Стереометрия. Задачи на доказательство

  1. Сколько имеется плоскостей, равноудаленных от четырех данных точек, не лежащих в одной плоскости?
  2. Докажите, что если три прямые в пространстве обладают тем свойством, что любые две из них пересекаются, то либо они проходят через общую точку, либо все лежат в одной плоскости.
  3. В пространстве даны точки А, В, С и D причем [АВ] ^ [СD], [АС] ^ [ВD]. Докажите, что [АD] ^ [ВС].
  4. В пространстве рассматриваются два отрезка [АВ] и [СD], не лежащие в одной плоскости. Пусть [МN] - отрезок, соединяющий их середины. Докажите, что |AС| + |ВD| > 2|MN|.
  5. Наклонная образует равные углы с тремя попарно непараллельными прямыми, лежащими в одной плоскости. Докажите, что наклонная перпендикулярна плоскости.
  6. На двух параллельных плоскостях расположены отрезки [АВ] и [СD]. Концы этих отрезков являются вершинами некоторой треугольной пирамиды. Докажите, что объем этой пирамиды не будет меняться, если отрезки перемещать в этих плоскостях параллельно самим себе.
  7. Докажите, что прямая, пересекающая две грани двугранного угла, образует с ними равные углы тогда и только тогда, когда точки пересечения одинаково удалены от ребра.
  8. Докажите, что всякий выпуклый четырехгранный угол можно пересечь плоскостью так, что в сечении получится параллелограмм.
  9. Всегда ли можно трехгранный угол пересечь плоскостью так, чтобы в сечении получился правильный треугольник?
  10. Докажите, что если у выпуклого трехгранного угла все двугранные углы острые, то и все плоские углы также острые.
  11. Сколько плоскостей симметрии может иметь треугольная пирамида?
  12. Докажите, что две треугольные пирамиды равны или симметричны, если их соответствующие ребра равны.
  13. Докажите, что следующие четыре условия равносильны:
    • 1) боковые ребра пирамиды равны;
    • 2) боковые ребра одинаково наклонены к плоскости основания пирамиды;
    • 3) боковые ребра образуют одинаковые углы с высотой пирамиды;
    • 4) около основания пирамиды можно описать окружность, а высота пирамиды проходит через центр этой окружности.
  14. Докажите, что следующие три условия равносильны:
    • 1) высоты боковых граней пирамиды равны;
    • 2) высота пирамиды образует одинаковые углы с боковыми гранями;
    • 3) боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом (заметим, что при этом двугранные углы при основании пирамиды могут оказаться различными!).
  15. Докажите, что двугранные углы при основании пирамиды равны тогда и только тогда, когда в основание пирамиды можно вписать окружность и высота пирамиды проходит через центр этой окружности.
  16. Докажите, что если все двугранные углы некоторой треугольной пирамиды равны, то и все ребра этой пирамиды равны.
  17. Докажите, что если в треугольной пирамиде сумма длин противоположных ребер одна и та же для любой пары таких ребер, то вершины этой пирамиды являются центрами четырех шаров, попарно касающихся друг друга.
  18. Докажите, что в треугольной пирамиде высота проходит через точку пересечения высот треугольника, лежащего в основании, в том и только в том случае, если противоположные ребра пирамиды перпендикулярны.
  19. Все ребра одной пирамиды соответственно меньше ребер другой. Можно ли утверждать, что объем первой из них также меньше объема второй?
  20. Дана правильная треугольная пирамида. Из произвольной точки Р ее основания восставлен перпендикуляр к плоскости основания. Докажите, что сумма длин отрезков от точки Р до точек пересечения перпендикуляра с плоскостями граней не зависит от выбора точки Р на основании.
  21. Какие правильные многоугольники могут получиться при пересечении куба плоскостью?
  22. Докажите, что если все диагонали параллелепипеда равны по длине, то он прямоугольный.
  23. Докажите, что если все грани параллелепипеда – равные между собой параллелограммы, то они являются ромбами.
  24. Существует ли многогранник, все грани которого являются параллелограммами и попарно параллельны, но который, однако, не является призмой?
  25. Докажите, что объем правильной усеченной пирамиды равен , где H - ее высота, а S1 и S2 - площади оснований.
  26. Докажите, что все касательные к шару, проведенные из одной точки, имеют одинаковую длину.
  27. Докажите, что треугольную призму можно вписать в шар в том и только в том случае, если эта призма прямая.
  28. Докажите, что во всякую треугольную пирамиду можно вписать шар и вокруг этой пирамиды можно описать шар. При этом 1) все биссекторные плоскости двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке и эта точка и является центром вписанного шара; 2) все плоскости, проведенные через середины ребер данной пирамиды перпендикулярно этим ребрам, пересекаются в одной точке, и эта точка и является центром описанного шара.
  29. Докажите, что если противоположные ребра тетраэдра попарно равны, то вписанный в тетраэдр и описанный вокруг него шары концентричны.
  30. Пусть АВСD - треугольная пирамида; S1, S2, S3 и S4 – площади четырех ее граней, r - радиус вписанного в пирамиду шара. Докажите, что объем V этой пирамиды, можно вычислить по формуле .
  31. Шар называется вневписанным в треугольную пирамиду, если он касается одной из граней пирамиды и плоскостей всех других ее граней. Докажите, что у всякой треугольной пирамиды имеется четыре вневписанных шара.
  32. Пусть r - радиус вписанного, R1, R2, R3 и R4 - радиусы вневписанных в треугольную пирамиду шаров. Докажите, что .
  33. Докажите, что для того чтобы вокруг пирамиды можно было описать сферу, необходимо и достаточно, чтобы вокруг основания этой пирамиды можно было описать окружность.
  34. В трехгранный угол с вершиной S вписана сфера с центром в точке О. Докажите, что плоскость, проходящая через три точки касания, перпендикулярна прямой (0S),
  35. Докажите, что в прямоугольном параллелепипеде АВСDА'В'С'D' квадрат площади сечения А'ВD в 8 раз меньше суммы квадратов площадей граней.
  36. Докажите, что если все ребра тетраэдра касаются одного шара, то суммы длин всех пар противоположных ребер одинаковы.
  37. Какую наибольшую боковую поверхность может иметь прямоугольный параллелепипед, длина диагонали которого равна а? Докажите, что наибольшую боковую поверхность будет иметь куб.
  38. В пирамиде все двугранные углы при основании равны по величине α. Докажите, что площадь боковой поверхности и площадь основания этой пирамиды связаны соотношением Sосн = Sбок соs α.
  39. В пространстве даны две пересекающиеся плоскости α и β. Па линии их пересечения взята точка А. Докажите, что из всех прямых, лежащих в плоскости α и проходящих через точку А, наибольший угол с плоскостью β образует та, которая перпендикулярна к линии пересечения плоскостей α и β. Чему равен этот угол?
  40. В треугольной пирамиде SАВС известны плоские углы при вершине S: Ð BSС = 90°, Ð АSС = Ð АSВ = 60°. Вершины А, S и середины ребер [SВ], [SС], [АВ] и [АС] лежат на поверхности шара. Докажите, что ребро [SА] является диаметром этого шара.
  41. Сфера касается трех сторон основания треугольной пирамиды в их серединах и пересекает боковые ребра в их серединах. Докажите, что пирамида правильная.
  42. Сфера касается всех боковых граней треугольной пирамиды в центрах описанных около них окружностей. Плоские углы при вершине этой пирамиды равны. Докажите, что пирамида правильная.
  43. Докажите, что если в призму (не обязательно прямую) вписан шар, то 1) высота призмы равна диаметру шара; 2) точки касания шара с боковыми гранями лежат на сечении призмы плоскостью, проходящей через центр шара перпендикулярно боковым ребрам.
  44. Докажите, что если в призму можно вписать прямой круговой цилиндр, то эта призма прямая, длина ее бокового ребра равна длине образующей цилиндра и в основание призмы можно вписать круг.
  45. Если призма вписана в прямой круговой цилиндр, то она прямая, ее высота равна образующей цилиндра и основание призмы является вписанным многоугольником. Докажите.
  46. Шар вписан в усеченный конус. Докажите, что площадь поверхности шара меньше площади боковой поверхности конуса.
  47. Вокруг сферы описана четырехугольная усеченная пирамида. Докажите, что объемы пирамиды и шара относятся как их полные поверхности.