планиметрия

ПЛАНИМЕТРИЯ. ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ

Длина одного из катетов прямоугольного треугольника больше длины другого на 10 см, но меньше длины гипотенузы на 10 см. Найдите длину гипотенузы этого треугольника. Решение
В треугольнике АВС [BD] -медиана, | BD | = | AB | , а DВС = . Найдите величину угла АBD. Решение
В треугольнике длина основания на 4 см меньше длины высоты, а площадь этого треугольника равна 96 см². Найдите длины основания и высоты треугольника Решение^*
Длины сторон треугольника равны 11 см, 13 см и 12 см. Вычислите длину медианы, проведенной к большей стороне. Решение
Длина основания равнобедренного треугольника равна а, а величина угла при вершине - α. Найдите длину биссектрисы, проведенной к боковой стороне. Решение
В равнобедренном треугольнике величина угла при вершине равна α, а площадь его равна S. Найдите длину основания треугольника. Решение
В прямоугольном треугольнике длины медиан острых углов равны √156 и √89 см. Найдите длину гипотенузы треугольника. Решение
Длины катетов прямоугольного треугольника равны а и b. Найдите длину биссектрисы прямого угла этого треугольника. Решение
Биссектриса угла N треугольника МNР делит сторону [МР] на отрезки, длины которых равны 28 и 12. Определите периметр треугольника ММР, если | МN | - | NР | = 18 Решение *.
В треугольнике АВС известны отношения длин сторон [ВС] и [АС] к радиусу описанной окружности, равные, соответственно, 2 и 1,5. Найдите отношение длин биссектрис внутренних углов В и С. Решение
В треугольнике АВС длина стороны [АВ] равна 2 см. Из вершины В к стороне [АС] проведена медиана [ВD], длина которой равна 1 см. Найдите площадь треугольника АВС, если ВDА = 30° . Решение ^*
Найдите углы треугольника, в котором высота и медиана, проведенные из одной вершины, делят угол при этой вершине на три равные части. Решение *
В ромбе АВСD точки М и N -середины сторон [ВС] и [СD] соответственно. Найдите МАN, если ВАD = 60°.
Периметр ромба равен 48, а сумма длин диагоналей равна 26. Найдите площадь этого ромба. Решение *
Найдите величину угла между диагоналями прямоугольника с периметром 2p и площадью .
В квадрате АВСD точка М - середина [ВС], а О -точка пересечения [DМ] и [АС]. Найдите величину угла МОС.
Средняя линия трапеции равна 10 см и делит плошадь трапеции в отношении 3 : 5. Найдите длины оснований этой трапеции.
В равнобочной трапеции АВСD длина боковой стороны [АВ] и меньшего основания [ВС] равны 2 см и [ВD] [АВ]. Вычислите площадь этой трапеции.
В параллелограмме АВСD величина угла ВАD равна π/3, а длина стороны [АВ] равна 3 см. Биссектриса угла А пересекает сторону [ВС] в точке Е. Найдите площадь треугольника АВЕ.
Параллелограмм с периметром 44 см разделен диагоналями на 4 треугольника. Разность между периметрами двух смежных треугольников равна 6 см. Определите длины сторон параллелограмма.
Дан параллелограмм, в котором величина острого угла равна 60°. Найдите отношение длин сторон параллелограмма, если отношение квадратов длин диагоналей равно 1/3.
В трапеции длины оснований равны 5 см и 15 см, а длины диагоналей – 12 см и 16 см. Найдите площадь трапеции. Решение.

Ответ: S = 96 см²
Длины оснований трапеции равны а и b. Найдите длину отрезка прямой, соединяющего середины ее диагоналей. Решение.
Найдите площадь равнобедренной трапеции, зная длину ее диагонали l и величину угла α между этой диагональю и большим основанием.
В равнобедренной трапеции АВСD ([АD] || [ВС]) расстояние от вершины А до прямой (СD) равно длине боковой стороны. Найдите величины углов трапеции, если | АВ | : | ВС | = 5 : 1.
Непараллельные стороны трапеции продолжены до взаимного пересечения и через полученную точку проведена прямая, параллельная основаниям трапеции. Найдите длину отрезка этой прямой, ограниченного продолжениями диагоналей, если длины оснований трапеции равны а и b.
В прямоугольной трапеции отношение длин оснований равно 4, а отношение длин диагоналей равно 2. Найдите величину острого угла трапеции.
Дана равнобедренная трапеция АВСD. Известно, что | АD | = 10 см, |BС| = 2см, | АВ | = | СD | = 5 см. Биссектриса угла ВАD пересекает луч [ВС) в точке К. Найдите длину биссектрисы угла АВК в треугольнике АВК.
В прямоугольном треугольнике АВС биссектриса [АО] острого угла А делится центром О вписанной окружности в отношении | АО | : | OD | = ( √ 3 + 1) : ( √ 3 - 1). Найдите величины острых углов треугольника.
В треугольнике АВС сторона [АВ] имеет_длину 3 м, высота [СD], опущенная на сторону [АВ], имеет длину √ 3 м. Основание D высоты [СD] лежит на стороне [АВ], длина отрезка [АD] равна длине стороны [ВС]. Найдите длину стороны [АС].
Длина диагонали [ВD] трапеции АВСD равна m, а длина боковой стороны [АD] равна n. Найдите длину основания [СD], если известно, что длины основания, диагонали и боковой стороны трапеции, выходящих из вершины С, равны между собой.
В выпуклом четырехугольнике МNLQ. углы при вершинах M и L - прямые, а величина угла при вершине М равна агсtg (2/3). Найдите длину диагонали [NQ], если известно, что длина стороны [LQ] вдвое меньше длины стороны [МN] и на 21 м больше длины стороны [LN].
Площадь треугольника АВС равна 15 √ 3 м². Величина угла ВАС равна 120°. Величина угла АВС больше величины угла АСВ. Расстояние от вершины А до центра окружности, вписанной в треугольник АВС, равно 2 м. Найдите длину медианы треугольника АВС, проведенной из вершины В.

Дан квадрат АВСD со стороной длины единица. Точка К принадлежит стороне [СD] и | СК |/| КD | = 1/2. Найдите расстояние от вершины С до прямой (АК). Решение

Выполним рисунок задачи.

Треугольники ADK и CEK подобны по двум углам. В подобных треугольниках отношения соответствующих сторон равны

, или

В трапеции углы при одном из оснований имеют величины 20° и 70°, а длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна 2. Найдите длины оснований трапеции, если длина средней линии этой трапеции равна 4.
Одно из оснований трапеции служит диаметром окружности радиуса R, а другое отсекает от окружности дугу в α радиан (0 < α < π). Определите площадь трапеции.
Величина угла при основании равнобедренного треугольника равна φ. Найдите отношение длины радиуса вписанной в данный треугольник окружности к длине радиуса описанной окружности.
В равнобедренном треугольнике длина основания равна 24 см, а боковой стороны - 15 см. Определите радиусы вписанной и описанной окружностей. Решение
В круге радиуса 12 см длина хорды [АВ] равна 6 см, а хорды [ВС] - 4 см. Найдите длину хорды, соединяющей концы дуги АС.
На сторонах [АВ] и [АС] угла ВАС, равного 2π/3, как на диаметрах построены полуокружности. В общую часть двух образованных полукругов вписана окружность максимального радиуса. Найдите радиус этой окружности, если | АВ | = 4, | AC | = 2.
В треугольнике АВС заданы | АС | = b, АВС = α. Определите радиус окружности, проходящей через центр вписанного в треугольник АВС круга и вершины A и С.
В окружности радиуса r проведена хорда длины r/2. Через один конец хорды проведена касательная к этой окружности, а через другой - секущая, параллельная касательной. Найдите расстояние между касательной и секущей.
Через концы дуги окружности, содержащей 120°, проведены касательные и в фигуру, ограниченную этими касательными и данной дугой, вписана окружность. Вычислите длину этой окружности, если радиус исходной окружности равен R.
Две окружности радиусов R и r касаются внешне в точке С. К ним проведена общая внешняя касательная [АВ], где А и B -точки касания. Вычислите длины сторон треугольника АВС.
Две окружности радиусов R и r (R > r) касаются внешним образом. Найдите радиусы окружностей, касающихся обеих данных окружностей и их общей внешней касательной.
Две окружности радиусов R и r касаются внешне в точке А. На окружности радиуса r взята точка В, диаметрально противоположная точке A, и в этой точке построена касательная l. Найдите радиус окружности, касающейся двух данных окружностей и прямой l.
Точки 0₁ и 0₂ - центры окружностей К₁ и К₂, касающихся внешне. Радиусы этих окружностей равны соответственно r₁ и r₂. На отрезке [0₁0₂] как на диаметре построена окружность K₃. Вычислите радиус окружности, касающейся внешне окружностей K₁ и K₂ и внутренне -окружности К₃.
В треугольнике РQR величина угла QRР равна π/3. Найдите расстояние между точками касания со стороной [QR] окружности радиуса 2, вписанной в треугольник, и окружности радиуса 3, касающейся прямых (РQ) и (PR).
Дан треугольник АВС, длины сторон которого равны: | АВ | = 15, | ВС | = 12, | АС | = 18. Центр вписанной окружности О делит биссектрису угла С на две части [СО] и [ОD]. Во сколько раз длина [СО] больше длины [ОD]?
В угол величины α радиан вписана окружность радиуса R. Между вершиной угла и центром окружности проведена к этой окружности касательная, перпендикулярная биссектрисе данного угла. Определите площадь отсеченного треугольника.
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если известно, что радиус вписанного в треугольник круга равен r, а описанного - R.
Окружность касается большего катета треугольника, проходит через вершину противолежащего острого угла и имеет центр на гипотенузе. Найдите ее радиус, если длины катетов треугольника равны 3 и 4.
В треугольник с длинами сторон а, b, с вписан полукруг, диаметр которого лежит на стороне длины с. Найдите радиус этого полукруга.
В равнобедренном треугольнике величина угла при основании равна π/6. Длина высоты, опущенной на основание, больше радиуса вписанного круга на 2. Найдите длину основания этого треугольника.
Около круга радиуса r описана прямоугольная трапеция, меньшая из сторон которой равна Зr/2. Вычислите площадь этой трапеции.
Площадь равнобочной трапеции, описанной около круга, равна S. Найдите длину средней линии трапеции, если величина острого угла при ее основании равна α.
В окружность радиуса R вписана трапеция, у которой боковая сторона конгруэнтна меньшему основанию, а угловая мера дуги, стягиваемой этим основанием, равна α. Найдите площадь трапеции.
В правильный треугольник с длиной стороны 10 см вписан круг. В этот круг вновь вписан правильный треугольник, в него - снова круг и т. д. Найдите сумму площадей всех кругов, образованных в результате последовательного вписывания.
Величины углов треугольника относятся как 2 : 3 : 7. Длина наименьшей стороны равна а. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
В равнобедренный треугольник вписана окружность радиуса r. Высота, проведенная к основанию, делится окружностью в отношении 1 : 2. Найдите площадь треугольника.
В равнобедренный треугольник вписана окружность радиуса r. Высота, проведенная к основанию, делится окружностью в отношении 1 : 2. Найдите площадь треугольника.
В прямоугольном треугольнике АВС угол А прямой, величина угла В равна 30°, а радиус описанной окружности равен √ 3. Найдите расстояние от вершины С до точки касания вписанной окружности и катета [АВ].
В квадрат АВСD со стороной длины а вписана окружность, которая касается стороны [СD] в точке Е. Найдите длину хорды, соединяющей точки, в которых окружность пересекается с прямой (АЕ).
В прямоугольный треугольник, периметр которого равен 36 см, вписана окружность. Точка касания с окружностью делит гипотенузу в отношении 2 : 3. Найдите длины сторон треугольника.
В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания с окружностью делит один из катетов на отрезки длины 6 см и 10 см, считая от вершины прямого угла. Найдите площадь треугольника.
На большем катете как на диаметре описана полуокружность. Определите ее длину, если меньший катет равен 30 см, а хорда, соединяющая вершину прямого угла с точкой пересечения гипотенузы с полуокружностью, равна 24 см.
В параллелограмме АВСD диагональ [АС] перпендикулярна стороне [АВ]. Некоторая окружность касается стороны [ВС] параллелограмма АВСD в точке Р и касается прямой, проходящей через вершины А и В этого же параллелограмма, в точке А. Через точку Р проведен перпендикуляр [РQ] к стороне [АВ] (точка Q - основание этого перпендикуляра). Найдите величину угла АВС, если известно, что площадь параллелограмма АВСD равна 1/2, а площадь пятиугольника QРСDА равна S.
Вокруг трапеции с высотой длины Н описана окружность. Основания трапеции видны из центра окружности под углами α и β. Найдите радиус окружности и площадь трапеции.
Круг радиуса 13 см касается двух смежных сторон квадрата, длина стороны которого равна 18 см. На какие два отрезка делит круг каждую из двух других сторон квадрата?
В треугольнике AВС заданы: ВАС = α, ВСА = β, | АС | = b. На стороне [ВС] взята точка D так, что |ВD| = 3 |DС|. Через точки В и D проведена окружность, касающаяся стороны [АС] или ее продолжения за точку А. Найдите радиус этой окружности.
На стороне угла с вершиной А взяты точки С и D (С между А и D) так, что |AС| = 2 |СD|. Через точки С и D проведена окружность, касающаяся другой стороны угла в точке В. Между точками А и В взята точка Е. Известно, что DАЕ = α, DЕА = β, |АЕ| = k. Найдите радиус окружности.
Длины боковых сторон трапеции равны 6 и 10. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Средняя линия делит трапецию на две части, отношение площадей которых равно 5 : 11. Найдите длины оснований трапеции.
Длина средней линии равнобочной трапеции равна 5. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Средняя линия делит трапецию на две части, отношение площадей которых равно 7 : 13. Найдите длину высоты трапеции.
Окружность радиуса 3, вписанная в треугольник АВС, касается стороны [ВС] в D. Окружность радиуса 4 касается продолжения сторон [АВ] и [АС], а также стороны [ВС] в точке Е. Найдите | ЕD |, если величина угла ВСА равна 2π/3.
Треугольник задан координатами своих вершин А (3; - 2; 1), B (3; 1; 5), С (4; 0; 3). Вычислите длину медианы | ВВ₁| и величину угла В.
Определите площадь равнобедренной трапеции, у которой длины оснований равны 10 см и 26 см, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам.
Вычислите площадь прямоугольной трапеции с основаниями длины 7 см и 3 см и острым углом в 60°.
Дана трапеция МNРQ с основаниями [МQ] и [NP]. Прямая, параллельная основаниям, пересекает боковую сторону [МN] в точке А, а сторону [PQ] - в точке В. S_ANPQ : S_MABQ = 2 : 7. Найдите | АВ |, если |МР| = 4, |МQ| = 6.
В равнобедренном треугольнике с боковой стороной длины 4 см проведена медиана к боковой стороне. Найдите длину основания треугольника, если длина медианы равна 3 см.
Длины катетов прямоугольного треугольника равны 12 см и 5 см. Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей.
В прямоугольный треугольник с катетами а и b вписан квадрат, имеющий с треугольником общий прямой угол. Найдите периметр квадрата.
В треугольнике АВС величины углов А, В, С составляют арифметическую прогрессию. Наименьшая сторона в 4 раза меньше наибольшей стороны. Найдите тангенс наименьшего угла.
Длины сторон треугольника пропорциональны числам 5, 12, 13. Наибольшая сторона треугольника превосходит наименьшую на 1,6 м. Определите периметр и площадь треугольника.
В равнобедренном треугольнике синус угла при основании в 3 раза больше косинуса угла при вершине. Найдите синус угла при основании.
Найдите длины сторон прямоугольного треугольника, если R = 15 см, r = 6 см, где R и r - радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно.
Даны две стороны b и с треугольника и его площадь S = 2bc/5. Найдите третью сторону треугольника.
Найдите угол между медианами катетов равнобедренного прямоугольного треугольника.
В треугольнике АВС из точки E стороны [ВС] проведена прямая, параллельная высоте [ВD], которая пересекает сторону [АС] в точке F. Отрезок [ЕF] делит треугольник АВС на две равные по площади фигуры. Найдите длину |ЕF|, если |BD| = 6 см, |AD| : |DС| = 2 : 7.
В прямоугольный треугольник вписан полукруг так, что его диаметр лежит на гипотенузе и центр его делит гипотенузу на отрезки длиной в 15 см и 20 см. Найдите длину дуги полуокружности, заключенной между точками касания ее с катетами.
Дан треугольник, длины сторон которого 10 см, 12 см, 18 см. Проведена окружность, касающаяся двух меньших сторон, а центр находится на большей стороне. Найдите ее радиус.
Из одной точки проведены к окружности две касательные длиной в 12 см, а расстояние между точками касания 14,4 см. Определите радиус окружности.
Из точки А к окружности с центром в точке N проведены две касательные, которые касаются окружности в точках В и М. Хорда [ВМ] пересекает отрезок [NА] в точке К. Длина отрезка |NК| в 1¾ раза меньше длины отрезка |КА|; | АВ | = 4 см. Найдите площадь треугольника ВАК.
Около круга описана равнобедренная трапеция, у которой средняя линия имеет длину 5 см. Определите периметр и длину боковой стороны трапеции.
В трапеции МРQF длины оснований |МF| и |РQ| равны 24 см и 4 см соответственно. Высота трапеции имеет длину 5 см. Точка N делит боковую сторону на отрезки [МN] и [NР]. Длина отрезка |МN| в 3 раза больше длины отрезка |NР|. Найдите площадь треугольника NQF.
В ромб, который своей диагональю делится на два равносторонних треугольника, вписана окружность с радиусом длины 2 см. Найдите сторону ромба.
В прямоугольном треугольнике AВС на высоте [СК] как на диаметре построена окружность, которая пересекает катеты [СА] и [СВ] соответственно в точках М и N; |CM| = 12 см, |СN| = 18 см. Найдите |СА| и |СВ|.
Около круга радиуса R описан равнобедренный треугольник с углом 120°. Определите его стороны.
В равнобедренной трапеции АВСD большее основание [АD] имеет длину 12 см, |АВ| = 6 см. Найдите расстояние от точки О пересечения диагоналей до точки К пересечения продолжений боковых сторон, если боковые стороны пересекаются под прямым углом.
Найдите диагональ и боковые стороны равнобедренной трапеции с основаниями длиной в 20 см и 12 см, если известно, что центр описанной окружности лежит на большем основании трапеции.
Окружность радиуса r касается изнутри двух окружностей радиусов R₁ и R₂, причем центры всех трех окружностей лежат на одной прямой. Навдйте радиус окружности, касающейся всех трех данных.
На катете [АС] равнобедренного прямоугольного треугольника АВС выбрана точка Р так, что полуокружность, построенная на отрезке [РС] как на диаметре, касается гипотенузы [АВ]. В каком отношении полуокружность делит отрезок [РВ]?
При каком значении длины высоты прямоугольная трапеция с острым углом в 45° и периметром 4 см имеет наибольшую площадь?
Сумма длин двух сторон треугольника равна а, а величина угла, заключенного между ними, равна 30°. Каковы должны быть длины сторон треугольника, чтобы его площадь была наибольшей?
Сумма длин диагоналей параллелограмма равна 8 см. Найдите минимум суммы квадратов длин всех сторон параллелограмма.
В равнобедренный треугольник с длиной основания 20 см и высотой 8 см вписан прямоугольник, одна из сторон которого лежит на основании треугольника. Какова должна быть длина высоты прямоугольника, чтобы он имел наибольшую площадь?
В равнобедренный треугольник с углом в 120° при вершине и длиной основания 8 см вписан прямоугольник наибольшей площади, две вершины которого лежат на основании. Найдите площадь этого прямоугольника.
В треугольник, длина основания которого равна а, а высота - h, вписан прямоугольник наибольшей площади (основание прямоугольника лежит на основании треугольника). Найдите длины сторон этого прямоугольника.
Две стороны параллелограмма лежат на сторонах, данного треугольника, а одна из его вершин принадлежит третьей стороне. При каких условиях площадь параллелограмма будет наибольшей?
Боковая сторона равнобочной трапеции конгруэнтна ее меньшему основанию, длина которого равна а. Какова должна быть длина большего основания трапеции, чтобы ее площадь была наибольшей?
На окружности радиуса R дана точка А. На каком расстоянии от точки А нужно провести хорду [ВС], параллельную касательной к окружности в точке А, чтобы площадь треугольника АВС была наибольшей?
Боковые стороны трапеции перпендикулярны. Какое наибольшее значение может иметь площадь треугольника, образованного диагоналями и средней линией трапеции, если известно, что длины оснований трапеции равны а и b?
Из всех прямоугольников, вписанных в окружность радиуса R, найдите прямоугольник наибольшее площади.
Из всех прямоугольников с площадью 9 дм² найдите тот, у которого периметр наименьший.
В прямоугольный треугольник с гипотенузой в 24 см и углом в 60° вписан прямоугольник, основание которого лежит на гипотенузе. Каковы должны быть длины сторон прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?
Найдите длины сторон прямоугольника наибольшей площади, вписанного в прямоугольную трапецию с длинами оснований 24 см и 8 см и длиной высоты 12 см.
Найдите длины сторон прямоугольника наибольшей площади, вписанного в прямоугольный треугольник со сторонами длиной 18 см, 24 см и 30 см и имеющего с ним общий прямой угол.
В равнобедренный треугольник со сторонами длиной 15 см, 15 см и 18 см вписан параллелограмм наибольшей площади так, что угол при основании у них общий. Найдите длины сторон параллелограмма.
В какой круг можно вписать прямоугольник наибольшей площади с периметром, равным 56 см?
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна с. Каковы должны быть катеты этого треугольника, чтобы площадь его была наибольшей?
В ромб со стороной а и острым углом π/3 вписана окружность. Определить площадь прямоугольника, вершины которого лежат в точках касания окружности со сторонами ромба.
Даны два треугольника, площадь каждого из которых 50 см2. Основания первого из них на 10 см больше основания второго. В каких пределах может изменяться основание первого треугольника, чтобы разность высот треугольника была не меньше 5/6 см ?
Ответ: 0 < x ≤ 40.
Найти площадь трапеции с основаниями 6 и 7 и диагоналями 5 и 12.
В равнобочной трапеции, описанной около окружности, отношение параллельных сторон равно k. Найти угол при основании этой трапеции.
Найти отношение площади трапеции АВСD к площади треугольника AOD, где О — точка пересечения диагоналей трапеции, если DC/AD = p.
Найти площадь трапеции с основаниями 7 и 11 и боковыми сторонами 3 и 5. Решение
C4. Окружность S радиуса 12 вписана в прямоугольную трапецию с основаниями 28 и 21. Найдите радиус окружности, которая касается основания, большей боковой стороны и окружности S. Решение
C4. Боковая сторона неравнобедренной трапеции равна 12 и образует с ее основанием угол 60?. Основания трапеции равны 16 и 40. Найдите длину отрезка, соединяющего середины оснований.
C4. Радиус описанной около равнобедренного треугольника окружности равен 25, а вписанной в него окружности – 12. Найдите стороны треугольника.