Стереометрия.Задачи на вычисления

Стереометрия. Задачи на вычисления

Найдите угол между двумя скрещивающимися прямыми L₁ и L₂, если расстояние между точками А L₁ и В L₂ равноотстоящими от оснований C L₁ и D L₂ общего перпендикуляра к этим прямым, равно 2 l, а |DС| = |АС| = |ВD| = l.
Даны две скрещивающиеся под углом α прямые L₁ и L₂. Расстояние между точками А L₁ и В L₂, равноотстоящими от оснований C L₁ и D L₂ общего перпендикуляра к этим прямым, равно m. Найдите расстояние между прямыми, если |АС| = |ВD| = l.
Длина высоты прямоугольного треугольника АВС, опущенной на гипотенузу [АВ], равна 9,6. Из вершины С прямого угла восставлен к плоскости треугольника АВС перпендикуляр [СМ], |СМ| = 28. Найдите расстояние от точки М до гипотенузы [АВ].
Точки А, В, С, принадлежащие окружности, делят длину окружности в отношении 1 : 2 : 2 (длина дуги АС = длине дуги ВС). Найдите расстояние от центра окружности О до плоскости γ, если известно, что плоскость γ отстоит от точек А и В на расстояние d, а от точки С - на расстояние b.
Даны ромб АВСD и плоскость β. Найдите расстояние от вершины D до плоскости β, проходящей через вершину А, если расстояния от точек В и С до плоскости β равны, соответственно, b и с.
Через каждую вершину единичного куба проведены плоскости, перпендикулярные одной и той же диагонали куба. На какие части делится диагональ этими плоскостями?
Центр верхнего основания куба соединен с серединами сторон нижнего основания. Определите боковую поверхность полученной пирамиды, если длина ребра куба равна а.
Диагонали боковых граней прямоугольного параллелепипеда составляют с плоскостью основания углы α и β. Найдите угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания.
Плоскость пересекает прямоугольный параллелепипед с квадратным основанием по ромбу с острым углом α. Под каким углом пересекает эта плоскость боковые ребра параллелепипеда?
В прямоугольном параллелепипеде АВСDA₁B₁C₁D₁ диагонали основания [АС] и [ВD] пересекаются в точке M, Ð АМВ = α. Определите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если | В₁М | = b, Ð ВМВ₁ = β. Решение.

S_бок = Р·H, MB = b·cos β,
AB² = 2 b²·cos ² β·( 1 - cos α ) = 4 b²·cos ² β·sin 0,5α,
AB = 2b cos β sin 0,5 α, BC = 2b cos β cos 0,5 α
S = 2 (AB + BC)·H;
Основания параллелепипеда - квадраты со стороной b, а все боковые грани - ромбы. Одна из вершин верхнего основания одинаково удалена от всех вершин нижнего основания. Найдите объем параллелепипеда. Решение.

Ответ:
В параллелепипеде АВСDA₁B₁C₁D₁ грань АВСD - квадрат со стороной 5 см; длина ребра [АА₁] также равна 5 см, и это ребро образует с ребрами [АВ] и [АD] углы, равные 60°. Найдите длину диагонали [ВD₁]. Решение
Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна l и образует с плоскостью основания угол α. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если площадь его основания равна S.
Найдите площадь боковой поверхности и объем прямого параллелепипеда, зная, что его высота равна h, диагонали его составляют с основанием углы α и β, а его основанием служит ромб.
Основанием прямого параллелепипеда служит ромб. Площади диагональных сечений равны S₁ и S₂. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.
Основанием прямой призмы служит ромб с острым углом α. Определите объем призмы, если ее большая диагональ имеет длину l и образует с плоскостью основания угол β.
Через сторону нижнего основания правильной треугольной призмы и противоположную вершину верхнего основания проведена плоскость, наклоненная к плоскости основания под углом α. Площадь сечения призмы этой плоскостью равна S. Найдите объем отсеченной пирамиды.
В основании прямой призмы лежит равносторонний треугольник. Плоскость, проходящая через одну из сторон нижнего основания и противоположную вершину верхнего, наклонена к плоскости нижнего основания под углом φ. Площадь этого сечения равна Q. Найдите объем призмы. Решение
Основанием прямой призмы служит равнобедренная трапеция с острым углом α. Боковая сторона трапеции и ее меньшее основание имеют равные длины. Найдите объем призмы, если диагональ призмы равна а и образует с плоскостью основания угол β.
В основании прямой призмы лежит равнобочная трапеция, у которой диагональ равна а, а угол между диагональю и большим основанием равен α. Диагональ призмы наклонена к основанию под углом β. Найдите объем призмы.
Определите объем прямой призмы, у которой основанием служит прямоугольный треугольник с острым углом α, если боковое ребро призмы имеет длину l и составляет с диагональю большей боковой грани угол β.
Основанием прямой призмы служит прямоугольный треугольник с гипотенузой длины с и острым углом в 30°. Через гипотенузу нижнего основания и вершину прямого угла верхнего основания проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол 45°. Определите объем треугольной пирамиды, отсеченной от призмы плоскостью.
Прямая призма имеет в основании равносторонний треугольник. Плоскость, проходящая через одну из его сторон под углом α к плоскости основания, отсекает от призмы треугольную пирамиду объема V. Определите площадь сечения.
Каждое ребро наклонной треугольной призмы равно 2, одно из боковых ребер составляет со смежными сторонами основания углы в 60°. Найдите площадь полной поверхности призмы.
Основанием прямой призмы служит прямоугольный треугольник с периметром 2 р и острым углом α. Найдите боковую поверхность призмы, если известно, что в нее можно вписать шар.
Длина диагонали правильной четырехугольной призмы равна l, диагональ образует с плоскостью основания угол, величина которого равна α. Найдите объем призмы.
В правильной четырехугольной призме через середины двух смежных сторон основания проведена плоскость, пересекающая это основание под углом α и три боковых ребра призмы. Определите площадь полученного сечения и его острый угол, если сторона основания призмы равна b.
Определите объем правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ образует с боковой гранью угол α, а сторона основания по длине равна а.
Основание призмы - правильный треугольник, длина стороны которого 4 см. Одна из боковых граней, перпендикулярная плоскости основания, - ромб, длина диагонали которого равна 6 см. Найдите объем призмы.
Основанием прямой призмы служит ромб с острым углом α; угол между меньшей диагональю ромба и меньшей диагональю призмы равен β. Определите объем призмы, если меньшая диагональ ромба равна d.
Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник, основание которого имеет длину а и угол при основании α. Найдите объем призмы, если площадь ее боковой поверхности равна сумме площадей оснований.
Самая большая диагональ правильной шестиугольной призмы, имеющая длину d, составляет с боковым ребром призмы угол α. Определите объем призмы.
Основание призмы - равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом длины а см. Боковое ребро, противоположное гипотенузе, с катетами составляет острые углы α и β. Длина бокового ребра b см. Найдите объем призмы.
Площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды равна S. Зная, что угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен α, найдите сторону основания.
В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а, а плоский угол при вершине α. Определите объем пирамиды.
Найдите угол между апофемой боковой грани правильной треугольной пирамиды и плоскостью ее основания, зная, что разность между этим углом и углом, который составляет боковое ребро пирамиды с плоскостью основания, равна α.
Длина стороны основания правильной треугольной пирамиды равна 10 см, двугранный угол при основании равен 30°. Найдите объем пирамиды,
Боковое ребро правильной треугольной пирамиды имеет длину l и составляет с плоскостью основания угол α. Найдите объем пирамиды.
Найдите объем правильной треугольной пирамиды, у которой плоский угол при вершине равен α, а кратчайшее расстояние между боковым ребром и противоположной стороной основания равно d.
Постройте сечение правильной треугольной пирамиды плоскостью, проходящей через центр основания параллельно одной из боковых граней пирамиды. Найдите площадь сечения, если боковая грань пирамиды наклонена к основанию под углом α, а сторона основания пирамиды равна а.
Основание пирамиды - прямоугольный треугольник с катетом длины а и противолежащим углом α. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом β. Найдите площадь боковой грани, проходящей через меньший Катет основания, если tg α = 3/2, tg β = 2/3, а = 8 см.
Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник АВС, у которого катет |АС| = b, Ð B = β. Боковые грани пирамиды, проходящие через.катеты [АС] и [ВС], перпендикулярны к плоскости основания, а третья боковая грань образует с основанием угол α. Найдите объем пирамиды.
Дана пирамида SАСВ с вершиной S, ее основание - прямоугольный треугольник АСВ. В этом треугольнике [AВ] -гипотенуза, ее длина 2 см. Боковое ребро [SА] перпендикулярно к плоскости основания. Двугранный угол, составленный боковыми гранями SАС и SАВ, равен 30°. Длина высоты пирамиды - 4 см. Найдите площадь боковой поверхности.
Найдите объем пирамиды, основанием которой служит прямоугольный треугольник с гипотенузой длины с и острым углом α, если боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом β.
Основание пирамиды - равнобедренный прямоугольный треугольник, длина гипотенузы которого равна 5 см. Все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом α. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
В основании треугольной пирамиды лежит равнобедренный треугольник, у которого площадь равна S, а угол при вершине равен α. Найдите объем пирамиды, если угол между каждым боковым ребром и высотой пирамиды равен β.
Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, у которого угол между равными сторонами равен α, а противоположная ему сторона имеет длину а. Боковые грани пирамиды наклонены к основанию под углом β. Найдите полную поверхность пирамиды.
Определите объем пирамиды, имеющей основанием треугольник, два угла которого равны α и β, а радиус описанного около основания круга имеет длину R. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом φ.
В правильной треугольной пирамиде длина стороны основания равна а, а двугранный угол между боковыми гранями равен α. Найдите объем пирамиды.
Угол между высотой правильной треугольной пирамиды и апофемой равен α, длина бокового ребра пирамиды равна l. Найдите объем пирамиды.
Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды равен α, радиус окружности, вписанной в боковую грань, равен r. Найдите боковую поверхность пирамиды.
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а, двугранный угол при основании равен 45°. Определите объем пирамиды.
Найдите высоту правильного тетраэдра, объем которого равен V.
Найдите объем правильного тетраэдра, высота которого равна Н.
В правильной треугольной пирамиде, объем которой равен V, боковые грани наклонены к плоскости основания под углом α. Определите полную поверхность пирамиды.
Найдите объем и боковую поверхность правильной треугольной пирамиды, зная, что плоскость, проводящая через сторону основания и середину высоты пирамиды, наклонена к основанию под углом φ, а сторона основания равна а.
Найдите объем правильной треугольной пирамиды, у которой боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом α и удалено от середины противоположной стороны на расстояние d.
Правильная треугольная пирамида рассечена плоскостью, перпендикулярной основанию и делящей две стороны основания пополам. Определите площадь сечения пирамиды этой плоскостью, если известно, что сторона основания равна а, а высота пирамиды равна Н.
В правильной треугольной пирамиде, сторона основания которой равна а, а боковое ребро - 2 а, через середину бокового ребра, перпендикулярно к нему, проведена плоскость. Определите площадь образовавшегося сечения.
Через вершину С основания правильной треугольной пирамиды SАВС проведена плоскость перпендикулярно боковому ребру [SА]. Эта плоскость составляет с плоскостью основания угол, косинус которого равен 2/3. Определите косинус угла между боковыми гранями пирамиды.
Через вершину правильной треугольной пирамиды и середины двух сторон основания проведено сечение. Найдите площадь сечения и объем пирамиды, зная, что длина стороны основания равна а, а угол между сечением и основанием равен α.
Высота правильной треугольной призмы равна H. Через одно из ребер нижнего основания и противоположную ему вершину верхнего основания проведена плоскость. Найдите площадь сечения, если угол образовавшегося треугольника при заданной вершине призмы равен α.
Найдите объем правильной треугольной пирамиды, если плоский угол при вершине равен α, а радиус окружности, описанной около боковой грани, равен R?.
Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно а, а плоский угол при вершине равен 2α. Найдите площадь поверхности шара, описанного вокруг пирамиды.
Боковые ребра и две стороны основания треугольной пирамиды равны между собой и равны l. Угол между равными сторонами треугольника, лежащего в основании, равен α. Найдите объем пирамиды.
Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, у которого боковая сторона равна а, а угол при вершине равен α. Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом β. Найдите объем пирамиды.
Боковая грань правильной треугольной пирамиды образует с плоскостью основания угол α, сумма длин высоты пирамиды и радиуса окружности, вписанной в основание пирамиды, равна а. Найдите объем пирамиды.
Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны и каждое из них равно b. Найдите объем пирамиды.
В тетраэдре АВСD найдите угол между прямыми (АD) и (ВС), если |АВ| = |АС| и Ð DАВ = Ð DАС.
Стороны треугольника, лежащего в основании пирамиды, равны 13, 14 и 15 см. Двугранные углы при основании пирамиды равны по 45°. Найдите боковую поверхность пирамиды.
В треугольной пирамиде боковые ребра равны, а в основании ее лежит прямоугольный треугольник, высота которого, опущенная из вершины прямого угла, равна h. Двугранные углы, образованные гранями пирамиды, пересекающимися по катетам основания, равны α и β. Найдите объем пирамиды.
В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с углом φ при вершине. Все боковые ребра пирамиды равны по длине а. Определите объем пирамиды, если длина радиуса вписанной в основание окружности равна r.
В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с углом при вершине, равным по величине α. Все двугранные углы при основании пирамиды равны β. Определите объем пирамиды, если радиус окружности, описанной около основания, равен R.
Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, равные стороны которого имеют длину b и составляют угол величины α. Боковые ребра пирамиды образуют с высотой пирамиды угол β. Определите объем пирамиды.
В треугольной пирамиде SАВС две равные боковые грани АSВ и ВSС перпендикулярны плоскости основания, а грань АSС наклонена к плоскости основания под углом β. Найдите радиус шара, описанного около пирамиды, если радиус окружности, описанной около основания, равен r и Ð АВС = α.
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна m, а двугранный угол между боковыми гранями пирамиды равен 2α. Через одну из сторон основания проведена плоскость, перпендикулярная боковому ребру. Найдите объем части пирамиды, лежащей ниже плоскости.
Боковая поверхность треугольной пирамиды равна S, каждое из боковых ребер равно l. Найдите плоские углы при вершине пирамиды, зная, что они образуют арифметическую прогрессию с разностью, равной π/4.
Гранями треугольной пирамиды являются равные равнобедренные треугольники. Основание и противолежащий ему угол каждого такого треугольника равны а и α соответственно. Найдите объем пирамиды.
В основании пирамиды лежит правильный треугольник со стороной а. Одна из боковых граней перпендикулярна к основанию, а площади двух других равны P и Q соответственно. В каком отношении высота пирамиды делит сторону основания?
В основании пирамиды лежит равнобедренный прямоугольный треугольник. Боковая грань, опирающаяся на гипотенузу, перпендикулярна плоскости основания. Площади двух других граней равны S и Т соответственно. Найдите длину гипотенузы основания, если известно, что она делится высотой пирамиды в отношении 1 : р.
Найдите радиус вписанного в треугольную пирамиду шара, если все ее углы при вершине прямые, а длины боковых ребер равны а, b и с.
Найдите объем треугольной пирамиды, если площади ее граней равны S₀, S₁, S₂ и S₃, а двугранные углы, прилежащие к грани с площадью S₀, равны между собой.
SАВС - правильный тетраэдр с ребром длины единица, О - центр шара радиуса √ 2, касающегося ребер (АS), (АС) и (АВ) (или их продолжений). Найдите длину отрезка [ОК], где К - середина ребра [SС].
В тетраэдре АВСD ребра [АС], [ВС] и [DС] взаимно перпендикулярны. Точка М лежит в плоскости АВС и одинаково удалена от ребер [АВ], [ВС] и [СD]. Точка N лежит в плоскости ВСD и одинаково удалена от тех же ребер. Найдите |MN|, если |ВС| = |СD| = √ 3, | АС | = 3.
В правильной четырехугольной пирамиде длина высоты равна 3 см, а бокового ребра - 5 см. Найдите объем пирамиды.
Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если длина стороны ее основания равна а, а величина двугранного угла при основании равна α.
Плоский угол боковой грани при вершине правильной четырехугольной пирамиды равен по величине φ. Найдите величину угла между боковым ребром и плоскостью основания.
В правильной четырехугольной пирамнде двугранный угол при боковом ребре равен α. Найдите плоский угол при вершине пирамиды.
Основанием пирамиды служит прямоугольник, две боковые грани ее перпендикулярны основанию, две другие боковые грани образуют с основанием углы α и β соответственно. Определите объем пирамиды, если длина наибольшего из боковых ребер равна l.
Высота правильной четырехугольной пирамиды равна Н, двугранный угол при основании равен φ. Найдите радиус вписанного в пирамиду шара.
Угол между боковым ребром и основанием правильной четырехугольной пирамиды равен 60°, длина бокового ребра равна а. Через середину одного из боковых ребер, перпендикулярно к нему, проведена плоскость. Найдите площадь сечения.
Высота правильной четырехугольной пирамиды равна h и составляет с боковой гранью угол α. Через сторону основания пирамиды проведена плоскость, перпендикулярная противолежащей грани. Найдите объем пирамиды, отсекаемой этой плоскостью от данной пирамиды.
Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна а, двугранный угол при основании равен α. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, делящей пополам двугранный угол при основании.
Длина каждого ребра правильной четырехугольной пирамиды SAВСD равна 1. Точка М лежит в основании АВСD пирамиды и одинаково удалена от ребер [АS] и [DC], а |МS| = |МС|. Точка N лежит на грани ВSС и также одинаково удалена от тех же ребер, причем |NS| = |NС|. Найдите площадь треугольника ВMN.
Основанием пирамиды служит ромб, длины диагоналей которого равны 6 м и 8 м. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей ромба и имеет длину 1 м. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Основанием пирамиды служит ромб со стороной a и острым углом α. Две боковые грани перпендикулярны основанию, а две другие образуют с ним угол величиной β. Определите объем пирамиды и площадь боковой поверхности.
Основанием пирамиды служит равнобочная трапеция, у которой боковая сторона равна а, а острый угол равен α. Все боковые грани образуют с основанием пирамиды угол β. Найдите объем пирамиды.
Основанием пирамиды служит прямоугольник с углом α между диагоналями. Боковые ребра образуют с плоскостью основания угол β. Найдите объем пирамиды, если радиус описанного около нее шара равен R?
Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если угол при основании боковой грани равен α, а радиус окружности, которая вписана в эту грань, равен R.
Высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна Н, боковое ребро и диагональ боковой грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углами α и β. Найдите боковую поверхность пирамиды.
В правильной шестиугольной пирамиде угол между боковым ребром и смежным ребром основания равен α, сумма радиусов окружностей, вписанной в основание и описанной около основания, равна m. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Апофема правильной шестиугольной пирамиды равна m. Двугранный угол при основании равен α. Найдите полную поверхность пирамиды.
Высота правильной усеченной четырехугольной пирамиды равна 3 см, объем ее равен 38 см³, а площади оснований относятся как 9 : 4. Определите боковую поверхность усеченной пирамиды.
Площади оснований усеченной пирамиды равны S₁ и S₂. Найдите площадь S сечения пирамиды плоскостью, которая параллельна основаниям и равноудалена от них.
Площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна S, а плоский угол боковой грани при вершине равен α. Найдите высоту пирамиды.
Разность между длиной апофемы и длиной высоты правильной четырехугольной пирамиды равна m, а угол между ними равен α. Найдите объем пирамиды.
В правильной четырехугольной пирамиде длина высоты равна h. Через диагональ основания пирамиды и середину противолежащего ребра проведено сечение, образующее угол α с диагональной плоскостью, проведенной через ту же диагональ основания. Найдите площадь сечения.
Найдите плоский угол при вершине правильной четырехугольной пирамиды, если этот угол равен углу между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды.
Основание пирамиды - прямоугольник, площадь которого равна 12 см². Две боковые грани пирамиды перпендикулярны к основанию, а две другие составляют с основанием углы в 30° и 60°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
Основанием четырехугольной пирамиды служит ромб со стороной длины а и острым углом β. Каждая боковая грань наклонена к плоскости основания под углом γ. Найдите полную поверхность пирамиды.
Основанием четырехугольной пирамиды служит ромб, меньшая диагональ которого имеет длину d, а острый угол равен α. Каждая боковая грань наклонена к плоскости основания под углом β. Вычислите полную поверхность пирамиды.
Основание пирамиды - параллелограмм с тупым углом α. Две боковые грани перпендикулярны к плоскости основания, а остальные две составляют с плоскостью основания углы β и γ. Найдите площадь меньшей боковой грани, если меньшее боковое ребро имеет длину 8 см, sin β = 1/3, sin γ = 3/5, tg α = -1/3.
Длина стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равна а, боковая грань составляет с плоскостью основания угол α. Найдите радиус описанного шара.
Длина стороны основания правильной треугольной пирамиды равна а, плоский угол при вершине пирамиды равен α. Найдите длину радиуса вписанного в пирамиду шара.
Найдите радиус шара, вписанного в правильную треугольную пирамиду, у которой высота по длине равна Н, а угол между боковым ребром и плоскостью основания равен α.
В конус вписана правильная треугольная пирамида, боковое ребро которой наклонено к основанию под углом α. Определите объем конуса, если сторона основания пирамиды имеет длину а.
В конус, образующая которого по длине равна l и наклонена к основанию под углом α, вписана пирамида, в основании которой прямоугольник с острым углом 2α между диагоналями. Найдите расстояние от основания высоты до боковой грани, проходящей через меньшую сторону основания.
В усеченный конус вписан шар радиуса длины а. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом α. Найдите объем усеченного конуса.
Объем конуса равен V. В конус вписана пирамида, в основании которой лежит равнобедренный треугольник с углом α между боковыми сторонами. Найдите объем пирамиды.
В конус вписан цилиндр, высота которого равна радиусу основания конуса. Найти величину угла между осью конуса и его образующей, зная, что площадь полкой поверхности цилиндра относится к площади основания конуса как 3 : 2.
Найдите объем и полную поверхность конуса, если в его основании хорда длины а стягивает дугу α, а угол между высотой и образующей конуса равен β.
Определите площадь полной поверхности цилиндра, осевое сечение которого есть квадрат и боковая поверхность равна S.
Через вершину конуса проведена плоскость под углом α к основанию конуса. Эта плоскость пересекает основание конуса по хорде длины а, стягивающей дугу β. Найдите объем и боковую поверхность конуса.
Через две образующие конуса проведена плоскость, отсекающая в основании дугу в 120°. Определите площадь сечения, если радиус основания конуса по длине равен R и плоскость сечения составляет с плоскостью основания угол α.
Треугольник AВС вращается вокруг стороны [ВС], Ð А = 120°. Найдите площадь той поверхности, которая получается вращением ломаной, составленной из сторон [СА] и [АВ] если |АВ| = 2√ 3, |ВС|=5.
В шар вписан конус. Площадь осевого сечения конуса равна S. Угол между его высотой и образующей равен α. Найдите объем шара.
Конус и цилиндр имеют общее основание, а вершина конуса находится в центре другого основания цилиндра. Найдите величину угла между осью конуса и его образующей, если известно, что площадь полной поверхности цилиндра относится к площади полной поверхности конуса как 7 : 4.
Образующая конуса наклонена к плоскости основания конуса под углом φ. Площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через центр вписанного в конус шара параллельно основанию, равна Q. Найдите объем конуса.
В прямой конус, осевым сечением которого является прямоугольный треугольник, вписан цилиндр (нижнее основание цилиндра лежит в плоскости основания конуса). Отношение площади боковой поверхности конуса к площади боковой поверхности цилиндра равно 4√ 2. Найдите величину угла между плоскостью основания конуса и прямой, проходящей через центр верхнего основания цилиндра и произвольную точку окружности основания конуса.
Определите боковую поверхность конуса, зная длину радиуса R описанного вокруг него шара и угол α, под которым из центра шара видна образующая конуса.
В конус вписан цилиндр, высота которого равна диаметру основания конуса. Площадь полной поверхности цилиндра равна площади основания конуса. Найдите величину угла между образующей конуса и плоскостью основания.
Около шара радиуса R описан прямой круговой конус, в котором угол между образующей и плоскостью основания равен α. Определите полную поверхность и объем конуса.
В шар радиуса R вписан конус, в этот конус вписан цилиндр с квадратным осевым сечением. Найдите полную поверхность цилиндра, если угол между образующей конуса и плоскостью основания равен α.
В конус вписан шар. Радиус круга касания поверхности шара и боковой поверхности конуса по длине равен r. Прямая, соединяющая центр шара с произвольной точкой окружности основания конуса, составляет с высотой конуса угол, равный α. Найдите объем конуса.
Радиус основания цилиндра равен 26 см, длина образующей 48 см. На каком расстоянии от оси цилиндра следует провести сечение, параллельное оси цилиндра, чтобы оно имело форму квадрата?
В цилиндре параллельно его оси на расстоянии а от нее проведена плоскость, которая отсекает от окружности основания дугу в α радиан. Площадь сечения равна S. Определите объем цилиндра.
Плоскость, проведенная параллельно оси цилиндра, делит окружность основания в отношении m : n. Площадь сечения равна S. Найдите боковую поверхность цилиндра.
Высота конуса, равная h, является диаметром сферы, которая делит боковую поверхность конуса в отношении m : n (считая от вершины). Найдите радиус основания конуса.
Два равных конуса с общей вершиной А расположены по разные стороны от плоскости Р так, что только одна образующая каждого конуса ([АВ] для одного конуса и [АС] для другого) принадлежит плоскости Р. Известно, что Ð ВАС = β, а угол между высотой и образующей каждого конуса равен φ. Найдите угол между линией пересечения плоскостей оснований конусов и плоскостью Р.
Точка О - общая вершина двух конгруэнтных конусов, расположенных по одну сторону от плоскости α так, что только одна образующая каждого конуса ([ОА] для одного конуса и [ОВ] для другого) принадлежат плоскости α. Известно, что величина угла между высотами конусов равна β, а величина угла между высотой и образующей каждого конуса равна φ, причем 2φ < β. Найдите величину угла между образующей (ОА) и плоскостью основания другого конуса, которой принадлежит точка В.
Диагонали осевого сечения усеченного конуса точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от большего основания. Угол между диагоналями, обращенный к основаниям конуса, равен α. Длина диагонали равна l. Найдите объем усеченного конуса.
Шар радиуса см равновелик прямому конусу, боковая поверхность которого в три раза больше площади основания. Найдите высоту конуса.
В шаре радиуса R из точки его поверхности проведены три равные хорды под углом α друг к другу. Определите их длину.
Четыре сферы радиуса r расположены так, что каждая из них касается трех других. Найдите радиус сферы, которая касается каждой из данных сфер.
На плоскости помещено четыре шара: два шара радиуса а и два одинаковых шара неизвестного радиуса х так, что каждый шар касается трех других и плоскости. Найдите радиус х.
Сфера, центр которой находится в вершине конуса, касается его основания. Найдите угол при вершине в осевом сечении конуса, если сфера делит конус на части равных объемов.
Сфера с центром в вершине конуса делит конус на две равновеликие части. Найдите радиус этой сферы, если радиус основания конуса равен а, а величина угла при вершине его осевого сечения равна α.
В конус, у которого угол осевого сечения при вершине равен α, вписан шар радиуса R. Найдите объем части конуса, расположенной над шаром.
Расстояние от центра вписанного в конус шара до вершины конуса равно а. Угол между образующей и плоскостью основания конуса равен α. Найдите объем конуса.
В конус вписан шар, площадь большого круга которого равна Q. Найдите полную поверхность конуса, если угол при вершине его осевого сечения равен 2α.
Сфера вписана в прямой круговой конус с углом α при вершине осевого сечения. В эту сферу вписан конус с таким же углом при вершине осевого сечения. Найдите величину угла α, если отношение объема первого конуса к объему второго конуса равно 27.
Центр сферы совпадает с центром основания конуса, а ее радиус равен радиусу этого основания. Высота конуса больше радиуса основания конуса. Через окружность, по которой сфера пересекается с боковой поверхностью конуса, проведена плоскость. Каким должен быть угол при вершине осевого сечения конуса, чтобы эта плоскость делила конус на две одинаковые по объему части?
Шар касается всех граней куба. Найдите отношение площадей поверхности и отношение объемов этих фигур.
Площадь поверхности шара, вписанного в конус, равна Q. Определите площадь полной поверхности конуса, если наибольший угол между его образующими равен α.
Найдите отношение площади полной поверхности прямого кругового конуса, вписанного в шар, к площади поверхности этого шара, если известно, что угол при вершине осевого сечения конуса равен α и α > π/2.
В прямой круговой конус с углом в 60° при вершине осевого сечения вложено три одинаковых шара радиуса r так, что каждый из них касается двух других, основания и боковой поверхности конуса. Найдите радиус основания конуса.
В конус вписан шар радиуса r. Найдите объем конуса, если известно, что плоскость, касающаяся шара и перпендикулярная к одной из образующих конуса, отстоит от вершины конуса на расстоянии d.
Найдите отношение объема шара к объему прямого кругового цилиндра, вписанного в этот шар, если известно, что меньший угол между диагоналями осевого сечения цилиндра равен α и диаметр основания больше высоты цилиндра.
В цилиндр помещен конус так, что основание конуса совпадает с нижним основанием цилиндра, а вершина конуса совпадает с центром верхнего основания цилиндра. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом α. Найдите объем цилиндра, если площадь полной поверхности конуса S.
В конус, радиус основания которого равен r, а угол, составленный высотой и образующей, равен α, вписан цилиндр так, что его боковая поверхность относится к боковой поверхности конуса как m : n. Найдите объем цилиндра.
В конус вписан полушар так, что большой круг полушара лежит в плоскости основания конуса, а шаровая поверхность касается поверхности конуса. Найдите площадь полной поверхности полушара и его объем, если образующая конуса равна l и составляет с плоскостью основания угол β.
В конус, у которого площадь боковой поверхности равна S, а угол наклона образующей к плоскости основания равен φ, вписана треугольная пирамида, имеющая основанием прямоугольный треугольник с острым углом α. Определите объем пирамиды.
Угол между плоскостью основания и боковой гранью правильной четырехугольной пирамиды равен φ. Площадь поверхности сферы, вписанной в пирамиду, равна S. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
В треугольную пирамиду, все ребра которой имеют длину а, вписан шар. В один из трехгранных углов пирамиды вновь вписан шар так, что он касается первого. Найдите объем второго шара.
Высота правильной четырехугольной пирамиды и радиус описанной сферы равны соответственно h и r (r £ h). Найдите площадь основания пирамиды.
В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар. Расстояние от центра шара до вершины пирамиды равно а, а угол наклона боковой грани пирамиды к плоскости основания равен α. Найдите площадь боковой поверхности и объем пирамиды.
Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна а, двугранный угол при основании равен α. В пирамиду вписан шар, к шару проведена касательная плоскость, параллельная основанию пирамиды. Определите площадь боковой поверхности полученной усеченной пирамиды.
В конус, образующая которого наклонена к плоскости основания под углом α, вписана пирамида. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с катетами а и b. Найдите объем пирамиды.
В правильную шестиугольную пирамиду вписан прямой конус и около нее описан прямой конус. Длина высоты пирамиды равна Н, а радиус основания описанного конуса равен R. Найдите разность объемов описанного и вписанного конуса.
Радиус основания конуса равен r, а образующая наклонена к плоскости основания под углом φ. Около этого конуса описана пирамида, имеющая в основании прямоугольный треугольник с острым углом 2φ. Определите объем пирамиды.
Определите площадь боковой поверхности конуса, вписанного в правильную треугольную пирамиду, если длина бокового ребра пирамиды равна l и боковая грань пирамиды образует с плоскостью основания угол α.
В правильную четырехугольную пирамиду вписан цилиндр с радиусом основания r. Высота цилиндра в два раза меньше высоты пирамиды. Плоский угол при вершине пирамиды равен α. Найдите объем пирамиды.
В цилиндр вписан параллелепипед, диагональ которого образует с плоскостью основания угол α, а с большей боковой гранью - угол β. Найдите объем цилиндра, если сторона основания большей боковой грани параллелепипеда равна а.
Основанием прямой призмы служит ромб с острым углом α и меньшей диагональю d. Плоскость, проходящая через эту диагональ и вершину второго основания призмы, наклонена к плоскости основания под углом β. Найдите объем цилиндра, вписанного в призму.
В основании правильной призмы лежит треугольник, вершины которого являются серединами ребер основания правильной пирамиды. Какая часть объема призмы находится вне пирамиды, если известно, что высота пирамиды в 3 раза меньше высоты призмы?
SАВС - правильный единичный тетраэдр. Сфера касается ребер [АS], [АС], [АВ] и проходит через середину ребра [ВС]. Найдите радиус сферы, если известно, что ее центр лежит внутри тетраэдра.
Сфера касается бокового ребра [АА'] и непараллельных ребер оснований [АВ] и [A'D'] единичного куба АВСDА'В'С'D' и проходит через точку М ребра [СС'], причем | СМ | = 1/3. Найдите радиус сферы.
Внутри цилиндра высотой За помещено три одинаковых шара радиуса а так, что каждый шар касается двух других и боковой поверхности цилиндра, причем два шара касаются нижнего основания, а третий - верхнего. Найдите радиус основания цилиндра.
Образующая конуса равна l и составляет с плоскостью основания угол φ. При каком значении φ объем конуса будет наибольшим? Чему равен этот объем?
В полушар радиуса R вписан конус так, что вершина его находится в центре полушара. Найдите радиус основания конуса, при котором объем его будет максимальным.
Основание пирамиды - прямоугольный треугольник с площадью Q и острым углом α. Боковая грань, проходящая через катет, который противолежит данному углу, перпендикулярна к плоскости основания, две другие грани образуют с основанием утлы, равные β. Найдите объем пирамиды. При каком значении α объем будет наибольшим?
Найдите отношение высоты к радиусу основания цилиндра, который при заданном объеме имеет наименьшую полную поверхность.
В полушар радиуса R вписан цилиндр так, что плоскость основания цилиндра совпадает с плоскостью, ограничивающей полушар. Найдите высоту цилиндра наибольшего объема.
Бак цилиндрической формы, должен вмещать V литров воды. Какими должны быть его размеры, чтобы поверхность без крышки была наименьшей?
Конус объема V описан около шара. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен α. Найдите объем шара. При каком значении α объем будет наибольшим?
Около цилиндра (радиус основания которого равен r, а высота - h) опишите конус наименьшего объема, если плоскость основания цилиндра и основания конуса совпадают. Определите объем этого конуса.
Через ребро [АВ] правильной пирамиды SАВС с вершиной S проведено плоское сечение, имеющее наименьший периметр. Найдите площадь этого сечения, если известно, что высота пирамиды равна h, |АВ| = а.
Основание пирамиды SАВС - треугольник АВС, у которого Ð АВС = 90°, Ð ВАС = φ, |АС| = b. Боковые ребра пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания, а угол между гранью SВС и плоскостью основания равен α. Определите объем пирамиды. При каком значении φ объем пирамиды наибольший?
В прямой круговой конус с радиусом основания R вписан шар радиуса r. Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая этот шар. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью, если известно, что эта площадь имеет наибольшее из всех возможных значений.
В правильную четырехугольную пирамиду, длина высоты которой равна Н, а угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен β, вписан конус. Через апофему боковой грани пирамиды проведена плоскость, пересекающая коническую поверхность. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью, если известно, что эта площадь имеет наибольшее из всех возможных значение.
Найдите отношение площади поверхности, полученной при вращении ромба вокруг большей диагонали, к площади поверхности, полученной при вращении этого - ромба вокруг меньшей диагонали, если известно, что меньший угол между сторонами ромба равен α.
Найдите отношение объема тела, полученного при вращении прямоугольника вокруг большей стороны, к объему тела, полученного при вращении этого прямоугольника вокруг меньшей стороны, если известно, что в этом прямоугольнике меньший угол между диагоналями равен α.
Прямоугольный треугольник с катетом длины а и прилежащим к этому катету острым углом α вращается вокруг прямой, проходящей через вершину данного угла и перпендикулярной к биссектрисе этого угла. Найдите объем тела вращения.
Длина меньшей стороны параллелограмма равна а, острый угол параллелограмма равен α, угол между меньшей диагональю и большей стороной равен β. Найдите объем тела, полученного вращением параллелограмма вокруг его большей стороны.
Дан треугольник АВС, причем |ВС| = а, Ð АВС = α, Ð АСВ = 90° + α. Определите объем тела, полученного вращением этого треугольника вокруг его высоты, опущенной из вершины А.
Площадь прямоугольной трапеции АВСD равна S, длина высоты [АВ] равна h, величина острого утла Ð АDС равна α. Найдите объем тела, полученного вращением четырехугольника АВЕD вокруг прямой (АВ), если точка Е - середина отрезка [СD].
Основанием пирамиды служит ромб с острым утлом α. Все боковые грани составляют с плоскостью основания один и тот же угол β. Найдите радиус шара, вписанного в пирамиду, если объем пирамиды равен V. При каких значениях β радиус шара наибольший?
Конус описан около полушара радиуса R так, что центр основания конуса лежит в центре шара. Угол при вершине в осевом сечении конуса равен α. Найдите объем конуса. При каком значении α объем будет наименьшим?
В правильный октаэдр вписан куб так, что его вершины находятся на рёбрах октаэдра. Ребро октаэдра а. Найти ребро куба.
В конус, осевое сечение которого — равносторонний треугольник со стороной а, вписываются три шара так, что первый шар касается поверхности конуса и плоскости его основания, второй — поверхности конуса и поверхности первого шара, третий — поверхности конуса и поверхности второго шара. Определить радиус последнего шара.
В конус, осевое сечение которого есть равносторонний треугольник со стороной а, вписан шар. В зазор между поверхностью конуса, плоскостью его основания и вписанным шаром вписан другой шар. Найти расстояние от центра второго шара до оси конуса.
В пирамиду, основанием которой служит ромб с острым углом α, вписан шар радиуса R. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом β. Найти объём пирамиды.