Производная

  1. Касательная к графику функции такова, что абсцисса с точки касания принадлежит отрезку . При каком значении с площадь треугольника, ограниченного этой касательной, осью ОХ и вертикальной прямой х = c, будет наименьшей? Чему равна эта наименьшая площадь?
  2. Дана функция f (x) = sin22x. Найдите .
  3. Вычислите f '(x) + f (x), если f (x) = x sin 2x.
  4. Упростите выражение для f (x), найдите f '(x), если
    .
  5. Упростите выражение для f (x), найдите f '(x), если
    .
  6. Докажите тождество f '(1) + f '(− 1) = − f (0), если f (x) = x5 + x3 − 2x − 3.
  7. Докажите тождество , если .
  8. Докажите тождество , если f (x) = ln x.
  9. Докажите тождество , где f (x) = cos x.
  10. Найдите множество значений x, удовлетворяющих условию [ φ (x) ] ' = φ (x), если φ (x) = cos x.
  11. Даны две функции f (x) = sin43x и g (x) = sin 6x. При каких х имеет место равенство f '(x) = g (x)?
  12. Даны две функции f (x) = sin32x и g (x) = 4 cos 2x − 5 sin 4x. При каких х имеет место равенство f '(x) = g (x)?
  13. Даны две функции f (x) = 2 x2cos2(x/2) и g (x) = x −x2 sin x. При каких х имеет место равенство f '(x) = g (x)?
  14. Даны две функции f (x) = 4xcos2(x/2) и g (x) = 8 cos (x/2) − 3 − 2x sin x. При каких х имеет место равенство f '(x) = g (x)?
  15. При каких значениях х производная функции f (x) = 1 − sin (π + x) + 2 cos ((3π + x)/2) равна нулю?
  16. При каких значениях х производная функции f (x) =sin 3x − √3 cos 3x + 3 (cos x − √3 sin x) равна нулю?
  17. При каких значениях х производная функции f (x) = 20 cos 3x + 12 cos 5x − 15 cos 4x равна нулю?
  18. Решите неравенство f '(x) > g '(x), если f (x) = x3 + x − √2, g (x) = 3x2 + x + √2.
  19. Решите неравенство f '(x) > g '(x), если f (x) = 2x3 − x2 + √3, .
  20. Решите неравенство f '(x) ≤ g '(x), если , g (x) = x − x3.
  21. Решите неравенство f '(x) > g '(x), если f (x) = x + ln (x − 5), g (x) = ln (x − 1).
  22. Решите неравенство f '(x) > g '(x), если , g (x) = 5x + 4x ln5.
  23. Найти все f (x), удовлетворяющие уравнению f 2(x) + 4 f '(x) f (x) + [f '(x)]2 = 0.
  24. Найти производную функции y= ( x + 1)·( x + 2)2.
  25. Найти производную функции y = sin ( cos2(tg3x)).
  26. Найти производную функции .
  27. Найти производную функции .
  28. Найти производную функции y = ex (x2 − 2x + 2).
  29. Найти производную функции y = lg3 (x2).
  30. Найти производную функции .
  31. Найти производную функции .
  32. Найти производную функции .
  33. Найти производную функции y = ln tg (x/2).
  34. Найти производную функции .
  35. Найти производную функции .
  36. Найти производную функции .
  37. Найти производную функции y = sin ( sin (sin x)).
  38. Найти производную функции y = ( 2 − x2) cos x + 2x sin x.
  39. Найти интервалы возрастания и убывания функции y = − x ( x − 2)2.
  40. Найти интервалы возрастания и убывания функции y = 2 x3 + 3 x2 − 2.
  41. Найти интервалы возрастания и убывания функции .
  42. Найти интервалы возрастания и убывания функции y = 3x4 − 8x3 + 6x2 + 1.
  43. Найти интервалы возрастания и убывания функции y = ( 2x − 1) ( 2x − 2)2.
  44. Определите точки максимума и минимума и промежутки монотонности функции y = 2х3 − 6х2 − 18х + 7.
  45. Определите точки максимума и минимума и промежутки монотонности функции y = х4 + 4х3 − 8x2 + 3.
  46. Определите точки максимума и минимума и промежутки монотонности функции y = х4 − 4х3 − 8х2 + 3.
  47. Определите точки максимума и минимума и промежутки монотонности функции y = 4 х4 − 2х2 + 3.
  48. Определите точки максимума и минимума и промежутки монотонности функции y = х3/(х2 + 3).
  49. Определите точки максимума и минимума и промежутки монотонности функции .
  50. Определите точки максимума и минимума и промежутки монотонности функции y = ( х − 1)·е3х.
  51. Определите точки максимума и минимума и промежутки монотонности функции y = х·е−3х.
  52. Определите точки максимума и минимума и промежутки монотонности функции y = х − 1n х.
  53. Найдите критические точки функции y = и исследуйте их на максимум и минимум.
  54. Найдите критические точки функции y = Зх4 − 4х3 и исследуйте их на максимум и минимум.
  55. Найдите критические точки функции y = х4 − 10х2 + 9 и исследуйте их на максимум и минимум.
  56. Найдите критические точки функции y = ( х − 3 )2·( х − 2 )2 и исследуйте их на максимум и минимум.
  57. Найдите критические точки функции и исследуйте их на максимум и минимум.
  58. Найдите критические точки функции y = х5 − х2 + 8 и исследуйте их на максимум и минимум.
  59. Найдите критические точки функции и исследуйте их на максимум и минимум.
  60. Найдите критические точки функции и исследуйте их на максимум и минимум.
  61. Найдите критические точки функции и исследуйте их на максимум и минимум.
  62. Найдите критические точки функции y = x·ex и исследуйте их на максимум и минимум.
  63. Найдите критические точки функции и исследуйте их на максимум и минимум.
  64. Найдите все значения х, при которых функция y = sin х − соs2х − 1 принимает наименьшее значение. Какое это значение?
  65. При каких действительных значениях а и b все экстремумы функции положительны и максимум находится в точке х0 = − 5/9?
  66. При каких действительных значениях а и b все экстремумы функции f (х) = a2х3 − 0,5ах2 − 2х − b положительны и минимум находится в точке х0 = − 1/3?
  67. При каких действительных значениях а и b все экстремумы функции f (х) = a2х3 + ах2 − х + b отрицательны и максимум находится в точке х0 = − 1?
  68. Найдите постоянную р, при которой функция имеет максимум в точке х = 9/4.
  69. В зависимости от р укажите те значения а, для которых уравнение х3 + 2рх2 + р = а имеет три различных действительных корня.
  70. Найдите наибольшее значение функции y = 10 + 4х ln 9 − 3x−1 − 33−x.
  71. Найдите наибольшее значение функции y = 7 + 2х ln 25 − 5x−1−52 −x.
  72. Найдите наименьшее значение функции y = 3x + 2·33−x − х ln27 − 9.
  73. При каком значении х выражение принимает наименьшее значение?
  74. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [0; 2].
  75. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = − x3 + 3x2 +5 на отрезке [ 0; 3].
  76. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = 2х3 − 3x2 + 12x на отрезке [ 0; 3].
  77. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = 3х3 − 9х2 + 2 на отрезке [ − 1; 4].
  78. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = 2х3 + 3x2 − 12x + 30 на отрезке [ − 3; 3].
  79. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = 2х3 + 3х2 − 12х + 1 на отрезке [ − 1; 5].
  80. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = х3 − 4x2 + 4x + 3 на отрезке [ − 1 ; 3].
  81. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = х3 − 3х2 + 3х + 2 на отрезке [ − 2 ; 2].
  82. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = x2(2х − 3) − 12 (3х − 2) на отрезке [ − 3 ; 6].
  83. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = | х3 − 3х2 + 5 | на отрезке [0; 3].
  84. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = х4 − 8х2 − 9 на отрезке [0; 3].
  85. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = х4 − 8х2 − 9 на отрезке [ − 1; 1].
  86. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = х5 − х3 + х + 2 на отрезке [ − 1; 1].
  87. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [ 3/4; 2].
  88. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = (2x + 2−x)/ln 2 на отрезке [ − 1; 2].
  89. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = 2·33x − 4·32x + 2·3x на отрезке [ − 1; 1].
  90. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = 2·23x − 9·22x + 12·2x на отрезке [ − 1; 1].
  91. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = sin x + cos 2x на отрезке [ 0; π].
  92. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = соs 3x − 15 соs х + 8 на отрезке [ π/3; 3π/2].
  93. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = (5 + sin х) соs х + 3х на отрезке [ 0; π/2].
  94. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [ − 2; 1] в зависимости от параметра b.
  95. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = х4 −6bх2 + b2 на отрезке [ − 2; 1] в зависимости от параметра b.
  96. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = 2x sin 2x + cos 2x − √3 на отрезке [ − π/2; 3π/8].
  97. Докажите, что для функции f (х) = (соs х)2 ( sin х) выполняется неравенство .
  98. Докажите, что для функции f (х) = ( sin х)·( sin 2х) выполняется неравенство .
  99. Составьте уравнение касательной к графику функции y = х2 − 2х в точках ее пересечения с осью абсцисс.
  100. Составьте уравнение касательной к графику функции y = − x2 − 1 в точке x = 2.
  101. Составьте уравнение касательной к графику функции у = 2х2 + 1 в точке (1; 5).
  102. Составьте уравнение касательной к графику функции у = 4х − х2 в точках пересечения с осью Ох.
  103. Составьте уравнение касательной к графику функции у = х2 − 2х + 5 в точке ее пересечения с осью Оу.
  104. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х = 2 ln 2.
  105. Составьте уравнение касательной к графику функции у = 2−х − 2−2х в точке с абсциссой х = 2.
  106. Составьте уравнение касательной к графику функции у = 3х + 3−2х в точке с абсциссой х = 1.
  107. Составьте уравнение касательной к графику функции у = (2х − 1) е2(1−x) в точке ее максимума.
  108. Составьте уравнение касательной к графику функций у = − x2 − 2, параллельную прямой у= 4х + 1.
  109. Касательная к кривой y = 4 − х2 образует с осью Ох угол 75°. Найдите координаты точки касания.
  110. Найдите значение коэффициента k, при котором кривая у = х2 + kх + 4 касается оси Ох.
  111. На кривой у = х2 − х + 1 найдите точку, в которой касательная параллельна прямой у = 3х − 1.
  112. На кривой у = 4х2 − 6х + 3 найдите точку, в которой касательная параллельна прямой у = 2х.
  113. На параболе у = х2 взяты две точки с абсциссами х1 = 1, х2 = 3. Через эти точки проведена секущая. В какой точке параболы касательная к ней будет параллельна проведенной секущей? Напишите уравнение секущей и этой касательной.
  114. Найдите точки, в которых касательные к кривым у = f(х) = х3 − х — 1 и у = φ (x) = 3х2 − 4х + 1 параллельны. Напишите уравнение касательных.
  115. Найдите угол между касательными к графику функции f (х) = х3 − 4х2 + 3х + 1, проведенными в точках с абсциссами 0 и 1.
  116. Найдите угол между двумя касательными, проведенными из точки (0; − 2) к параболе у = х2.
  117. Найдите угол между касательными, проведенными из точки (0; 2) к параболе у = − 3х2.
  118. Найдите уравнения общих касательных к параболам у = х2 и у = − х2 + 3х − 2.
  119. Найдите уравнение касательной к параболе у = х2 − 7х + 3, если эта касательная параллельна прямой 5х + у − 3 = 0.
  120. В каких точках касательная к графику функции образует с осью Ох угол в 135°?
  121. Найдите точки, в которых касательная к кривой у = х − 0,5 sin 2х − 0,5соs 2x + 16 соs x; параллельна оси абсцисс.
  122. Найти угол между касательными к графику функции y = х3 − х в точках с абсциссами х1 = − 1 и х2 = 1.
  123. В точке М (1; 8) к кривой проведена касательная. Найти длину ее отрезка, заключенного между осями координат.
  124. Найдите уравнения общих касательных к параболам у = х2 − 5х + 6 и у = х2 + х + 1.
  125. Докажите, что кривая у = х4 + 3х2 + 2х не пересекается с прямой у = 2х − 1, и найдите расстояние между их ближайшими точками.