Геометрические приложения производной

  1. Найдите наибольший объем V конуса с образующей а.
    О т в е т: .
  2. Из круга вырезан сектор с центральным углом α. Из оставшейся части круга свернута воронка. При каком значении α вместимость воронки будет наибольшей?
    О т в е т: α = 2π ( 1 − √2/3).
  3. В равнобочной трапеции нижнее основание равно l, угол при основании равен α. Диагональ трапеции перпендикулярна боковой стороне. При каком значении α площадь трапеции будет наибольшей? Найти наибольшую площадь.
    О т в е т: α = π/3, S = 3l2√3/16.
  4. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник с углом α при основании. Каждый из двугранных углов при основании равен φ. Радиус шара, вписанного в пирамиду, равен R. Найти объем пирамиды. При каком значении α объем пирамиды будет наименьшим?
    О т в е т: , α = π/3.
  5. Конус описан около шара радиуса R. Угол при вершине в осевом сечении конуса равен 2α. Найти площадь осевого сечения конуса. При каком значении α площадь будет наименьшей?
    О т в е т: , α = π/6.
  6. Правильная четырехугольная пирамида объема V описана около полушара так, что центр основания пирамиды лежит в центре шара. Угол между боковой гранью пирамиды и плоскостью основания равен α. Найти объем полушара. При каком значении α объем будет наибольшим?
    О т в е т: , arctg√2
  7. Открытый кузов грузового автомобиля имеет вид прямоугольного параллелипипеда с площадью поверхности 2S. Каковы должны быть длина и ширина кузова, чтобы его объем был наибольшим, а отношение длины к ширине равнялось 5/2.
  8. Площадь, занимаемая печатным текстом, составляет на странице книги 432 см2. Ширина полей вверху и снизу страницы составляет по 2 см, а ширина боковых полей по 1,5 см. Каковы должны быть ширина и высота страницы, чтобы количество израсходованной бумаги было наименьшим?
  9. Представьте число 48 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма куба одного из них и квадрата другого была наименьшей.
  10. Определите размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом 32 м2 так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.
  11. Под каким углом α нужно провести прямую через точку (х0; у0), чтобы длина отрезка между осями координат была наименьшей?
  12. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник, площадь которого равна S, а острый угол при вершине равен α. Найдите объем пирамиды, если угол между каждым боковым ребром и высотой пирамиды равен β. При каком значении α объем будет наименьшим?
  13. В правильной шестиугольной пирамиде длина бокового ребра равна 1 см. При какой длине стороны основания объем пирамиды будет наибольшим?
  14. Из трех досок одинаковой ширины сколачивается желоб. При каком угле наклона боковых стенок площадь поперечного сечения желоба будет наибольшей?
  15. Найдите такой цилиндр, который имел бы наибольший объем при заданной площади S полной поверхности.
  16. Объем прямой треугольной призмы равен V. В основании призмы лежит равносторонний треугольник. Какова должна быть длина стороны основания, чтобы площадь полной поверхности призмы была наименьшей?
  17. Длина бокового ребра правильной четырехугольной пирамиды равна а. Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом α. При каком α объем пирамиды будет наибольшим?
  18. Из всех правильных треугольных призм, имеющих объем V, найдите призму с наименьшей суммой длин всех ее ребер. Чему равна длина стороны основания этой призмы?
  19. Из всех прямоугольных параллелепипедов с квадратным основанием, вписанных в данный шар, найдите тот, который имеет наибольшую площадь боковой поверхности.
  20. Основаниями правильной призмы служат квадраты. Одно из оснований призмы принадлежит большому кругу шара радиуса R, а вершины другого лежат на поверхности этого шара. Определите, какой должна быть длина высоты призмы, чтобы сумма длин всех ее ребер была наибольшей?
  21. Консервная банка должна иметь форму цилиндра, емкостью 1 дм3. Рассчитайте, каким должен быть радиус ее оснований, чтобы площадь жестяного листа, израсходованного на изготовление банки, была минимальной?
  22. Найдите высоту цилиндра с наибольшей площадью боковой поверхности, который может быть вписан в шар радиуса RПлощадь боковой поверхности конуса равна S. При каком радиусе основания шар, вписанный в этот конус, имеет наибольший объем?
  23. Дан шар радиуса r. Впишите в него конус с наибольшей площадью боковой поверхности. Определите эту площадь.
  24. В правильной треугольной призме расстояние от центра основания до одной из вершин другого основания равно l. При какой длине высоты призмы ее объем будет наибольшим? Найдите это наибольшее значение объема.
  25. Найдите высоту конуса наименьшего объема, описанного около полушара радиуса R = √3 так, чтобы центр основания конуса совпадал с центром шара.
  26. В шар радиуса R вписан прямой круговой цилиндр высоты Н. Найдите объем этого цилиндра. При каком Н объем будет наибольшим? Найдите этот наибольший объем.
  27. В данный шар вписан цилиндр с наибольшей плошадью боковой поверхности. Найдите отношение радиуса шара к радиусу основания этого цилиндра.
  28. В шар вписан цилиндр наибольшего объема. Во сколько раз объем шара больше объема этого цилиндра?
  29. В шар радиуса R вписан цилиндр, имеющий наибольшую боковую поверхность. Найдите объем этого цилиндра.
  30. В данный шар вписан конус наибольшего объема. Найдите отношение радиуса шара к высоте этого конуса.
  31. Около цилиндра, радиус основания которого равен а, описан конус наименьшего объема. Плоскости оснований цилиндра и конуса совпадают. Найдите радиус основания этого конуса.
  32. В конус, образующая которого составляет с плоскостью основания угол величиной 2φ, вписана сфера единичного радиуса. Найдите площадь боковой поверхности конуса. При каких значениях φ эта площадь будет наименьшей?
  33. В сферу радиуса R вписана правильная четырехугольная пирамида так, что все ее вершины принадлежат сфере. Какой должна быть высота пирамиды, чтобы ее объем был наибольшим? Найдите это наибольшее значение объема.
  34. В конус с высотой H и радиусом основания R вписана правильная шестиугольная призма так, что одно ее основание лежит в плоскости основания конуса, а вершины другого основания принадлежат боковой поверхности конуса. Какова должна быть высота призмы, чтобы её объём был наибольшим? Найдите это наибольшее значение объема призмы.
  35. В данный конус вписан цилиндр с наибольшей боковой поверхностью. Найдите отношение высоты конуса к высоте этого цилиндра.
  36. В данный конус вписан цилиндр наибольшего объема. Найдите отношение радиуса основания конуса к радиусу основания этого цилиндра.
  37. В конус с высотой H и радиусом основания R вписан цилиндр так, что одно его основание лежит в плоскости основания конуса, а окружность другого основания принадлежит боковой поверхности конуса. Какой должна быть высота цилиндра, чтобы его объем был наибольшим? Найдите это наибольшее значение объема.
  38. Все ребра треугольной призмы АВСА1В1С1 имеют равные длины, все плоские углы при вершине A конгруэнтны. Точки К и L — середины ребер [ АА1] и [АВ]. Где на ребре [AС] нужно выбрать точку М, чтобы площадь треугольника КLМ была наименьшей?
  39. Через точку N (2; 4) проведена прямая; отрезок ее с отрезками осей координат (x > 0; y > 0) образует прямоугольный треугольник. Чему должна быть равна длина наибольшего катета, чтобы площадь треугольника была минимальной?
  40. Лодка находится в точке Q озера, отстоящей от ближайшей точки А на берегу на 6 км. Лодочник должен попасть в точку В, находящуюся на берегу на расстоянии 11 км от А. Скорость лодки 3 км/ч, скорость ходьбы лодочника по берегу 5 км/ч. Лодочник подсчитал, что если он сперва доплывет до точки С, которая находится между А и В, а затем сразу же пешком направится в точку В, то на путь от Q до В он потратит наименьшее время. Найдите расстояние от А до С, считая, что лодка движется прямолинейно и берег озера — прямая линия.
  41. Автомобиль едет из пункта А в пункт С. От пункта А до пункта В, расположенного между A и С, он едет со скоростью 48 км/ч. В пункте В он уменьшает свою скорость на а км/ч ( 0 < a < 48 ) и с этой скоростью едет 1/3 часть пути от В до С. Оставшуюся часть пути от В до С он едет со скоростью, которая на 2а км/ч превышает первоначальную скорость (48 км/ч). При каком значении а автомобиль быстрее всего проделает путь от В до С?