Геометрическая прогрессия

  1. Докажите, что последовательность, общий член которой аn = 2·3n, является геометрической прогрессией и найдите сумму первых восьми членов.
  2. Четвертый член геометрической прогрессии больше второго члена на 24, а сумма второго и третьего членов равна 6. Найдите эту прогрессию.
  3. Разность между четвертым и первым членами геометрической прогрессии равна 52, а сумма первых трех членов прогрессии равна 26. Вычислите сумму первых шести членов этой прогрессии.
  4. Сумма первых четырех членов геометрической прогрессии равна 30, а сумма следующих четырех членов равна 480. Найдите сумму первых двенадцати членов.
  5. Сумма двух первых членов геометрической прогрессии равна 15. Первый член больше знаменателя этой прогрессии на 25/3. Найдите четвертый член этой прогрессии.
  6. Найдите три числа, образующие геометрическую прогрессию, если их сумма равна 35, а сумма их квадратов равна 525.
  7. Последовательность {bn} - геометрическая прогрессия, причем b4/b6 = 1/4, b2 + b6 = 216. Найдите b1.
  8. Сумма первых трех членов возрастающей геометрической прогрессии равна 13, а их произведение равно 27. Вычислите сумму первых пяти членов этой прогрессии.
  9. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии, сумма первых трех членов которой равна 10,5, а разность первого и четвертого членов равна 31,5.
  10. Числа а, b, с, d составляют геометрическую прогрессию. Найдите (а - с)2 + (b - с)2 + (b - d)2 - (а - d)2.
  11. Сумма первого и третьего членов геометрической прогрессии равна 20, а сумма первых трех ее членов равна 26. Найдите прогрессию.
  12. Разность между первым и пятым членами геометрической прогрессии, все члены которой положительные числа, равна 15, а сумма первого и третьего членов этой прогрессии равна 20. Вычислите сумму первых пяти членов прогрессии.
  13. Найдите четыре числа, составляющих геометрическую прогрессию, в которой сумма крайних членов равна 112, а сумма средних членов равна 48.
  14. Первый член геометрической прогрессии b1, b2, b3, … равен единице. При каком значении знаменателя прогрессии величина 4b2 + 5b3, имеет минимальное значение?
  15. Сумма трех чисел, образующих геометрическую прогрессию, равна 13, а сумма их квадратов равна 91. Найдите эти числа.
  16. Числа 5х - у, 2х + 3y, х + 2у составляют арифметическую прогрессию, а числа (у + 1)2, ху + 1, (х - 1)2 составляют геометрическую прогрессию. Найдите х и у.
  17. В возрастающей геометрической прогрессии сумма первого и последнего членов равна 66, произведение первого и предпоследнего членов равно 128, сумма всех членов равна 126. Сколько членов в прогрессии?
  18. Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 31, а сумма первого и третьего членов равна 26. Найдите седьмой член прогрессии.
  19. Число членов геометрической прогрессии четное. Сумма всех членов прогрессии в 3 раза больше суммы членов, стоящих на нечетных местах. Найдите знаменатель прогрессии.
  20. В геометрической прогрессии первый, третий и пятый члены соответственно равны первому, четвертому и шестнадцатому членам некоторой арифметической прогрессии. Вычислите четвертый член арифметической прогрессии, если ее первый член равен 5.
  21. Три числа, сумма которых равна 28, образуют геометрическую прогрессию. Если к первому числу прибавить 3, ко второму 1, а от третьего отнять 5, то полученные числа образуют арифметическую прогрессию. Найти эти числа.
  22. Три числа образуют арифметическую прогрессию. Если к первому числу прибавить 8, получится геометрическая прогрессия с суммой членов 26. Найти эти числа.
  23. Второй, первый и третий члены арифметической прогрессии, разность которой отлична от нуля, образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию. Найдите ее знаменатель.
  24. Первый и третий члены арифметической прогрессии соответственно равны первому и третьему членам геометрической прогрессии, а второй член арифметической прогрессии превышает второй член геометрической прогрессии на 0,25. Вычислите сумму первых пяти членов арифметической прогрессии, если ее первый член равен 2.
  25. Найдите четыре числа, из которых первые три составляют геометрическую прогрессию, а последние три - арифметическую прогрессию. Сумма крайних чисел равна 14, а сумма средних равна 12.
  26. Найдите четыре числа, первые три из которых составляют геометрическую прогрессию, а последние три - арифметическую, если сумма крайних чисел 21, а сумма средних 18.
  27. Три целых числа, сумма которых равна 60, являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии. Если к этим числам прибавить соответственно 2,2; 4; 7, то новые числа составят три последовательных члена геометрической прогрессии. Найдите наименьшее из первоначально заданных чисел.
  28. Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 6, а сумма первых трех ее членов, стоящих на нечетных местах, равна 10,5. Найдите знаменатель и первый член прогрессии.
  29. Разность третьего и второго членов геометрической прогрессии равна 12. Если к первому члену прибавить 10, ко второму 8, а третий оставить без изменения, то новые три числа образуют арифметическую прогрессию. Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии.
  30. Три числа, сумма которых равна 26, составляют геометрическую прогрессию. Если к этим числам прибавить соответственно 1; 6 и 3, то получатся три числа, составляющие арифметическую прогрессию. Найдите эти числа.
  31. Между числом 3 и неизвестным числом вставлено еще одно число так, что все три числа образуют арифметическую прогрессию. Если средний член уменьшить на 6, то получится геометрическая прогрессия. Найдите неизвестное число.
  32. Три отличных от нуля действительных числа образуют арифметическую прогрессию, а квадраты этих чисел, взятые в том же порядке, составляют геометрическую прогрессию. Найдите все возможные знаменатели геометрической прогрессии.
  33. Три различных числа х, у, z образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию, а числа х + у, у + z, z + х образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию. Найдите знаменатель геометрической прогрессии.
  34. Разность арифметической прогрессии отлична от нуля. Числа, равные произведениям первого члена этой прогрессии на второй, второго члена на третий и третьего на первый, образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию. Найдите ее знаменатель.
  35. Три числа составляют геометрическую прогрессию. Если из третьего числа вычесть 4, то числа составят арифметическую прогрессию. Если же из второго и третьего членов полученной арифметической прогрессии вычесть по единице, то снова получим геометрическую прогрессию. Найдите эти числа.
  36. Найдите трехзначное число, если его цифры образуют геометрическую прогрессию, а цифры числа, меньшего на 400, - арифметическую.
  37. ЭВМ решала последовательно несколько задач. На решение каждой следующей задачи машина затрачивала в одно и то же число раз меньше времени, чем на решение предыдущей. Сколько было предложено задач, если на решение всех задач, кроме первой, ушло 63,5 мин.; на решение всех задач, кроме последней, 127 мин., а на решение всех задач, кроме первых двух, 31,5 минут?
  38. Даны первые два члена бесконечно убывающей геометрической прогрессии: , 2/( + 1). Найдите знаменатель и сумму этой прогрессии.
  39. Сумма второго и восьмого членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 325/128, а сумма второго и шестого членов, уменьшенная на 65/32, равна четвертому члену этой же прогрессии. Найдите сумму квадратов членов этой прогрессии.
  40. Разность между первым и пятым членами бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 1,92, а сумма первого и третьего членов той же прогрессии равна 2,4. Найдите отношение квадрата суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии к сумме квадратов членов той же прогрессии.
  41. Найдите первые три члена бесконечно убывающей геометрической прогрессии, сумма которой равна 1,6, а второй член равен (- 0,5).
  42. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 4, а сумма кубов ее членов равна 64/7. Найдите шестой член прогрессии.
  43. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 4, а сумма кубов ее членов равна 192. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.
  44. При каком иррациональном значении х три числа 0,(27); х; 0,(72) могут составить прогрессию (арифметическую или геометрическую). Найдите х и сумму четырех членов этой прогрессии.
  45. Сумма S бесконечно убывающей геометрической прогрессии на 2 больше суммы первых трех членов этой прогрессии. Сумма первых шести членов равна 3. Найдите S.
  46. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если сумма всех ее членов, стоящих на четных местах, в три раза меньше суммы всех ее членов, стоящих на нечетных местах, и сумма первых пяти членов этой прогрессии равна 484.
  47. Вычислите сумму членов геометрической прогрессии а1 + а1q + а1q2 + … + а1qn-1 + …, где а1 есть наибольшее значение функции
    у = (6 х2 - х3 - 16)/8
    на отрезке [1; 5], а знаменатель прогрессии .
  48. Первый член некоторой бесконечно убывающей геометрической прогрессии равен 1, а сумма ее равна 5. Найдите сумму геометрической прогрессии, составленной из квадратов членов исходной прогрессии.
  49. Сумма кубов членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии относится к сумме квадратов ее членов как 12 : 13. Сумма двух первых членов прогрессии равна 4/3. Найдите эту прогрессию.
  50. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, второй член которой, удвоенное произведение первого члена на четвертый и третий член образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию с разностью, равной 1/3.
  51. Найдите три числа, образующие геометрическую прогрессию, если их произведение равно 64, а среднее арифметическое 14/3.
  52. Три числа а, b, 12 в указанной последовательности составляют геометрическую прогрессию, а числа а, b, 9 - арифметическую прогрессию. Найти а и b.
  53. Найдите значение х, при котором log 2 (5·2x + 1), log 4 (21-x + 1), 1 cоставляют арифметическую прогрессию.
  54. Представьте десятичную периодическую дробь 7,2(3) в виде обыкновенной дроби.
  55. Вычислите .
  56. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если сумма первых трех ее членов равна 3, а сумма первых ее трех членов с нечетными номерами равна 5,25.
  57. Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 243, а сумма ее первых пяти членов равна 275. Найдите прогрессию.
  58. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 1,5, а сумма квадратов ее членов равна 1/8. Найдите прогрессию.
  59. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 3, а сумма кубов всех ее членов равна 108/13. Напишите прогрессию.
  60. Найти знаменатель геометрической прогрессии, в которой каждый член, начиная со второго, равен разности двух соседних (следующего и предыдущего).
    Ответ:
  61. Найти условие, при котором три числа а, b, с были бы k–тым, р –тым и m –ым членами некоторой геометрической прогрессии.