Уравнения и неравенства с модулями

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЯМИ

Чтобы решить уравнение, содержащее переменную под знаком модуля, надо освободиться от знака модуля, используя его определение:

На практике это делается так:

1) находят критические точки, т. е. значения переменной, при которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль;
2) разбивают область допустимых значений переменной на промежутки, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак;
3) на каждом из найденных промежутков решают уравнение без знака модуля.

   Совокупность (объединение) решений указанных промежутков и составляет все решения рассматриваемого уравнения.
   Покажем это на конкретных примерах.
   Пример 1. Решить уравнение | х + 3 | = 2 х - 1.
   Решение. Критическая точка находится после решения уравнения х + 3 = 0, х = - 3.

1) При х < - 3 получаем уравнение - х - 3 = 2 x - 1, откуда x = - 2/3. Но наиденное значение не входит в рассматриваемый промежуток.
2) При х ≥ З получаем уравнение х + 3 = 2 х - 1, откуда х = 4.

   Найденное значение входит в рассматриваемый промежуток.
   Ответ. 4.
   Пример 2. Решить уравнение | х + 2 | + | х + 3 | = х.
   Решение. Найдем критические точки: х + 2 = 0 или х + 3 = 0;
х = - 2 или х = - 3.    Решаем задачу на каждом промежутке:

1) х < - 3, - х - 2 - х - 3 = х, - З х = 5; х = - 5/3 (не входит в рассматриваемый промежуток).
2) - З ≤ х < - 2, - х - 2 + х + 3 = х; х = 1 (не входит в рассматриваемый промежуток).
3) х ≥ - 2, х + 2 + х + 3 = х; х = - 5 (не входит в рассматриваемый промежуток).

Ответ Ø
. Пример 3. Решить уравнение | х + 5 | - | х - 3 | = 8. Решение. Найдем критические точки: х + 5 = 0 или х - 3 = 0;
х = - 5 или х = 3. Решаем задачу на каждом промежутке:

1) х < - 5, - х - 5 - ( - х + 3) = 8, - x - 5 + x - 3 = 8; - 8 = 8 ложно. На рассматриваемом промежутке решений нет.
2) - 5 ≤ х < 3, х + 5 - ( - х + 3 ) = 8, х + 5 + х - 3 = 8, 2 х = 6; х = 3 (не входит в рассматриваемый промежуток).
3) х ≥ 3, х + 5 - ( х - 3) = 8, х + 5 - х + 3 = 8; 8 = 8 верно. Уравнение выполняется при всех x из рассматриваемого промежутка.

   Ответ. [3; + ∞).
   Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля, находится аналогично решению уравнений подобного рода.
   Рассмотрим это на конкретных примерах.
   Пример 4. Решить неравенство | х + 4 | ≥ 1.
   Решение. Критическая точка находится решением уравнения х + 4 = 0, откуда х = - 4.

1) Рассмотрим промежуток х < - 4. На нем исходное неравенство принимает вид - х - 4 ≥ 1. Решая это неравенство, найдем x ≤ - 5 (смотри рисунок.). Так как х < - 4 и х ≤ - 5, то решением исходного неравенства будет промежуток х ≤ - 5.
2) Рассмотрим промежуток x> - 4. На нем исходное неравенство имеет вид x + 4 ≥ 1, откуда х ≥ - 3.
Так как х > - 4 и х ≥ - 3, то решением исходного неравенства будет промежуток х ≥ - 3 (смотри рисунок.).
3) Учитывая случаи 1) и 2), окончательно имеем x≤ - 5 и х ≥ - 3 (смотри рисунок.).
Ответ, х ≤ - 5 и х ≥ - 3.

Пример 5. Решить неравенство | х - 3 | < 1.
Решение. Найдем критическую точку х - 3 = 0, т. е. х = 3.

1) Рассмотрим промежуток х < 3. В этом случае имеем , откуда Следовательно, решением исходного неравенства является промежуток (2; 3) (смотри рисунок.).
Рассмотрим промежуток х ≥ З. В этом случае имеем или Следовательно, решением исходного неравенства является промежуток [3; 4) (смотри рисунок.).
3) Рассмотрим вместе эти промежутки. Решением неравенства будет промежуток (2; 4).
Ответ. 2 < х < 4. (смотри рисунок.).

Пример 6.. Решить неравенство | 2 х - 1 | - | х - 2 | ≥ 4.
Решение. Критическими точками являются х = - 1/2 и х = 2.

1) Рассмотрим промежуток x < 1/2. На нем исходное неравенство имеет вид - 2 х + 1 - ( - х + 2) ≥ 4, откуда х ≤ - 5. Следовательно, на этом промежутке решением неравенства будет промежуток x ≤ - 5 (смотри рисунок.).
2) Рассмотрим промежуток - 1/2 ≤ х < 2. На нем исходное неравенство имеет вид ( 2 х - 1) - ( - x + 2 ) ≥ 4, откуда x ≥ 7/3. Таким образом, исходное неравенство на этом промежутке не имеет решения (смотри рисунок.).
3) Рассмотрим промежуток х > 2. На нем исходное неравенство имеет вид (2 х - 1) - ( х - 2 ) ≥ 4, откуда х ≥ З.
4) Объединение полученных решений х ≤ - 5 и х ≥ З будет решением исходного неравенства.

Ответ. - ∞ < х ≤ - 5 и 3 ≤ х < ∞.

Для самостоятельного решения

| x - 1 | = 3.
| x - 3 | + | x + 2 | - | x - 4 | = 3.
x² - | x | - 12 < 0.
| 3 - | x || = 2.
| x - 1 | + | x - 2 | = 3.
| x - 4 | - | x - 1 | = 5.
| x | + 2 | x - 1 | + | x - 2 | = 8.
| x - 3 | < 2.
| x - 5 | > | x + 3 |.
| 2 x - 5 | = x - 1.
| x - 1 | - 2 | x - 2 | + 3 | x - 3 | = 4.
| x | = x + 2.
| - x + 1 | = 2 x + 1.
| x - 1 | + | x - 2 | = 1.
| x - 1 | + | x + 2 | - | x - 3 | = 4.
.
| 5 x - x ² - 5 | = x ² - 5 x + 5.
| x ² - 1 | = - | x | + 1.
| x | = x ² + x - 2.
2 | x² + 2 x - 5 | = x - 1.
| x ² + 4 | ≥ | 3 x + 2 | - 7 x.
x ² - | 5 x + 8 | > 0.
| x² - 2 x - 8 | > 2 | x - 4 |.
Ответ. ( - ∞; - 4) (0; 4) (4; + ∞ )

| x - | 4 - x || - 2 x = 4.
| 3 x - 8 | - | 3 x - 2 | = 6.
| x | + | 7 - x | + 2 | x - 2 | = 4.
| x ² - 4 x + 3 | + | x ² - 5 x + 6 | = 1.
| x ² - 9 | + | x - 1 | - 2 = 0.
( x + 1 )² + | x + 1 | - 2 = 0.
x ² - 4 | x + 1 | + 5 x + 3 = 0.
| x - 3 | > 1.
| x ² + 21 x + 34 | < 1.
| 5 - 8 x | < 11.
| 2 x + 1 | > 5.
| 2 x - 3 | ≤ 4.
| 5 x - 4 | ≥ 6.
x ² - 5 | x | + 6 < 0.
x ² - | x | - 2 ≥ 0.
| x ² + x | < 5.
| x ² - 4 x | > 1.
3 | x - 1 | + x ² - 7 > 0.
| x - 6 | ≥ x ² - 5 x + 9.
| x ² - x - 8 | ≤ x.
| x - 1 - x ² | ≤ | x ² - 3 x + 4 |.
| x - 1 | - 2 | x - 2 | + 3 | x - 3 | ≤ 4.