Тождественные преобразования логарифмических и показательных выражений

   Логарифмом числа b по основанию а (а > 0, a ≠ 1) называется показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получилось b:

logab = x ↔ ax = b.
Основное логарифмическое тождество
.
Свойства логарифмов:
  1. logaa = 1, a ≠ 1; a > 0.
  2. loga1 = 0, a ≠ 1; a > 0.
  3. logab·c = logab + logac; a ≠ 1; a > 0; b > 0; c > 0.
  4. ; a ≠ 1; a > 0; b > 0; c > 0.
  5. logab p = p·logab; a ≠ 1; a > 0; b > 0.
  6. ; a ≠ 1; a > 0; c ≠ 1; c > 0; b > 0.
  7. ; a ≠ 1; a > 0; p ≠ 0.
  8. ; a ≠ 1; a > 0; b ≠ 1; b > 0.
   Пример 1. Найти значение выражения .
   Решение. Согласно свойству логарифмов (5) имеем
.
По свойству логарифмов (1) log44 = 1, т.е. получим
.
Используя свойства логарифмов (5) и (1), имеем
log33-2 = -2 log33 = - 2.
Ответ. - 2.
   Пример 2. Найти значение выражения .
   Решение. Используя свойство логарифмов (5) и основное логарифмическое тождество, преобразуем выражение в круглых скобках;
Исходное выражение примет вид
Ответ. 6.
   Пример 3. Найти значение выражения
   Решение. Числитель дроби представляет собой квадратичное выражение вида 3 x2 - 2 x a - a2. Найдя корни этого квадратичного выражения, разложим его в произведение линейных множителей
3 x2 - 2 x a - a2 = (x - a) (3 x + a).
Применительно к нашему примеру это приводит к следующему выражению

1 log216 2 3 log171 4
5 log0,20,04 6 7 8
9 10 log432 11 lg 1000 12 lg 0,01
13 lg 1 14 lg 10 15 16
17 18 19 20
21 22 23 10lg 0,5 24
25 log42 + log48 26 27 log32 - log354 28
29 30 log 7196 - 2 log 72 31 log 5175 - log 57 32 log 25 - log 235 + log 256
33 34 10lg 2 + lg 3 35 101+lg 5 36
37 38 39 40

41 log2x = log49 42 43
44 45 lg x = 2 lg 3 46 lg x = lg 6 + lg 2
47 lg x = lg 25 - lg 5 48 49
50        

Вычислить без таблиц

51 52 53 54 55 log497
56 log9243 57 58 59 60

Найти значения выражений

61 62 2 log 7 32 - log 7 256 - 2 log 7 14 63 log 5 22 - log 5 11 - log 5 10
64 log 2 7 - log 2 63 + log 2 36 65 66
67 68 69
70 71 72
73 74 75
76 77 78
79 80 81
82 83 84
85 86 87
88 89 90
91 92 93
94 95 96
97 98 99
100 101 log3[ ( log2 5)·( log 5 8 ) ] 102
103 104 105
106 107 108
109 110 111 log 2 28 - log 2 56
112 113
114 115
116 117
118 119
120 121
  1. Вычислить , если известно, что log a b = 2.
  2. Вычислить , если известно, что log a b = 14.
  3. Вычислить , если известно, что log a b = 3.
  4. Вычислить , если известно, что log b a = 2.
  5. Вычислить , если известно, что log a b = 2.
  6. Вычислить , если известно, что log a b = 2.
  7. Вычислить , если известно, что log b a = 2.
  8. Вычислить , если известно, что log a b = 1/2.
  9. Вычислить , если известно, что log b a = 9.
  10. Вычислить , если известно, что log a b = 2.
132 133
134 135
136 137
138 139
140 141
  1. ( log 3 2 + log 2 81 + 4 )·(log 3 2 - 2 log 18 2 ) log 2 3 - log 3 2.
  2. ( log 5 2 + log 2 5 + 2 )·(log 5 2 - lg 2 ) log 2 5 - log 5 2.
  3. ( log 2 7 + log 7 16 + 4 )·(log 2 7 - 2 log 28 7 ) log 7 2 - log 2 7.
  4. ( log 3 5 + log 5 3 + 2 )·(log 3 5 - log 15 5 ) log 5 3 - log 3 5.
  5. ( log 3 4 + 9 log 4 3 + 6 )·(log 3 4 - 3 log 108 4 ) log 4 3 - log 3 4.
  6. ( log 7 3 + log 3 7 + 2 )·(log 7 3 - log 21 3 ) log 3 7 - log 7 3.
  7. ( log 6 3 + log 3 1296 + 4 )·(log 6 3 - log 108 9 ) log 3 6 - log 6 3.
  8. ( log 4 6 + log 6 4 + 2 )·(log 4 6 - log 24 6 ) log 6 4 - log 4 6.
  9. ( log 5 7 + 9 log 7 5 + 6 )·(log 5 7 - 3 log 875 7 ) log 7 5 - log 5 7.
  10. ( log 2 5 + 16 log 5 2 + 8 )·(log 2 5 - 4 log 80 5 ) log 5 2 - log 2 5.