ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

   Если в уравнении неизвестная величина содержится под знаком радикала, то такое уравнение называется иррациональным. Одним из способов решения иррациональных уравнений является возведение обеих частей уравнения в степень, равную показателю степени корня. Если показатель степени четный, то необходима проверка найденных решений.
   Пример 1. Решить уравнение
√ x + 2 = x.
   Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат:
х + 2 = х2.
Квадратное уравнение x2 − х − 2 = 0 имеет корни х1= 2; х2 = − 1.
   Проверка. Ответ. 2
   Замечание. Если при решении уравнений или систем уравнений делается проверка, то область допустимых значений можно и не находить.
   Пример 2. Решить уравнение
( x − 5)·( x + 2) √ x − 7 = 0. 
   Решение. Исходное уравнение может быть заменено совокупностью уравнений
x − 5 = 0; х + 2 = 0; √ x − 7 = 0.
Решая эти уравнения, получим х1 = 5; х2 = − 2; х3 = 1 (х1 и х2 не входят в область допустимых значений данного уравнения).
   Ответ. 7.
   Пример 3. Решить уравнение
   Решение. Обозначим . Получим уравнение
у2 + у − 2 = 0,
которое имеет корни у1 = 1; у2 = − 2. Следовательно,  или  отсюда   х1 = 1. Второе уравнение не имеет корней, так как .
   Ответ. 1.
   Пример 4. Решить уравнение
   Решение. Раскроем скобки:
Обозначим   и перейдем к уравнению у2 + 2 − 3у = 6, или у2 − 3 у − 4 = 0. Оно имеет корни у1 = − 1; у2 = 4.
   Исходное уравнение эквивалентно совокупности уравнений
Первое уравнение не имеет решений, так как
 Решая второе уравнение, получим
х2 + 5 х + 2 = 16, х2 + 5 х − 14 = 0,
откуда х1 = 2; х2 = − 7.
   Проверка. Ответ. 2;  −7.
   Пример 5. Решить уравнение
   Решение. Преобразуем данное уравнение к виду
далее возведем обе части уравнения в третью степень:

Обозначив  получим квадратное уравнение
у2 + у − 12 = 0,
которое имеет корни у1 = 3; у2 = − 4. Таким образом, исходное уравнение эквивалентно совокупности уравнений
Возведя обе части уравнения в третью степень, получаем
х − 3 = 27 или х − 3 = − 64;
х = 30 или х = − 61.
   Ответ. 30;  − 61.
 Пример 6. Решить уравнение
   Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат:
Было бы ошибкой «сократить» обе части уравнения на х. При этом можно потерять решение. Поэтому решаем так:



Возводим обе части последнего уравнения в квадрат: х2 − 1 = х2 − 4 х + 4, откуда
.
   Проверка. Ответ:
 Пример 7. Решить уравнение √ x − 3 = 2.
 Решение. Возводя левую и правую части уравнения в квадрат, получим x − 3 = 4, или х = 7. Выполнив проверку, убеждаемся в правильности найденного решения.
 Пример 8. Решить уравнение ( x2 − 4)√ x − 1 = 0.
 Решение. Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений
Выполнив проверку, убеждаемся, что корень x = − 2 является посторонним.
Ответ:
 Пример 9. Решить уравнение x − √ x + 1 = 1.
 Решение. Преобразуем уравнение к простейшему виду
√ x + 1 = x − 1.
Возводя обе части уравнения в квадрат, получим уравнение
x + 1 = x2 − 2 x + 1,
которое преобразуется в квадратное,
x2 − 3 x = 0.
Это уравнение является в данном случае неполным и решается следующим образом
Проверка первоначального уравнения подстановкой найденных чисел, показывает, что число x = 0 является посторонним корнем, так как уравнение при x = 0 превращается в противоречивое равенство 1 = − 1.
 Ответ x = 3.
 Пример 10. Решить уравнение
.
 Решение. Очевидно, что х ≠ 2/3. Возведем обе части этого уравнения в квадрат
.
Умножим обе части на (3 х – 2) и получим
х4 + 12 х3 – 8 х2 + 36 х2 – 48 х + 16 – 27 х3 + 18 х2 = 0.
После приведения подобных членов, имеем
х4 – 15 х3 + 46 х2 – 48 х + 16 = 0.
Если этот приведенный многочлен 4-ой степени имеет целые корни, то они находятся среди делителей свободного члена. Делители числа: 16: ± 1, ± 2; ± 4; ± 8; ± 16. Среди этих чисел находим число, обращающее левую часть в нуль, это х = 1. Тогда по теореме Безу этот многочлен разделится на х – 1 (разделите столбиком):
х4 – 15 х3 + 46 х2 – 48 х + 16 = (х – 1) (х3 – 14 х2 + 32 х – 16).
Аналогично решаем уравнение х3 – 14 х2 + 32 х – 16 = 0:
х3 – 14 х2 + 32 х – 16 = (x – 2) (х2 – 12 х + 8).
Оставшиеся два корня найдём их уравнения х2 – 12 х + 8 = 0
x3,4 = 6 ± 2√7.
Следует напомнить о важности проверки найденных значений на предмет того, будут ли они корнями заданного уравнения. Подставляем х1 = 1, х2 = 2, x3,4 = 6 ± 2√7 в уравнение и убеждаемся, что найденные числа действительно корни заданного уравнения.
Ответ: х1 = 1, х2 = 2, x3,4 = 6 ± 2√7.
 Пример 11. Решить уравнение
.
 Решение. Возведем обе части в квадрат:
.
Полученное выражение нетрудно привести к следующему виду
,
x = 0 – посторонний корень (проверьте). Для нахождения остальных корней рассмотрим уравнение
,
2 – 3 x перенесем в правую часть и опять возведем обе части последнего уравнения в квадрат:
4 (2 х2 – 3 х + 5) = 9 х2 – 12 х + 4.
Затем приведем подобные члены и получим уравнение
х2 – 16 = 0.
Только один из корней этого уравнения является искомым корнем, x = 4 (проверьте подстановкой в заданное уравнение 4 и – 4).
 Ответ: х = 4.

ЗАДАЧИ

Решить уравнения

1. √ x = 3.2. √ x − 3 = 2.3.4.5.√ x + 3 = − 2.
6.7. √ x = 2 − x.8. 9. √ 2x − 3 − √ x + 3 = 0.10. x − √ x + 1 = 1.
11. ( x2 − 4)·√ x + 5 = 012. ( x2 − 9)·√ 2 − x = 0.13. 14.15.

Решить уравнения

1. 2 √ x + 5 = x + 2.2. x − 1 = √ x + 53. 21 + √ 2x − 7 = x.
4.5.6.
7. √ x + 2 = 2 + √ x − 6.8. √ x − √ x + 3 = 1.9.√ x − 5 + √ 10 − x = 3.
10.√ x − 9 − √ x − 18 = 1.11.√ 3x + 1 − 2 − √ x+ 1 = 0.12. √ 11x − 2 + 3√ x = 6.
13.14. 15.
16. 17. √2x + 1 = 2√ x − √ x − 3.18. √ x + 5 = √ 4x + 9 − √ x.
19. √2x + 3 + √ x − 2 = 2 √ x + 1 . 20. √ x + 10 − √ x + 3 = √ 4x − 23 . 21.
22. √ 8x + 1 + √ 3x − 5 = √ 7x + 4 + √2x −2. 23. √2x + 3 + √ 3x + 2 − √2x + 5 = √ 3x. 24.
25. √ 11 x + 3 − √ 2 − x = √9x + 7 − √ x −2. 26. 27.
28. 29. √ x − 3 − √ x + 3 = 2 − √10. 30.
31. 32. 33.
34. 35. 36.
37. 38. 39.
40. 41. 42.
43. 44. 45.
46. 47. 48.
49. 50. 51.
52. 53. 54.
55. 56. 57.
58. 59. 60.
61. . Ответ. {- 4}

Среди решений (х; у) системы найти то, для которого сумма (х + у) максимальна.
Вычислить значение этой суммы:

1.2.3.
4.5.6.
7.8.9.