через точку М, взятую внутри окружности, провести хорды, то произведение отрезков, на которые каждая хорда делится точкой М, есть величина постоянная для всех хорд. Доказательство. Выберем произвольную точку М внутри окружности и через эту точку проведём две произвольные хорды АВ и CD. Соединим точки С и В, а также А и D. Треугольник МАD и треугольник МСВ побобны по углам: если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то эти треугольники подобны. В данном случае ∠ BAD = ∠ DCB как вписанные углы окружности опирающиеся на одну и ту же дугу, ∠ СМВ = ∠ DMA как углы вертикальные. В потобных треугольниках отношения соответствующих сторон равны
,
откуда окончательно получим
АМ · MB = DM · MC.
   Условимся для краткости формулировки теоремы, говоря «секущая», подразумевать длину отрезка секущей прямой от данной точки вне окружности до наиболее удалённой точки её пересечения с окружностью, а говоря «внешняя часть секущей», подразумевать длину отрезка секущей прямой до ближайшей точки пересечения.
   Теорема 2. Если через точку М, взятую вне окружности, провести к этой окружности секущие, то произведение каждой секущей на её внешнюю часть есть величина постоянная, равная квадрату касательной.
   Доказательство. Пусть вне окружности дана точка М, через которую проведены касательная МА и секущая МВ. Соединим точку касания А с точками В и С, получим два подобных треугольника ВАМ и САМ, так как ∠ М у них общий, а ∠ В = ∠ САМ как опирающиеся на одну и ту же дугу АС. Из подобия этих треугольников имеем
или МВ·MC = MA ², что и требовалось доказать.
   Следствие. Если через точку М, взятую вне окружности, провести секущую и касательную к окружности, то касательная есть среднее геометрическое между всей секущей и её внешней частью.
Задачи для самостоятельного решения
  1. В окружности проведены две пересекающиеся хорды. Одна из них делится в точке пересечения на части 8 см и 2 см, а другая пополам. Найти длину второй хорды.
    Ответ: 8 см.
  2. В окружности проведены две пересекающиеся хорды. Длина одной из них 11 см; другая делится в точке пересечения на части 4 см и 6 см. На какие части делится первая хорда?
    Ответ: 8 см и 3 см.
  3. Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на диаметр, делит его на отрезки, разность которых 18 см. Длина перпендикуляра равна 12 см. Найти диаметр.
    Ответ: 30 см.
  4. Из точки вне окружности проведены к ней две секущие, длина которых 360 мм и 300 мм; внешняя часть второй секущей 192 мм. Найти внешнюю часть первой секущей.
    Ответ: 160 мм.
  5. Из точки вне окружности проведены наибольшая секущая и касательная. Найти длину касательной, если длина секущей 6 дм и радиус окружности 2,1 дм.
    Ответ: 2 дм.
  6. К окружности, радиус которой равен 5 см, из точки, отстоящей от центра на 13 см, проведена секущая, которая делится окружность. пополам. Найди длину этой секущей.
    Ответ: ≈ 17 см.
  7. Из точки вне окружности проведены секущая и касательная. Секущая в точке пересечения с окружностью делится на два отрезка: внутренний, равный 6 дм, и внешний, равный 2 дм. Найти длину касательной.
    Ответ: 4 дм.
  8. Из точки вне окружности проведены секущая и касательная. Секущая длиннее своего внешнего отрезка в раза. Найти отношение внешнего отрезка секущей к касательной.
    Ответ:3 : 4.