Текстовые задачи на движение

  1. Скорый поезд был задержан у семафора на 16 мин и ликвидировал опоздание на перегоне в 80 км, идя со скоростью на 10 км/ч больше, чем по расписанию. Определите скорость поезда по расписанию. Решение.
    Задача приводит к уравнению Уравнение имеет два решения x1 = − 60 и x2 = 50. Приемлемым решением является x 50 км/ч. Смысл уравнения легко рассмотреть из рисунка.
    .
  2. Лыжнику необходимо было пробежать расстояние в 30 км. Начав бег на 3 мин позже назначенного срока, лыжник бежал со скоростью, большей предполагавшейся на 1 км/ч, и прибежал к месту назначения вовремя. Определите скорость, с которой бежал лыжник.   Решение
  3. Велосипедист проехал 96 км на два часа быстрее, чем предполагал. При этом за каждый час он проезжал на 1 км больше, чем ранее предполагал проезжать за 1 ч 15 мин. С какой скоростью он ехал?
  4. Турист рассчитывал пройти а км за определенное время. Пройдя b км, турист отдохнул 15 мин и, чтобы прийти вовремя, увеличил скорость на с км/ч. Определите первоначальную скорость движения туриста.
  5. Из пунктов А и В, расположенных на расстоянии 50 км, навстречу друг другу одновременно вышли два пешехода. Через 5 часов они встретились. После встречи скорость первого пешехода, идущего из А в В, уменьшилась на 1 км/ч, а скорость второго пешехода, идущего из В в А, возросла на 1 км/ч. Известно, что первый пешеход прибыл в пункт В на 2 ч раньше, чем второй пешеход прибыл в пункт А. Определите первоначальную скорость первого пешехода.
  6. Найдите скорость и длину поезда, зная, что он проходил с постоянной скоростью мимо неподвижного наблюдателя в течение 7 с и затратил 25 с на то, чтобы проехать с той же скоростью вдоль платформы длиной 378 м.
  7. Автомобиль проходит расстояние от пункта А до пункта В с постоянной скоростью. Если бы он увеличил скорость на 6 км/ч, то затратил бы на прохождение пути на 4 ч меньше. А со скоростью, меньшей начальной на 6 км/ч, он потратил бы на 6 ч больше. Найдите расстояние между пунктами А и В.
  8. Из пункта А в 12 ч вышел поезд. В 14 ч в том же направлении вышел другой поезд. Он нагнал первый поезд в 20 ч. Найдите средние скорости обоих поездов, если сумма средних скоростей равна 70 км/ч.
  9. Пешеход и велосипедист отправляются одновременно навстречу друг другу из городов А и В, расстояние между которыми 40 км, и встречаются спустя два часа после отправления. Затем они продолжают путь, причем велосипедист прибывает в А на 7 ч 30 мин раньше, чем пешеход В. Найдите скорости пешехода и велосипедиста.
  10. После встречи двух пароходов один из них прошел на юг, а другой - на запад. Через два часа после встречи расстояние между ними было 60 км. Найдите скорость каждого парохода, если известно, что скорость одного из них была на 6 км/ч больше скорости второго.
  11. Первый рыбак должен проплыть на лодке до места встречи 35 км, а второй - на % меньше. Чтобы прибыть к месту встречи одновременно со вторым, первый выходит на полчаса раньше второго и делает в среднем на 2 км в час больше, чем второй. Найдите скорость, с какой плыл каждый рыбак и сколько времени каждый был в пути.
  12. Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В, расстояние между которыми равно 28 км. Через час езды они встретились и, не останавливаясь, продолжали ехать с той же скоростью. Первый прибыл в пункт В на 35 мин раньше, чем второй в пункт А. Какова скорость каждого велосипедиста?
  13. Из А в В через равные промежутки времени отправляются три машины. В пункт В они прибывают одновременно, затем выезжают в пункт С, расположенный на расстоянии 120 км от пункта В. Первая машина прибывает туда через час после второй, третья машина, прибыв в пункт С, сразу поворачивает обратно и в 40 км от С встречает первую машину. Найдите скорость первой машины.
  14. Из морского порта одновременно отходят, два парохода по двум взаимно перпендикулярным направлениям. Спустя 1/2 ч после отплытия пароходов кратчайшее расстояние между ними было 15 км, а спустя еще 15 мин оказалось, что один из пароходов был от пристани на 4,5 км дальше другого. Найдите скорость каждого парохода.
  15. Два судна движутся прямолинейно и равномерно в один и тот же порт. В начальный момент времени положения судов и порта образуют равносторонний треугольник. После того как второе судно прошло 80 км, указанный треугольник становится прямоугольным. В момент прибытия первого судна в порт второму остается пройти 120 км. Найдите расстояние между судами в начальный момент времени.
  16. По двум прямолинейным дорогам, ведущим в пункт А, движутся с постоянными скоростями автомобиль и велосипедист. В начальный момент времени положения автомобиля, велосипедиста и пункта А образуют прямоугольный треугольник. После того как автомобиль проехал 25 км, указанный треугольник становится равносторонним. Найдите расстояние между автомобилем и велосипедистом в начальный момент времени, если в момент прибытия автомобиля в пункт А велосипедисту остается проехать 12 км.
  17. Из двух городов выехали одновременно навстречу друг другу два автомобиля. Первый автомобиль за 3 ч прошел 0,08 всего расстояния между городами, а второй – за 2,5 ч 7/120 этого расстояния. Найдите (в км/ч) скорость второго автомобиля, если до места встречи первый автомобиль прошел 800 км.
  18. Из пункта А в пункт В выехал мотоциклист. Через 2 часа из А в В выехал автомобиль, который прибыл в В одновременно с мотоциклистом. Если бы автомобиль и мотоциклист одновременно выехали из А и В навстречу друг другу, то они бы встретились через 1 ч 20 мин после выезда. Сколько времени провел в пути из А в В мотоциклист?
  19. Трасса велогонок представляет собой контур прямоугольного треугольника с разностью катетов в 2 км. При этом его гипотенуза пролегает но проселочной дороге, а оба катета – по шоссе. Один из участников прошел отрезок по проселочной дороге со скоростью 30 км/ч, а оба отрезка по шоссе за то же время со скоростью 42 км/ч. Определите протяженность трассы.
  20. Две точки движутся по окружности длиной 1,2 м с постоянными скоростями. Если они движутся в разных направлениях, то встречаются через каждые 15 с. При движении в одном направлении одна точка догоняет другую через каждые 60 с. Определите скорости точек.
  21. Из пункта А в пункт В одновременно выехали по одному и тому же шоссе три автомобиля. Второй имел скорость на 30 км/ч больше первого и прибыл в В на 3 ч раньше него. Третий прибыл в В на 2 ч раньше первого, причем половину времени он двигался со скоростью первого, а другую половину времени – со скоростью второго. Найдите расстояние АВ.
  22. Три пловца должны проплыть из A в В и обратно. Сначала стартует первый, через 5 с – второй, еще через 5 с – третий. Некоторую точку С, находящуюся между пунктами А и В, все пловцы миновали одновременно (до этого времени ни один из них в В не побывал). Третий пловец, доплыв до В и повернув назад, встречает второго в 9 м от В, а первого – в 15 м от В. Найдите скорость третьего пловца, если расстояние АВ равно 55 м.
  23. Турист выезжает на велосипеде из пункта А. Проехав 1,5 ч со скоростью 16 км/ч, он делает остановку на 1,5 ч, а затем продолжает путь с первоначальной скоростью. Через 4 ч после выезда первого туриста вдогонку ему из пункта А выезжает на мотоцикле второй турист со скоростью 56 км/ч. Какое расстояние они проедут, прежде чем второй турист догонит первого?
  24. Две автомашины выехали одновременно из одного пункта и едут в одном направлении. Первая автомашина едет со скоростью 40 км/ч, а скорость второй составляет 125 % скорости первой. Через 30 мин из того же пункта в том же направлении выехала третья автомашина, которая обогнала вторую на 1,5 ч позже, чем первую. Какова скорость третьей автомашины?
  25. Из города А в город В вышел пассажирский поезд. В то же время из В в А вышел товарный поезд. Скорость каждого из поездов на всем участке движения постоянна. Через 2 ч после того как поезда встретились, расстояние между ними составило 280 км. Пассажирский поезд прибыл к месту назначения через 9 ч, а товарный – через 16 ч после встречи. Найдите, какое время в пути находился каждый поезд.
  26. Турист проплыл по реке на лодке 90 км и прошел пешком 10 км. При этом на пеший путь было затрачено на 4 ч меньше, чем на путь по реке. Если бы турист шел пешком столько времени, сколько он плыл по реке, а плыл по реке столько времени, сколько шел пешком, то эти расстояния были бы равны. Сколько времени он шел пешком и сколько времени плыл по реке?
  27. Два автомобиля едут навстречу друг другу и встречаются через 6 дней. Если бы первый автомобиль ехал 1,8 дня, а второй – 1,6 дня, то вместе они бы проехали 520 км. Если бы первый проехал 2/3 пути, пройденного вторым, а второй – 1/3 пути, пройденного первым, то первому понадобилось бы для этого на 2 дня меньше, чем второму. Сколько километров за день проезжает каждый автомобиль?
  28. Два туриста идут друг другу навстречу – один из пункта А, другой из пункта В. Первый выходит из А на 6 ч позже, чем второй из пункта В, и при встрече оказывается, что он прошел на 12 км меньше второго. Продолжая после встречи путь с той же скоростью, первый приходит в В через 8 ч, а второй в A – через 9 ч. Найдите скорости туристов.
  29. Два велосипедиста выехали одновременно из пункта А в пункт В. Первый остановился через 42 мин, не доехав 1 км, а второй – через 52 мин, не доехав 2 км до В. Если бы первый велосипедист проехал столько же километров, сколько второй, а второй столько, сколько первый, то первому потребовалось бы на 17 мин меньше, чем второму. Сколько километров между пунктами A и В?
  30. Два тела, двигаясь по окружности в одном и том же направлении, сходятся через каждые 56 мин. Если бы они двигались с теми же скоростями в противоположных направлениях, то встречались бы через каждые 8 мин. Известно, что при движении в противоположных направлениях расстояние по окружности между сближающимися телами уменьшилось с 40 до 26 метров за 24 с. Какова скорость каждого тела?
  31. Из пункта К в пункт М выехала машина. Одновременно с ней из пункта М навстречу машине выехал автобус. Когда машина проехала 0,4 пути от К до М, автобус находился от нее на расстоянии 4 км. Когда же автобус проехал половину пути, машина находилась от него на расстоянии 10 км. Найдите отношение времени, которое затрачивает машина на прохождение пути от К до М, и времени, которое требуется автобусу для прохождения того же пути. Скорости автобуса и машины постоянны.
  32. Моторная лодка, скорость которой в стоячей воде равна 10 км/ч, проехала по течению 91 км и вернулась обратно. Вычислите скорость течения реки, если лодка провела в пути 20 ч.
  33. Расстояние между пристанями А и В 300 км. Из А в В плывут два катера. Разность во времени отправления катеров равна 5 ч. К пристани В катера прибывают одновременно. Определите время движения каждого катера, если скорость одного из них на 10 км/ч больше скорости другого.
  34. Лодка спускается вниз по течению реки из пункта А в пункт В, находящийся в 10 км от А, а затем возвращается в А. Если собственная скорость лодки 3 км/ч, то путь из А в В занимает на 2 ч 30 мин меньше, чем из В в А. Какой должна быть собственная скорость лодки, чтобы поездка из А в В заняла 2 ч?
  35. Катер обеспечивает регулярный перевоз пассажиров между пунктами А и В, расположенными вдоль реки. Если бы собственная скорость катера (в стоячей воде) возросла в 2 раза, то путь от А до В и обратно потребовал бы в 5 раз меньше того времени, которое катер обычно затрачивает на путь АВ и обратно. Во сколько раз собственная скорость катера больше скорости течения реки?
  36. Расстояние по реке между пристанями равно 21 км. Отправляясь от одной из этих пристаней к другой, катер возвращается к первой обратно через 4 ч, затрачивая из этого времени 30 мин на стоянку. Найдите скорость катера в стоячей воде, если скорость течения реки 2,5 км/ч.
  37. Моторная лодка спустилась по течению на 28 км и тотчас вернулась назад. На путь туда и обратно ей потребовалось 7 ч. Если бы скорость течения реки была в 2 раза больше действительной, то на путь туда и обратно потребовалось бы 11 ч 12 мин. Найдите скорость лодки в стоячей воде и скорость течения реки.
  38. Два парохода движутся в тумане навстречу друг другу с одинаковыми скоростями. На расстоянии 4 км капитаны включают на 4 мин обратный ход с ускорением 0,1 м/с2, после чего пароходы продолжают движение с достигнутыми скоростями. При каких значениях начальной скорости v0 суда не столкнутся?
  39. Тело двигалось в течение нескольких дсекунд и прошло за первую секунду 3 м, а за каждую следую щую секунду на 4 м больше, чем за предыдущую секунду. Если бы тело прошло за первую секунду 1 м, а за каждую следующую на 8 м больше, чем за предыдущую, то длина пути, пройденного телом за тот же промежуток времени, была бы длиннее действительно пройденного им пути более, чем на 6 м, но менее, чем на 30 м. Определите время движения этого тела (в секундах).
  40. Лодка спускается по течению реки на расстояние 10 км, а затем поднимается против течения на расстояние 6 км. Скорость течения реки равна 1 км/ч. В каких пределах должна лежать собственная скорость лодки, чтобы вся поездка заняла от 3 до 4 часов?
  41. Ширина реки a м, скорость ее течения – w м/с, скорость пловца в стоячей воде – v м/с (у<u им/с. За какое наименьшее время пловец может попасть в точку, расположенную на противоположном берегу напротив того места, с которого он начинает переправу? Считайте, что в воде пловец не изменяет выбранного им в начале движения и что вектор скорости течения реки параллелен ее берегам, которые предполагаются прямолинейными.
  42. Пункты А, В, С расположены так, что |АВ | = 285 км, Ð ABС = 60°. Из А в В выезжает автомобиль со скоростью 90 км/ч, одновременно из В в С отправляется поезд со скоростью 60 км/ч. Через какое время расстояние между автомобилем и поездом будет наименьшим?
  43. Три пункта А, В к С расположены в вершинах равностороннего треугольника со сторонами 168 км. Из пункта А в пункт В выезжает машина со скоростью 60 км/ч, из пункта В в пункт С одновременно выезжает машина со скоростью 30 км/ч. Через сколько времени после выезда расстояние между этими машинами будет наименьшим?
  44. На реке, скорость течения которой равна 5 км/ч, в направлении ее течения расположены пристани А, В и С, причем В находится посередине между A и С. От пристани В одновременно отходят плот, который по течению движется к пристани С, и катер, который идет к A, причем скорость катера в стоячей воде равна v км/ч. Дойдя до A, катер разворачивается и движется по направлению к С. Найдите все те значения v, при которых катер приходит в С позже, чем плот.
  45. Расстояние между пунктами A и В равно 120 км. Из пункта A в пункт В по прямой дороге АВ начинает двигаться мотоциклист со скоростью 30 км/ч. Одновременно из пункта В по дороге, перпендикулярной к дороге АВ, начинает двигаться велосипедист со скоростью 10 км/ч. Когда расстояние между ними окажется наименьшим?
  46. Пункт В находится на расстоянии. 60 км от прямолинейной железной дороги. Расстояние по железной дороге от пункта A до ближайшей к пункту В точки С составляет 285 км. На каком расстоянии от точки С надо построить станцию, чтобы затрачивать наименьшее время на передвижение между пунктами A и В, если скорость движения по железной дороге равна 52 км/ч, а скорость движения по шоссе равна 20 км/ч?
  47. Пункт N расположен на берегу реки, ширина которой 1 км, а скорость течения 1 км/ч. Не менее чем на 3 км ниже по течению на другом берегу находится пункт М. Из пункта М выходит рыбак и идет вдоль своего берега по направлению к N со скоростью 4 км/ч. Одновременно из пункта N отплывает на лодке перевозчик, пересекает реку и, дождавшись рыбака, переправляет его в пункт N. Туда и обратно лодка двигалась по прямой, причем направление движения было выбрано так, что от отплытия до возвращения прошло наименьшее возможное время, равное 9/8 часа. Скорость лодки в стоячей воде 4 км/ч. Найдите расстояние (по течению) между пунктами М и N.
  48. Самоходная баржа должна доставить срочный груз от речной пристани А к пристани В, расположенной на 24 км выше A по течению, и возможно скорее вернуться в A за новым грузом. Скорость течения реки равна 6 км/час. Какова должна быть наименьшая . собственная скорость баржи, чтобы рейс из A в В и обратно занял (не считая времени, затраченного на погрузку и разгрузку) не более трех часов?
  49. Турист идет из пункта A, находящегося на шоссейной дороге, в пункт В, расположенный в 8 км от шоссе. Расстояние от A до В по прямой 17 км. В каком месте туристу следует свернуть с шоссе, чтобы в кратчайшее время прийти в пункт В, если скорость по шоссе 5 км/час, а по бездорожью 3 км/час.
  50. Тело начинает двигаться в момент времени t = 0 и через 4 с после начала движения приобретает ускорение 3 м/с2. Найдите скорость тела через 6 с после начала движения и величину пути, пройденного телом за это время, если известно, что скорость тела изменяется по закону v (t) = (t 2 + b t + 6) м/с и тело движется прямолинейно.
  51. Из пунктов А и В навстречу друг другу вышли одновременно два поезда. Каждый из них двигался сначала равноускоренно (начальные скорости поездов равны нулю, ускорения различны), а затем, достигнув некоторой скорости (в разные моменты времени), – равномерно. Отношение скоростей равномерного движения поездов равно 4/3. В момент встречи поезда имели равные скорости, а в пункты А и В прибыли одновременно. Найдите отношение ускорений поездов.
  52. Расстояние между пунктами Л и В равно 120 км. Мотоциклист, двигаясь без остановок, проедет это расстояние за 8 ч, если от A до промежуточного пункта С он будет ехать со скоростью v0 км/ч, а далее – с ускорением а км/ч2. Одно и то же время на весь путь ему понадобится, если от A до С он будет ехать со скоростью v0 км/ч и от С до В – v1 км/ч или от A до С со скоростью v1 км/ч и от С до В – v0 км/ч. Найдите v0, если параметр а по величине равен 2v0 и v0 ≠ v1.
  53. Пункты А и В соединены двумя дорогами, одна из которых на 3 км короче другой. Из В в А по более короткой дороге вышел пешеход, и одновременно из А по той же дороге выехал велосипедист. Пешеход и велосипедист одновременно прибыли в А за 2 часа после начала движения. За это время пешеход прошёл один раз путь от В до А, а велосипедист проехал два раза в одном и том же направлении по кольцевому маршруту, образованному двумя названными дорогами. Найти скорости пешехода и велосипедиста, если известно, что их вторая встреча произошла на расстоянии 3,5 км от пункта В. (Скорости постоянны.)
    Ответ: 3 км/ч, 15 км/ч. Решение.
    Связи по условию задачи от начала движения до прибытия в пункт А.
      Скорость Время Расстояние
    Пешеход s/2 2 s
    Велосипедист 2 s + 3 2 2·(2 s + 3)
    Условия до второй встречи
      Скорость Время Расстояние
    Пешеход s/2 7/s 3,5
    Велосипедист 2 s + 3 7/s
    По условию задачи имеем
    = 3 s - 0,5.
    Получаем квадратное уравнение
    3 s2 - 14,5 s - 21 = 0,
    положительным решением которого является s = 6 км. Найдём скорость пешехода 3 км/ч и скорость велосипедиста 15 км/ч.
  54. Из пункта А в пункт С в 9 часов утра отправляется скорый поезд. В то же время из пункта В, расположенного между пунктами А и С, выходят два пассажирских поезда, первый из которых следует в пункт А, а второй — в пункт С, причём скорости пассажирских поездов равны. Скорый поезд встречает первый пассажирский поезд не позже, чем через 3 часа после его отправления, потом приходит в пункт В не ранее 14 часов того же дня и, наконец, прибывает в пункт С одновременно со вторым пассажирским поездом через 12 часов после встречи с первым пассажирским поездом. Найти время прибытия в пункт А первого пассажирского поезда.
  55. Из двух городов, расстояние между которыми равно 135 км, навстречу друг другу выезжают два велосипедиста, при этом скорость одного из них на 25% больше скорости другого. Через 3 часа они находились на расстоянии 27 км друг от друга. Найти скорости велосипедистов.
  56. Один велосипедист нагоняет другого со скоростью, на 25% большей, чем у другого велосипедиста. В начальный момент времени расстояние между ними составляло 14 км, а через 4 часа пути — 2 км. Найти скорости велосипедистов.
  57. Расстояние АВ пассажирский поезд проходит за 2 часа, а элек-тричка — за 3 часа. Из А в В вышел пассажирский поезд, а из В в А одновременно с ним — электрички. Через какое время после встречи составов электричка прибудет в А?
  58. Из города в посёлок ведут две дороги – прямая и объездная. По прямой дороге из города отправляется пешеход и через 40 минут приходит в посёлок. А по объездной дороге отправляется автомобиль и через 10 минут прибывает в посёлок. Обратно в город пешеход и автомобиль отправляются одновременно, но пешеход в этот раз идёт по объездной, а автомобиль едет по прямой дороге. В результате в город пешеход приходит спустя 1 час и 36 минут после того, как приехал автомобиль. Во сколько раз скорость автомобиля больше скорости пешехода?
    Ответ. В 10 раз.