Данная система относится к классу симметричных систем, то есть систем, вид которых не меняется при замене x на y и y на x. В таком случае необходимо преобразовать уравнения системы к специальному виду с последущей заменой x + y = u, x·y = v.
Проведём указанные преобразования системы.
или
(1)
Так как x2 + y2 = x2 + 2xy + y2 − 2xy = ( x + y )2 − 2xy, то относительно новых переменных
(2)
система (1) принимает вид
(3)
Преобразуем первое уравнение системы (3) так, чтобы можно было бы учесть второе уравнение этой же системы:
(4)
С учётом второго уранения системы (4), последняя принимает вид
(5)
Система (5) преобразуется к виду
(6)
Система (6) имеет решения u1 = 4, v1 = 3 и u2 = − 4, v2 = 3.
Для первого решения система (2) примет вид
(7)
По обратной теореме Виета, если известна сумма каких-то величин и известно произведение этих величин, то эти величины являются решением квадратного уравнения, в данном случае для первого решения это квадратное уравнение имеет вид
z2 − 4 z + 3 = 0. (8)
Квадратное уравнение (8) имеет решения z1 = 3, z2 = 1. Решением исходного уравнения для первого случая являются ( 3; 1 ) и ( 1; 3 ).
ля второго решения система (2) примет вид
(8)
По обратной теореме Виета решения этой системя являются решениями квадратного уравнения
z2 + 4 z + 3 = 0. (9)
Квадратное уравнение (9) имеет решения z1 = − 3, z2 = − 1. Решением исходного уравнения для первого случая являются ( − 3; − 1 ) и ( − 1; − 3 ).
О т в е т. ( 3; 1 ), ( 1; 3 ), ( − 3; − 1 ) и ( − 1; − 3 ).