Предлагаются для решения задачи с номерами в диапазоне 597 – 783. Для перехода к задаче наберите как на телефоне номер задачи.
Для перехода к разделу МНОГОГРАННИКИ наберите номер 001.
Для перехода к разделу КРУГЛЫЕ ТЕЛА наберите номер 002.

    МНОГОГРАННИКИ

  1. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда а и b. Диагональ параллелепипеда составляет с плоскостью основания угол α. Определить боковую поверхность параллелепипеда.Консультация

  2. Самая большая диагональ правильной шестиугольной призмы, имеющая длину d, составляет с боковым ребром призмы угол α. Определите объём призмы.
  3. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды, длиной m, наклонено к плоскости основания под углом α. Найти объем пирамиды.
  4. Объем правильной четырёхугольной пирамиды равен V. Угол наклона её бокового ребра к плоскости основания равен α. Найти боковое ребро пирамиды.
  5. Боковая поверхность правильной четырехугольной пирамиды содержит S cм², высота пирамиды Н см. Найти сторону основания пирамиды.
  6. Найти объём и боковую поверхность правильной шестиугольной пирамиды, если даны боковое ребро l и диаметр d круга, вписанного в основание пирамиды.
  7. Найти высоту тетраэдра объём которого равен V. Консультация

  8. В прямом параллелепипеде стороны основания равны а и b и острый угол – α. Большая диагональ основания равна меньшей диагонали параллелепипеда. Найти объём параллелепипеда.
  9. Диагонали прямого параллелепипеда равны 9 см и см. Периметр его основания равен 18 см. Боковое ребро равно 4 см. Определить полную поверхность и объём параллелепипеда.
  10. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды l, а высота пирамиды h. Определить двугранный угол при основании.
  11. Определить объём правильной четырехугольной пирамиды, зная угол α её бокового ребра с плоскостью основания и площадь S её диагонального сечения. Найти также угол, образуемый боковой гранью с плоскостью основания.
  12. Основанием правильной пирамиды служит многоугольник, сумма внутренних углов которого 540°. Определить объём этой пирамиды, зная, что боковое ребро её, равное l, наклонено к плоскости основания под углом α.
  13. Определить углы, составляемые с основанием боковым ребром и боковой гранью правильной пятиугольной пирамиды, у которой боковые грани –равносторонние треугольники.
  14. По объёму V правильной n - угольной пирамиды, у которой сторона основания равна а, определить угол наклона бокового ребра пирамиды к плоскости основания.
  15. Основание четырёхугольной пирамиды – прямоугольник с диагональю, равной b, и углом α между диагоналями. Каждое из боковых рёбер образуем с основанием угол β. Найти объём пирамиды.
  16. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник с боковыми сторонами, равными а, и углом между ними, равным α. Все боковые ребра наклонены к основанию под углом β. Определить объем пирамиды.
  17. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит прямоугольник, вписанный в круг радиуса R, причем меньшая сторона этого прямоугольника стягивает дугу окружности, содержащую (2α)°. Найти объем этого параллелепипеда, зная его боковую поверхность S.
  18. Основанием прямой призмы служит равнобедренный треугольник, основание которого равно а н угол при основании равен α. Определить объем призмы, если ее боковая поверхность равна сумме площадей ее оснований.
  19. Апофема правильной шестиугольной пирамиды равна m. Двугранный угол при основании равен α. Найти полную поверхность пирамиды.
  20. Через гипотенузу прямоугольного равнобедренного треугольника проведена плоскость Р под углом α к плоскости треугольника. Определить периметр и площадь фигуры, которая получится, если спроектировать треугольник на плоскость Р. Гипотенуза треугольника равна с.
  21. В правильной n - угольной пирамиде площадь основания равна Q, а высота составляет с каждой из боковых граней угол φ. Определить боковую и полную поверхность пирамиды.
  22. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а, боковая грань наклонена к плоскости основания под утлом φ. Найти объем и полную поверхность пирамиды.
  23. Полная поверхность правильной треугольной пирамиды равна S. Зная, что угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен α, найти сторону основания пирамиды.
  24. Основанием пирамиды служит ромб с острым углом α. Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом β. Определить объем и полную поверхность пирамиды, если радиус вписанного в ромб крута равен r.
  25. Определить угол наклона боковой грани правильной пятиугольной пирамиды к плоскости основания, если площадь основания пирамиды равна S, а боковой поверхности равна σ.
  26. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб. Плоскость, проведенная через одну из сторон нижнего основания и противоположную сторону верхнего основания, образует с плоскостью основания угол β. Полученное сечение имеет площадь, равную Q. Определить боковую поверхность параллелепипеда.
  27. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник с углом α при основании. Каждый из двугранных углов при основании равен φ. Расстояние от центра крута, вписанного в основание пирамиды, до середины высоты боковой грани равно d. Определить полную поверхность пирамиды.
  28. Основанием пирамиды служит многоугольник, описанный около круга радиуса r; периметр многоугольника равен 2р, боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом φ. Найти объем пирамиды.
  29. Боковые ребра правильной усеченной треугольной пирамиды наклонены к плоскости основания под углом α. Сторона нижнего основания равна а, а верхнего – b(а >b). Найти объем усеченной пирамиды.
  30. Основаниями правильной усеченной пирамиды служат квадраты со сторонами а и b (а > b). Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом α. Определить объем усеченной пирамиды и величину двугранных углов при сторонах оснований.
  31. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной с, и острым углом α. Все боковые ребра наклонены к основанию под углом β. Найти объем пирамиды и плоские углы при вершине ее.
  32. В основании наклонной призмы лежит прямоугольный треугольник ABC, сумма катетов которого равна m и угол при вершине А равен α. Боковая грань призмы, проходящая через катет AС, наклонена к основанию под углом β. Через гипотенузу АВ и через вершину С1 противоположного трехгранного угла проведена плоскость. Определить объем отсеченной треугольной пирамиды, если известно, что боковые ребра ее равны между собой.
  33. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с углом α при основании. Все боковые ребра наклонены к плоскости основания под равными углами φ = 90° - α. Площадь сечения, проведенного через высоту пирамиды и через вершину равнобедренного треугольника, лежащего в основании, равна Q. Определить объем пирамиды.
  34. Основанием пирамиды служит прямоугольник. Из боковых граней две перпендикулярны к плоскости основания, а две другие образуют с ней углы α и β. Высота пирамиды равна Н. Определить объем пирамиды.
  35. Пирамида имеет в основании квадрат. Из двух противолежащих друг другу ребер одно перпендикулярно к плоскости основания, другое наклонено к ней под углом β и имеет длину l. Определить длины остальных боковых ребер и углы наклона их к плоскости основания пирамиды.
  36. Основание пирамиды - правильный треугольник со стороной а. Одно из боковых ребер перпендикулярно к основанию, а остальные два наклонены к плоскости основания под равными углами β. Найти площадь наибольшей боковой грани пирамиды и угол наклона ее к плоскости основания.
  37. Пирамида имеет в основании равнобедренный треугольник; боковые стороны этого основания равны а и образуют угол в 120°. Боковое ребро пирамиды, проходящее через вершину тупого угла, перпендикулярно к плоскости основания, а остальные два наклонены к ней под углом α. Определить площадь сечения пирамиды плоскостью, которая проходит через наибольшую сторону основания пирамиды и делит пополам ребро, перпендикулярное к основанию.
  38. Правильная треугольная пирамида рассечена плоскостью, перпендикулярной к основанию и делящей две стороны основания пополам. Определить объем отсеченной пирамиды, если даны сторона а основания первоначальной пирамиды и двугранный угол α при основании.
  39. Через вершину правильной четырехугольной пирамиды под углом φ к основанию пирамиды проведена плоскость параллельно стороне основания. Сторона основания пирамиды равна а, а плоский угол при вершине пирамиды равен α. Найти площадь сечения пирамиды.
  40. Через вершину правильной треугольной пирамиды и середины двух сторон основания проведена плоскость. Определить площадь сечения и объемы частей данной пирамиды, на которые она разделена сечением, зная сторону а ее основания, и угол α, образованный сечением с основанием.
  41. Тетраэдр, ребро которого равно а, пересечен плоскостью, содержащей одно из ребер тетраэдра и делящей противоположное ребро в отношении 2 : 1. Определить площадь сечения и углы этого сечения.
  42. Определить объем правильной усеченной четырехугольной пирамиды, если сторона большего основания равна а, сторона меньшего основания равна b, a острый угол боковой грани равен α.
  43. Определить объем правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ образует с боковой гранью угол α, а сторона основания равна b.
  44. Основанием прямой призмы служит прямоугольный треугольник с гипотенузой с и острым углом α. Через гипотенузу нижнего основания и вершину прямого угла верхнего основания проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол β. Определить объем треугольной пирамиды, отсеченной от призмы плоскостью.
  45. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, у которого сумма катета и гипотенузы равна m и угол между ними равен α. Через другой катет и нершину противоположного трехгранного угла призмы проведена плоскость, образующая с основанием угол β. Определить объемы частей, на которые призма делится плоскостью сечения.
  46. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с углом α при основании. Каждый двугранный угол при основании равен φ = 90° - α. Боковая поверхность пирамиды равна S. Определить объем пирамиды и полную поверхность ее.
  47. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с боковой стороной а и углом α при основании (α > 45°). Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом β. В этой пирамиде проведена плоскость через ее высоту и вершину одного из углов α. Найти площадь сечения.
  48. В основании прямой призмы лежит четырехугольник, в котором два противолежащих угла прямые. Диагональ основания, соединяющая вершины непрямых углов, имеет длину l и делит один из этих углов на части α и β. Площадь сечения, проведенного через другую диагональ основания перпендикулярно к нему, равна S. Найти объем призмы.
  49. Основанием пирамиды служит квадрат. Две противоположные грани - равнобедренные треугольники, одна из них образует с основанием внутренний угол β, а другая - внешний острый угол α. Высота пирамиды равна Н. Найти объем пирамиды и углы, образованные двумя другими боковыми гранями с плоскостью основания.
  50. В основании пирамиды лежит прямоугольник. Одна из боковых граней наклонена к основанию под углом β = 90° - α, а противоположная ей грань перпендикулярна к основанию и имеет вид прямоугольного треугольника с прямым углом при вершине пирамиды и острым углом, равным α. Сумма высот этих двух граней равна m. Определить объем пирамиды и сумму площадей двух других боковых граней.
  51. В основании пирамиды лежит прямоугольник. Одна из боковых граней имеет вид равнобедренного треугольника и перпендикулярна к основанию; в другой грани, противоположной первой, боковые ребра, равные b, образуют между собой угол 2α и наклонены к первой грани под углом α. Определить объем пирамиды и угол между указанными двумя гранями.
  52. В правильной треугольной пирамиде со стороной основания, равной а, углы между ребрами при ее вершине равны между собой и каждый равен α (α ≤ 90°). Определить углы между боковыми гранями пирамиды и площадь сечения, проведенного через сторону основания перпендикулярно к противолежащему боковому ребру.
  53. Определить объем правильного восьмиугольника (октаэдра) с ребром a и двугранные углы при его ребрах.
  54. Двугранный угол при боковом ребре правильной шестиугольной пирамиды равен φ. Определить плоский угол при вершине пирамиды.
  55. Пирамида имеет в основании правильный шестиугольник ABCDEF. Боковое ребро МА перпендикулярно к плоскости основания, а противоположное ему ребро MD наклонено к плоскости основания под углом α. Определить углы наклона боковых граней к плоскости основания.
  56. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник ABC, где АВ = АС, Высота пирамиды SO проходит через середину высоты AD основания. Через сторону ВС проведена плоскость перпендикулярно к боковому ребру AS, образующая с основанием угол α. Определить объем пирамиды, отсеченной от данной и имеющей с ней общую вершину S, если объем другой отсеченной части ее равен V.
  57. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а. Сечение, делящее угол между боковыми гранями пополам, есть прямоугольный треугольник. Определить объем пирамиды и угол между боковой гранью ее и плоскостью основания.
  58. Через сторону основания правильной треугольной пирамиды проведена плоскость перпендикулярно к противолежащему боковому ребру. Определить полную поверхность пирамиды, если указанная плоскость делит боковое ребро в отношении m : n сторона основания равна q.
  59. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна d и образует с двумя смежными боковыми гранями равные углы α. Определить объем параллелепипеда и угол, который образует с плоскостью основания плоскость, проведенная через концы трех ребер, выходящих из одной вершины.
  60. В прямоугольном параллелепипеде точка пересечения диагоналей нижнего основания соединена с серединой одного из боковых ребер прямой, длина которой равна m. Она образует с основанием угол α и с одной из боковых граней угол β = 2·α. Приняв другую смежную боковую грань за основание параллелепипеда, найти его боковую поверхность и объем. (Доказать,что α < 30°.)
  61. В основании прямой призмы лежит трапеция, вписанная в полукруг радиуса R так, что большее основание ее совпадает с диаметром, а меньшее стягивает дугу, равную 2α. Определить объем призмы, если диагональ грани, проходящей через боковую сторону основания, наклонена к основанию под утлом α.
  62. Диагональ прямоугольного параллелепипеда, равная d, образует с боковой гранью угол β = 90° - α. Плоскость, проведенная через эту диагональ и боковое ребро, пересекающееся с ней, образует с той же боковой гранью угол α (доказать, что α > 45°). Определить объем параллелепипеда.
  63. В правильной треугольной призме две вершины верхнего основания соединены с серединами противоположных им сторон нижнего основания. Угол между полученными линиями, обращенный отверстием к плоскости основания, равен α. Сторона основания равна b. Определить объем призмы.
  64. В правильной треугольной призме угол между диагональю боковой грани и другой боковой гранью равен α. Определить боковую поверхность призмы, зная, что ребро основания равно а.
  65. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник ABC, у которого ∠C = 90°, ∠A = α и катет АС = b. Диагональ боковой грани призмы, проходящей через гипотенузу АВ, образует с боковой гранью, проходящей через катет AС, угол β. Найти объем призмы.
  66. Полная поверхность правильной четырехугольной пирамиды равна S, а плоский угол боковой грани при вершине равен α. Найти высоту пирамиды.
  67. В правильной n - уголыюй пирамиде плоский угол при вершине равен α, а сторона основания а. Определить объем.
  68. От правильной четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через диагональ нижнего основания и одну из вершин верхнего основания, отсечена пирамида с полной поверхностью S. Найти полную поверхность призмы, если угол при вершине треугольника, получившегося в сечении, равен α.
  69. Боковые ребра треугольной пирамиды имеют одинаковую длину l. Из трех плоских углов, образованных при вершине пирамиды этими ребрами, два равны α, а третий равен β. Найти объем пирамиды.
  70. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, являющийся проекцией боковой грани, проходящей через катет. Угол, лежащий против этого катета в основании пирамиды, равен α, а лежащий в боковой грани равен β. Площадь этой боковой грани больше площади основания на S. Определить разность между площадями двух других граней и углы, образованные боковыми гранями с плоскостью основания.
  71. В треугольной пирамиде две боковые грани суть равнобедренные прямоугольные треугольники, гипотенузы которых равны b и образуют между собой угол α. Определить объем пирамиды.
  72. В пирамиде с прямоугольным основанием каждое из боковых ребер равно l, один из плоских углов при вершине равен α, другой равен β. Определить площадь сечения, проходящего через биссектрисы углов, равных β.
  73. В параллелепипеде длины трех ребер, выходящих из общей вершины, равны соответственно a, b и с. Ребра а и b взаимно перпендикулярны, а ребро с образует с каждым из них угол α. Определить объем параллелепипеда, боковую поверхность его и угол между ребром с и плоскостью основания. (При каких значениях угла α задача возможна?)
  74. В параллелепипеде все его грани - равные ромбы со сторонами а и острыми углами α. Определить объем этого параллелепипеда.
  75. Основанием наклонного параллелепипеда служит ромб ABCD со стороной а и острым углом α. Ребро АА1 равно b и образует с ребрами АВ и AD угол φ. Определить объем параллелепипеда.
  76. В прямоугольном параллелепипеде проведена плоскость через диагональ основания и диагональ большей боковой грани, выходящих из одной вершины. Угол между этими диагоналями равен β. Определить боковую поверхность параллелепипеда, площадь сечения и угол наклона сечения к плоскости основания, если известно, что радиус окружности, описанной около основания параллелепипеда, равен R и меньший угол между диагоналями основания равен 2α.
  77. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник ABC. Радиус окружности, описанной около него, равен R, катет АС стягивает дугу, равную 2β. Через диагональ боковой грани, проходящей через другой катет ВС, проведена плоскость перпендикулярно к этой грани, образующая с плоскостью основания угол β. Определить боковую поверхность призмы и объем отсеченной четырехугольной пирамиды.
  78. Основанием пирамиды служит трапеция, в которой боковые стороны и меньшее основание равны,между собой, большее основание равно а и тупой угол трапеции равен α. Все боковые ребра пирамиды образуют с плоскостью основания угол β. Определить объем пирамиды.
  79. В основании пирамиды лежит трапеция, у которой диагональ перпендикулярна к боковой стороне и образует с основанием угол α. Все боковые ребра равны между собой. Боковая грань, проходящая через большее основание трапеции, имеет угол при вершине пирамиды φ = 2α и площадь, равную S. Определить объем пирамиды и углы, под которыми наклонены боковые грани к плоскости основания.
  80. В основании пирамиды лежит правильный треугольник, сторона которого равна а. Высота, опущенная из вершины пирамиды, проходит через одну из вершин основания. Боковая грань, проходящая через сторону основания, противолежащую этой вершине, наклонена к плоскости основания под углом φ. Определить боковую поверхность этой пирамиды, если за основание ее принять одну из равных боковых граней.
  81. В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник с боковой стороной, равной а, и углом при основании, равным α. Через основание треугольника, являющегося верхней гранью, и противоположную вершину нижнего основания проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол β. Определить боковую поверхность призмы и объем отсеченной четырехугольной пирамиды.
  82. В основании пирамиды - квадрат. Две боковые грани ее перпендикулярны к плоскости основания, а две другие наклонены к нему под углом α. Радиус круга, описанного около боковой грани, перпендикулярной к основанию, равен R. Определить полную поверхность пирамиды.
  83. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетом а и противолежащим ему углом α. Через вершину прямого угла нижнего основания проведена плоскость, параллельная гипотенузе, под углом β = 90° - α к противолежащей боковой грани и пересекающая се. Определить объем части призмы между ее основанием и сечением и боковую поверхность призмы, если известно, что боковая грань, проходящая через катет a, равновелика сечению призмы. Определить, при каком значении угла α плоскость сечения пересекает боковую грань, проходящую через гипотенузу основания.
  84. Основанием пирамиды служит прямоугольник. Одно боковое ребро перпендикулярно к плоскости основания, а две боковые грани наклонены к ней под углами α и β. Определить боковую поверхность пирамиды, если высота ее равна Н.
  85. В основании пирамиды лежит прямоугольным треугольник, у которого один острый угол равен α и радиус вписанного круга равен r. Каждая из боковых граней образует с основанием угол α. Определить объем, боковую и полную поверхность пирамиды.
  86. В основании призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный треугольник AВС (АВ = АС и ÐABC = α). Вершина В1 верхнего основания призмы проектируется в центр окружности радиуса r, вписанной в нижнее основание. Через сторону АС основания и вершину В1 проведена плоскость, наклоненная к плоскости основания под углом α. Найти полную поверхность отсеченной треугольной пирамиды АВСВ1 и объем призмы.
  87. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, а высота ее проходит через точку пересечения гипотенузы с биссектрисой прямого угла основания. Боковое ребро, проходящее через вершину прямого угла, наклонено к плоскости основания под углом α. Определить объем пирамиды и углы наклона боковых граней к плоскости основания, если биссектриса прямого угла основания равна m и образует с гипотенузой угол 45° + α.
  88. В основании пирамиды ромб со стороной а. Две соседние грани составляют с плоскостью основания угол α, третья боковая грань составляет с плоскостью основания угол β (доказать, что и четвертая боковая грань наклонена к основанию под тем же углом). Высота пирамиды H. Найти объем пирамиды и полную поверхность ее.
  89. В основании четырехугольной пирамиды лежит ромб, сторона которого равна а и острый угол равен α. Плоскости, проходящие через вершину пирамиды и диагонали основания, наклонены к плоскости основания под углами φ и ψ. Определить объем пирамиды, если ее высота пересекает сторону основания. Консультация

    Рисунок к задаче 685.    		 Пусть ÐА – острый угол ромба, так что АС – большая диагональ
    и ÐOAD =½α. Из Δ EMN и ΔEMK имеем MK = H·ctg φ и MN = H·ctg ψ.
    Эти выражения подставим в соотношение
    Получим
    Ответ.
  90. В основании наклонной призмы лежит прямоугольный треугольник ABC с катетом ВС = а. Вершина В1 верхнего основания проектируется на середину катета ВС. Двугранный угол, образованный боковыми гранями, проходящими через катет ВС и гипотенузу АВ, равен α. Боковые ребра наклонены к плоскости oснования под углом β. Определить боковую поверхность призмы. Консультация

    Рисунок к задаче 685.    		    Для построения линейного угла α нужно пересеч ребро ВВ1 плоскостью, перпендикулярной к этому ребру. Такую плоскость проведём через катет АС. Чтобы доказать это, нужно доказать, что АС ^ BB1. По условию вершина В1 проектируется в точку D (середина ВС), лежащую на катите ВС. Следовательно, если провести через В прямую KL, перпендикулярно к ВС, то KL будет перпендикулярна также и к ВВ1 (по теореме о трёх перпендикулярах). А так как АС ‖ KL, то АС ^ BB1, что и требовалось доказать.
       Проведём через АС плоскость АЕС, перпендикулярную к ВВ1. Боковая поверхность призмы равна периметру ЕС + АС + АЕ перпендикулярного сечения, умноженному на ребро ВВ1. Из прямоугольного Δ ВЕС, где Ð = β и ВС = а, находим СЕ = а·sin β. Прямая KL, а значит, и параллельная ей прямая АС, перпендикулярна к грани ВВ1СС1. Поэтому Δ АСЕ – прямоугольные при вершине С. Значит, АС = СЕºtg α и , так что
    Ребро ВВ1 находим из ΔВDB1, где BD = a/2. Получаем , так что
  91. В основании призмы АВСА1В1С1 лежит равнобедренный треугольник ABC (АВ = АС и ÐBAC = 2α). Вершина A1 верхнего основания проектируется в центр окружности радиуса R, описанной около нижнего основания. Боковое ребро АА1 образует со стороной основания АВ угол, равный 2α. Определить объем и боковую поверхность призмы. Консультация
  92. Определить объем правильной четырехугольной пирамиды, боковое ребро которой равно l, а двугранный угол между двумя,смежными боковыми гранями равен β.
  93. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде даны: диагональ d, двугранный угол α при нижнем основании и высота H. Найти объем усеченной пирамиды.
  94. Боковое ребро правильной четырехугольной усеченной пирамиды равно l, оно наклонено к плоскости ос нования под углом β. Диагональ пирамиды перпендикулярна к боковому ребру ее. Определить объем пирамиды.
  95. Высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна H, боковое ребро и диагональ пирамиды наклонены к плоскости ее основания под углами α и β. Найти ее боковую поверхность.
  96. Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны а и ·а, боковая грань наклонена к плоскости основания под углом γ. Определить объем и полную поверхность пирамиды.
  97. Найти объём тетраэдра с ребром а.Консультация

  98. Основание прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 – параллелограмм ABCD, в котором AD = 4· и ÐD = 45°. Тангенс угла между плоскостью основания и плоскостью АВС1 равен 2,25. Найдите боковое ребро параллелепипеда.Консультация

  99. Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны а и а·, боковая грань наклонена к плоскости основания под углом γ. Определить объем и полную поверхность пирамиды.
  100. В правильную четырехугольную пирамиду вписан куб так, что его четыре вершины находятся на боковых ребрах пирамиды, а остальные четыре в плоскости ее основания. Определить ребро куба, если высота пирамиды равна H, а боковое ребро равно l.
  101. В правильную четырехугольную пирамиду вписан куб так, что вершины его лежат на апофемах пирамиды. Найти отношение объема пирамиды к объему куба, зная, что угол между высотой пирамиды и ее боковой гранью равен α.
  102. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Вершина пирамиды удалена от плоскости ее основания на расстояние, равное 24, и проектируется на эту плоскость в точку, лежащую внутри основания. Найти ребро куба, четыре вершины которого лежат в плоскости основания данной пирамиды, а ребра, соединяющие эти вершины, параллельны соответствующим катетам треугольника, лежащего в основании пирамиды. Четыре другие вершины куба лежат на боковых гранях данной пирамиды.
  103. В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол при основании равен α. Через его ребро проведена плоскость, составляющая с основанием угол β. Сторона основания равна а. Определить площадь сечения.
  104. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а, а двугранный угол при основании равен α. Через две противоположные стороны основания пирамиды проведены две плоскости, пересекающиеся взаимно под прямым углом. Определить длину линии их пересечения, заключенную внутри пирамиды, если известно, что она пересекает ось пирамиды.
  105. В правильной четырехугольной пирамиде через вершину основания проведена плоскость, перпендикулярная к противоположному боковому ребру. Определить площадь сечения, если сторона основания пирамиды равна а, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом φ (φ > 45°; доказать это).
  106. Правильную четырехугольную призму требуется пересечь плоскостью так, чтобы в сечении получился ромб с острым углом α. Найти угол наклона секущей плоскости к основанию.
  107. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб с острым углом α. Под каким углом к основанию нужно пересечь этот параллелепипед плоскостью, чтобы в сечении получился квадрат с вершинами на боковых ребрах?
  108. Прямой параллелепипед, имеющий в основании ромб, со стороной а и острым углом α, пересечен плоскостью, проходящей через вершину угла α и дающей в сечении ромб с острым углом ½α. Определить площадь этого сечения.
  109. Ребро тетраэдра равно b. Через середину одного из ребер проведена плоскость параллельно двум непересекающимся ребрам. Определить площадь полученного сечения.
  110. Пирамида имеет в основании прямоугольный треугольник с катетом а. Одно из боковых ребер пирамиды перпендикулярно к плоскости основания, а другие два наклонены к ней под одним и тем же углом α. Плоскость, перпендикулярная к основанию, дает в сечении с пирамидой квадрат. Определить площадь этого квадрата.
  111. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны верхнего и нижнего оснований равны соответственно a и За и боковые грани наклонены к плоскости нижнего основания под углом α. Через сторону верхнего основания проведена плоскость параллельно противоположной боковой грани. Определить объем четырехугольной призмы, отсеченной от данной усеченной пирамиды, и полную поверхность остальной части ее.
  112. Из точки, взятой на ребре правильной треугольной призмы со стороной основания а, проведены две плоскости. Одна проходит через сторону нижнего основания призмы под углом α. к последнему, а другая - через параллельную ей сторону верхнего основания под углом β к нему. Определить объем призмы и сумму площадей полученных сечений.
  113. В правильной четырехугольной призме через середины двух смежных сторон основания проведена плоскость, пересекающая три боковых ребра и наклоненная к плоскости основания под углом α. Определить площадь полученного сечения и острый угол его, если сторона основания призмы равна b.
  114. В основании прямой призмы лежит равнобочная трапеция с острым углом а, описанная около крута радиуса r. Через боковую сторону нижнего основания и противоположную вершину острого угла верхнего основания проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол α. Определить боковую поверхность призмы и площадь сечения.
  115. В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный треугольник ABC с углом α при основании ВС. Боковая поверхность призмы равна S. Найти площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через диагональ боковой грани ВСС1В1 параллельно высоте AD основания призмы и образующей с плоскостью основания угол β.
  116. В основании прямой призмы АВСА1В1С1 лежит прямоугольный треугольник ABC с утлом β при вершине В (β < 45°). Разность между площадями ее боковых граней, проходящих через катеты ВС и АС, равна S. Найти площадь сечения призмы плоскостью, образующей с плоскостью основания угол φ и проходящей через три точки: вершину B1 угла β верхнего основания, середину бокового ребра АА1 и точку D, расположенную на плоскости основания симметрично с вершиной В относительно катета АС.
  117. Непересекающиеся диагонали двух смежных боковых граней прямоугольного параллелепипеда наклонены к плоскости его основания под углами α и β. Найти угол между этими диагоналями.
  118. Даны три плоских угла трехгранного угла SABC: ÐBSC = α; ÐCSA = β; ÐASB = γ. Найти двугранные углы этого трехгранного утла.
  119. Один из двугранных углов трехгранного угла равен А; прилежащие к данному двугранному углу плоские утлы соответственно равны α и β. Найти третий плоский угол.
  120. В трехгранном угле даны три плоских угла в 45°, 60° и 45°. Определить двугранный угол, заключенный между теми двумя гранями, которые содержат плоские углы по 45°.
  121. На ребре двугранного угла дан отрезок АВ. В одной из граней дана точка М, в которой прямая, проведенная из точки А под углом α к АВ, пересекает прямую, проведенную из В перпендикулярно к АВ. Определить величину двугранного угла, если прямая AM наклонена ко второй грани двугранного угла под углом β.
  122. Даны две скрещивающиеся прямые, наклоненные друг к другу под углом φ и имеющие общий пересекающий их перпендикуляр PQ = h. На этих прямых даны две точки A и B, из которых отрезок PQ виден под углами α и β. Определить длину отрезка АВ.
  123. На двух взаимно перпендикулярных скрещивающихся прямых, кратчайшее расстояние между которыми PQ = h, даны две точки A и В, из которых отрезок PQ виден под углами α и β. Определить угол наклона отрезка АВ к отрезку PQ.
  124. Секущая плоскость делит боковые ребра треугольной пирамиды в отношениях (считая от вершины). В каком отношении эта плоскость разделит объем пирамиды?
  125. Из середины высоты правильной четырехугольной пирамиды опущен перпендикуляр на боковое ребро, равный h, и перпендикуляр на боковую грань, равный b. Найти объем пирамиды.

    КРУГЛЫЕ ТЕЛА

  126. Образующая конуса равна l и составляет с плоскостью основания угол в 60°. Определить объем конуса.
  127. Длина образующей конуса равна l, а длина окружности основания - с. Определить объем.
  128. Боковая поверхность цилиндра развертывается в квадрат со стороной а. Найти объем цилиндра.
  129. Боковая поверхность цилиндра, будучи развернута, представляет собой прямоугольник, в котором диагональ равна d и составляет угол α с основанием. Определить объем цилиндра.
  130. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 2α, а сумма длин его высоты и образующей равна m. Найти объем и полную поверхность конуса.
  131. Объем конуса V, Высота его разделена на три равные части и через точки деления проведены плоскости параллельно основанию. Найти объем средней части.
  132. Определить объем конуса, если в его основании хорда, равная а, стягивает дугу α, а высота конуса со ставляет с образующей угол β.
  133. На одном и том же основании построены два конуса (один внутри другого); угол между высотой и образующей меньшего конуса равен α, а угол между высотой и образующей большего конуса равен β. Разность высот конусов равна h. Найти объем, заключенный между боковыми поверхностями этих конусов.
  134. Боковая поверхность конуса равна S, а полная поверхность - Р. Определить угол между высотой и образующей.
  135. Боковая поверхность конуса, будучи развернута на плоскость, представляет круговой сектор с углом α и хордой а. Определить объем конуса.
  136. Через вершину конуса под углом φ к основанию проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу α; расстояние плоскости от центра основания равно а. Найти объем конуса.
  137. В основание конуса вписан квадрат, сторона которого равна а. Плоскость, проходящая через вершину конуса и сторону квадрата, дает в сечении с поверхностью конуса треугольник, угол при вершине которого α. Определить объем и полную поверхность конуса.
  138. Образующая усеченного конуса l составляет с плоскостью нижнего основания угол α и перпендикулярна к прямой, соединяющей верхний конец ее с нижним концом противоположной образующей. Найти боковую поверхность усеченного конуса.
  139. Дан конус объема V, образующая которого наклонена к плоскости основания под углом α. На какой высоте надо провести плоскость, перпендикулярную к оси конуса, чтобы сечение конуса разделило пополам его боковую поверхность? Тот же вопрос для полной поверхности.
  140. Определить объем и полную поверхность шарового сектора, вырезанного нз шара радиуса R и имеющего в осевом сечении угол α.
  141. Шаровой сегмент шара радиуса R имеет полную поверхность S. Найти его высоту.
  142. Площадь треугольника ABC равна S, сторона АС = b и ÐCAB = α. Найти объем тела, полученного при вращении треугольника ABC около стороны АВ.
  143. В треугольнике даны сторона а, угол В и угол С. Определить объем тела, полученного от вращения треугольника около данной стороны.
  144. Ромб с большей диагональю d и острым углом γ вращается вокруг оси, проходящей вне его через вершину ромба и перпендикулярной к большей диагонали его. Определить объем тела вращения.
  145. В треугольнике даны стороны b и с и угол между ними α. Этот треугольник вращается около оси, которая проходит вне его через вершину угла α и равно наклонена к сторонам b и с. Определить объем тела вращения.
  146. В равнобедренной трапеции диагональ перпендикулярна к боковой стороне. Боковая сторона равна b и составляет с большим основанием угол α. Определить поверхность тела, образованного вращением трапеции вокруг большего основания.
  147. Через вершину конуса проведены две плоскости. Одна из них наклонена к плоскости основания конуса под углом α и пересекает это основание по хорде, длина которой равна а, а другая наклонена к плоскости основания под углом β и пересекает основание по хорде, длина которой равна b. Определить объем конуса.
  148. В конус вписан шар. Найти объем шара, если образующая конуса равна l и наклонена к плоскости основания под углом α.
  149. Прямая линия - касательная к боковой поверхности конуса - составляет с образующей, проходящей через точку касания, угол θ. Какой угол (φ составляет эта прямая с плоскостью основания Р конуса, если образующие его наклонены к плоскости Р под углом α?
  150. Тупоугольный треугольник, острые углы которого α и β и меньшая высота равна h, вращается около стороны, противолежащей углу β. Найти поверхность тела вращения.
  151. В конус, поставленный основанием вверх и представляющий в осевом сечении равносторонний треугольник, налита вода и положен шар радиуса r. Тогда оказалось, что уровень воды касается шара. Определить высоту воды в конусе после того, как шар будет из него вынут.
  152. В конус, радиус основания которого равен R и образующие наклонены к основанию под углом ½α вписана прямая треугольная призма так, что ее нижнее основание лежит на основании конуса, а вершины верхнего - на боковой поверхности конуса. Определить боковую поверхность призмы, если в основании призмы лежит прямоугольный треугольник с острым углом α, а высота призмы равна радиусу сечения конуса плоскостью, проходящей через верхнее основание призмы.
  153. В треугольную пирамиду, в основании которой - правильный треугольник со стороной а, вписан цилиндр так, что нижнее его основание находится на основании пирамиды; а верхнее касается всех боковых граней. Определить объем цилиндра и объем пирамиды, отсеченной плоскостью, проходящей через верхнее основание цилиндра, если известно, что высота цилиндра равна ½α, одно из боковых ребер пирамиды перпендикулярно к плоскости основания, а боковая грань наклонена к основанию под углом α (определить, при каких значениях α задача возможна).
  154. В шар радиуса R вписана прямая треугольная призма. Основанием призмы служит прямоугольный треугольник с острым углом α, и наибольшая ее боковая грань есть квадрат. Найти объем призмы.
  155. Основанием пирамиды служит прямоугольник с острым углом α между диагоналями, а боковые ребра образуют с плоскостью основания угол φ. Определить объем этой пирамиды, если радиус шара, описанного около нее, равен R.
  156. Радиус основания конуса равен R, а угол при вершине осевого сечения равен α. Найти объем правильной треугольной пирамиды, описанной вокруг конуса.
  157. В усеченный конус вписан шар радиуса r. Образующая конус наклонена к основанию под углом α. Най ти боковую поверхность усеченного конуса.
  158. Около шара описан усеченный конус, у которого образующие наклонены к основанию под углом α. Определить полную поверхность этого усеченного конуса, если радиус шара равен r.
  159. В усеченный конус вписан шар радиуса r. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом α. Найти объем конуса.
  160. В шаре радиуса R из точки его поверхности проведены три равные хорды под углом α друг к другу. Определить их длину.
  161. В шар радиуса R вписан усечённый конус. Основания усеченного конуса отсекают от шара два сегмента с дугами в осевом сечении, соответственно равными α и β. Найти боковую поверхность усеченного конуса.
  162. Боковые грани правильной четырехугольной пирамиды наклонены к основанию под углом α. Апофема пирамиды равна m. Найти полную поверхность конуса, вписанного в пирамиду, а также угол наклона бокового ребра к основанию.
  163. Около правильной шестиугольной пирамиды описан конус. Найти его объем, если ребро пирамиды равно l и плоский угол между двумя соседними боковыми ребрами равен α.
  164. В правильную треугольную пирамиду вписан конус. Найти объем конуса, если ребро пирамиды равно l и плоский угол между двумя соседними боковыми ребрами равен α.
  165. В шар вписан конус, объем которого равен ¼ объема шара. Найти объем шара, если высота конуса равна H. Консультация
    По условию имеем
    т.е. r²·H = R³. Ещё одну закисимость между r и R получим из прямоугольного треугольника САD; именно АО1² = CO1·DO1, т.е. r² = H·(2·R - H). Подставляя это выражение в предыдущее равенство, получим R³ - 2H²·R + H³ = 0. Хотя это уравнение третьей степени относительно неизвестного R, но одно его решение R = H сразу усматривается. Далее можно выполнить преобразование
    R³ - 2H²·R + H³ =
    = (R³ - H²·R) - (H²·R - H³) = R·(R - H)·(R + H) - H²·(R - H) = (R - H)·(R² + R·H - H²) = 0.
    Уравнение R² + R·H - H² = 0 имеет один положительный корень
    Отрицательный корень не соответствует геометрической сущности задачи.
    Ответ. Задача имеет два решения
  166. В правильную треугольную призму вписан шар, касающийся трех граней и обоих оснований призмы. Найти отношение поверхности шара к полной поверхности призмы.
  167. Шар радиуса R вписан в пирамиду, в основании которой лежит ромб с острым углом α. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом φ. Найти объем пирамиды.
  168. В правильную четырехугольную пирамиду вписанполушар так, что его плоская грань параллельна основаншо пирамиды, а шаровая поверхность касается его. Определить полную поверхность пирамиды, если боковые ее грани образуют с основанием угол ее и радиус шара равен r.
  169. В правильную четырехугольную пирамиду вписан полушар так, что плоская грань его лежит на основании пирамиды, а шаровая поверхность касается боковых граней пирамиды. Найти отношение полной поверхности полушара к полной поверхности пирамиды и объем полушара, если боковые грани наклонены к плоскости основания под углом α и разность между стороной основания и диаметром шара равна m.
  170. В конус с радиусом основания R и углом α между высотой и образующей вписан шар, касающийся основания и боковой поверхности конуса. Определись объем части конуса, расположенной над шаром.
  171. Полная поверхность прямого кругового конуса в n раз больше поверхности вписанного в него шара. Под каким углом образующие этого конуса наклонены к плоскости его основания?
  172. В конус вписан шар. Отношение их объемов равно n. Найти угол наклона образующей к основанию (вычислить при n = 4).
  173. Определить угол между осью и образующей такого конуса, у которого полная поверхность в n раз больше площади осевого сечения.
  174. В конус вписана полусфера, большой круг которой лежит на основании конуса. Определить угол при вершине конуса, если полная поверхность конуса относится к боковой поверхности полусферы как 18 :5.
  175. Определить угод между высотой и образующей конуса, если известно, что объем койуса в 1/3 раза больше объема полушара, вписанного в конус так, что плоская грань полушара лежит в основании конуса, а полушаровая поверхность касается боковой поверхности конуса.
  176. Определить угол между высотой и образующей конуса, боковая поверхность которого делится на две равновеликие части линией пересечения ее со сферической поверхностью, имеющей центр в вершине конуса и радиус, равный высоте конуса.
  177. Конус с высотой Н и углом между образующей в высотой, равным α, надо рассечь сферической поверх ностью с центром в вершине конуса так, чтобы объем конуса оказался разделенным пополам. Найти радиус этой сферы.
  178. На высоте конуса, равной Н, как на диаметре, описан шар. Определить объем части шара, лежащей вне конуса, если угол между образующей и высотой равен α.
  179. Даны два шара Q и Q1, касающиеся извне, и описанный около них конус. Вычислить боковую поверхность усеченного конуса, основаниями которого служат окружности прикосновения шаров к поверхности конуса, если радиусы шаров равны R и R1.
  180. На столе, касаясь друг друга, лежат четыре шара одинакового радиуса r. Сверху в ямку, образованную ими, положен пятый шар того же радиуса. Найти расстояние от верхней точки пятого шара до плоскости стола.
  181. Определить угол при вершине в осевом сечении конуса, описанного около четырех равных, шаров, расположенных так, что каждый касается трех других.
  182. Грани правильной усеченной треугольной пирамиды касаются шара. Определить отношение поверхности шара к полной поверхности пирамиды, если боковые грани пирамиды наклонены к плоскости ее основания под углом α.
  183. В конус вписан цилиндр, высота которого равна радиусу основания конуса. Найти угол между осью конуса и его образующей, если полная поверхность цилиндра относится к площади основания конуса как 3:2.
  184. Радиус шара, вписанного в четырехугольную правильную пирамиду, равен r. Двугранный угол, образованный двумя соседними боковыми гранями этой пирамиды, равен α. Определить "объем пирамиды, имеющей вершину в центре шара, а вершины основания -в четырех точках касания шара с боковыми гранями данной пирамиды.
  185. В конус вписан шар радиуса r. Найти объем конуса, если известно, что плоскость, касающаяся шара и перпендикулярная к одной из образующих конуса, отстоит от вершины конуса на расстоянии d.
  186. Ребро куба равно а; АВ – его диагональ. Найти радиус сферы, касающейся трех граней, сходящихся в вершине А, и касающейся трех ребер, выходящих из вершины В. Найти также часть поверхности этой сферы, которая лежит вне куба.
  187. В тетраэдр, у которого ребро равно а, вписан шар так, что он касается всех ребер тетраэдра. Определить радиус этого шара и объем части шара, расположенной вне тетраэдра.
  188. В пирамиде FABC грани ABF и ABC перпендикулярны, FB : FA = 17 : 11. Тангенс угла между ВС и плоскостью ABF равен 2. Точка М выбрана на ребре ВС так, что BM : MC = 1 : 5. Точка Т лежит на прямой AF и равноудалена от точек М и В. Центр сферы, описанной около пирамиды FABC, лежит на ребре АВ, площидь этой сферы равна 36·π. Найдите объём пирамиды АСМТ. Консультация
    Решение. Так как центр сферы, описанной около пирамиды FABC, лежит на ребре АВ, то ребро АВ является диаметром сферы. Грани AFB и АВС лежат на больщих круговых взаимно перпендикулярных сечениях сферы. Так как известна площадь сферы, можно найти радиус сферы 36·π = 4·π·R ² → R = 3.
    Введём декартову систему координат: начало координат выберем в центре сферы, ось ординат направим по ребру АВ, ось абсцисс направим перпендикулярно оси ординат в плоскости грани АВС, ось Oz в плоскости грани AFB. В этом случае точки будут иметь координаты В(0, 3, 0); А(0, - 3, 0). Пусть точка С имеет координат С(х, у, 0). Найдём координаты векторов
    Так как диаметр АВ является стороной треугольника, то треугольник АВС является прямоугольным. Из условия перпендикулярности векторов
    получим уравнение - x ² + (y - 3)·(- 3 - y) = 0, или x ² + y ² = 9. Действительно, точка С лежит в плоскости z = 0 на окружности радиуса 3.
       Используя связь между тангенсом и косинусом одного и того же аргумента
    ,
    найдём значение cos α
    .
    Воспользуемся формулой для косинуса угла между двумя векторами
    .
    получим
    ,
    или x ² = 4·(y - 3) ².
       Решая систему уравнений
    ,
    получим решения (х1 = 12/5, у1 = 9/5); (х2 = 0, у2 = 3); (х3 = - 12/5, у3 = 9/5). Второе решение не удовлетворяет условию задачи. Рассмотрим первое решение (х = 12/5, у = 9/5). Третье решение оставляем для самостоятельного рассмотрения, советуем привлечь соображения о симметрии.
       На отрезке ВС найдём точку М, которая делит этот отрезок на пропорциональные части ВМ : МС = 1 : 5, используя формулы деления отрезка в данном отношении
    .
    В данном случае имеем
    .
    Найдём теперь координаты точки Т. Пусть точка Т имеет координаты Т(0, у, z). Так как точка Т ледит в плоскости х = 0 на окружности радиуса 3, то координаты этой точки удовлетворяют уравнению y ² + z ² = 9. Из условия
    получим уравнение 14·y ² + 14·z ² + 205·y + 126 = 0. Решив систему уравнений
    ,
    получим координаты точки . Найдём координаты векторов
    .
    Окончательно найдём объём пирамиды
    .