Вычислить значения тригонометрических выражений

Упростить

Группа Б
Вычислить значения тригонометрических выражений

Найти период каждой из функций

1. Докажите, что tg (- α) = - tg (α) и сtg (- α) = - сtg (α).
2. Определите знак произведения:
   • а) sin 110° · соs 110° · tg 230° · сtg 320°;
   • б) - sin 50° ·tg 170° · (- соs (- 91°)) ·ctg (- 640°) ·sin 530°.
3. Какой знак имеет произведение sin x·tg ³ х·соs х·сtg х cos^-5 х при
   • a) 0° < х < 90°;
   • б) 90° < х < 180°;
   • в) 180°< х < 270°;
   • г) 270° < х < 360°?
4. Пусть α, β, γ - утлы треугольника, т. е. α + β + γ = 180°, Какой знак имеет сумма sin α + sin β + sin γ?
5. Определите знаки выражений: а) ;
   б) , если α + β + γ = 180°.
6. Упростите выражение .
7. Вычислите: а) соs 60° + 2 sin 30° + ½·tg² 60° - ctg 45°:
   б) 3 соs 180° + 5 сtg 270° - 2 sin 360° - tg 60°;
   в) sin 150°·sin 240° - tg 360°·соs 315° - сtg (- 30°) sin² 330° + 3 tg² 30°.
8. Для каких значений угла α верно равенство:
   • а) sin α = 1;
   • б) cos α = 1;
   • в) tg α = 1;
   • г) ctg α = 1;
   • д) sin α = 0;
   • е) cos α = 0;
   • ж) tg α = 0;
   • з) ctg α = 0.
9. Найдите значения остальных тригонометрических функций угла α, если известно, что:
   • а) при 0° < α < 90°;
   • б) при 270° < α < 360°;
   • в) при 180° < α < 270°.
10. Вычислите значения остальных тригонометрических функций, если известно значение:
    • а) sin α = 0,6, 0° < α < 90°;
    • б) соs α = - 0,6, 90° < α < 180°;
    • в) tg α = 2, 180° < α < 270°;
    • г) сtg α = -3, 270° < α < 360°.
11. Выразите следующие тригонометрические функции через тригонометрические функции положительных углов, меньших 90°:
    а) sin 100°;
    б) sin 160°;
    в) соs 170°;
    г) tg 165°;
    д) ctg (- 310°);
    е) sin (- 70°);
    ж) соs (- 215°);
    з) tg (- 130°).
12. Докажите, что:
    • а) sin (270° - α) = - соs α;
    • б) соs (270° - α) = - sin α;
    • в) tg (270° - α) = сtg α;
    • г) ctg (270° - α) = tg α;
    • д) sin (270° + α) = - соs α;
    • е) соs (270° + α) = sin α;
    • ж) tg (270° + α) = - ctg α;
    • з) ctg (270° + α) = - tg α.
13. Упростите sin (90° - α) - соs (180° - α) + tg (180° - α) - ctg (270° + α).
14. Упростите .
15. Упростите .
16. Упростите A = sin ² (180° - α) + tg ² (180° - α)·tg ² (270° + α) + sin (90° + α)·cos ( α - 360°).
17. УпроститеA = sin ² 2α + cos ² 2α + 5.
18. Упростите .
19. Упростите .
20. Упростите A = ( sin x + cos x ) ² + ( sin x - cos x ) ².
21. Упростите A = sin⁴x + cos²x - cos⁴x.
22. Упростите , если π < α < 2π.
23. Упростите , если 3π < x < 4π.
24. Вычислите , если .
25. Вычислите , если tg α = 2.
26. Вычислите , если .
27. Дано: sin х + соs х = n. Найдите:
    • а) А = sin х·соs х;
    • б) А = sin х - соs х;
    • в) А = sin ³ х + соs ³ х;
    • г) А = sin⁴ х + соs⁴ х.
28. Выразите sin⁴ α - sin² α + cos² α через соs α.
29. При каких значениях х из промежутка 0° < х < 180° выражение существует в области действительных чисел?
30. Докажите тождество sin⁴ α + sin² α·соs² α + соs² α = 1.
31. Докажите тождество ( 1 - соs² α)·( 1 + tg² α) = tg² α.
32. Докажите тождество .
33. Докажите тождество .
34. Докажите тождество .
35. Докажите тождество sin⁴ α + cos⁴ α - sin⁶ α - cos⁶ α = sin² α·cos² α.
36. Докажите тождество .
37. Докажите тождество .
38. Докажите тождество .
39. Докажите тождество 2 (sin⁶α + cos⁶α) + 1 = 3 (sin⁴α + cos⁴α).
40. Докажите тождество (1 + ctg α)·sin³α + (1 + tg α)·cos³α = sin α + cos α.
41. Докажите тождество .

1. Докажите тождество .
2. Докажите тождество .
3. Докажите тождество 2 (sin⁶α + cos⁶α) - 3 (sin⁴α + cos⁴α) = - 1.
4. Докажите тождество tg 18°·tg 288° + sin 32°·sin 148° - sin 302°·sin 122° = 0.
5. Докажите тождество tg 41°·tg 42°·…·tg 49° = 1.
6. Докажите тождество lg sin 1°·lg sin 2°·…·lg sin 90° = 0.
7. Докажите, что дробь не может быть отрицательным числом.
8. Вычислите , если tg α = 2.

1. Вычислите sin (α + β), соs (α - β), tg (α + β), если и числа α и β находятся в IV четверти.
2. Покажите, что α + β = 90°, если и , причем α и β - углы положительные, острые.
3. Вычислите синус, косинус, тангенс и котангенс углов: 15°, 75°, 105°.
4. Выразите sin Зα, соs Зα и tg Зα через функции числа α.
5. Дано , α, β, γ - острые положительные углы. Докажите, что α + β + γ = 45°.
6. Найдите , если .
7. Выразите sin (α + β + γ) и соs (α + β + γ) через тригонометрические функции чисел α, β, γ.
8. Упростите выражение .
9. Упростите выражение .
10. Упростите выражение sin 6α·ctg 3α - cos 6α.
11. Упростите выражение: a) sin 20° + 2 sin 40° - sin 100°; б) cos 10° - 2 cos 50° - cos 70°.
12. Упростите выражение: a) ; б) .
13. Упростите выражение:
    • а)
    • б)
    • в)
14. Упростите выражение (tg α - tg β)·ctg (α - β) - tg α·tg β.
15. Упростите выражение .
16. Упростите выражение .
17. С помощью формул приведения упростите выражение .
18. С помощью формул приведения упростите выражение .
19. С помощью формул приведения упростите выражение ( tg (90° - α) - ctg (90° + α)) ² - (ctg (180° + α) + ctg (270° + α)) ².
20. С помощью формул приведения упростите выражение .
21. С помощью формул приведения упростите выражение .
22. С помощью формул приведения упростите выражение .
23. С помощью формул приведения упростите выражение tg ² (- 4,7π)·cos ² (- 7,8 π) + sin ² (- 11,7 π).
24. Докажите тождество .
25. Докажите тождество .
26. Докажите тождество .
27. Докажите тождество .
28. Докажите тождество .
29. Докажите тождество .
30. Докажите тождество .
31. Докажите тождество sin 4α + cos 4α·ctg 2α = ctg 2α.
32. Докажите тождество cos (x - y) - sin x sin ³ y - cos x cos ³ y = sin y cos y sin (x + y)
33. a) sin α sin (β + γ) - sin β sin (γ + α) + sin γ sin (α + β) = 2 sin α cos β sin γ.
    б) cos α cos (β + γ) - cos β cos (γ + α) + cos γ cos (α - β) = cos (α - β - γ).
34. Докажите тождество tg (α + β) - tg α - tg β = tg (α + β) tg α·tg β.
35. Докажите тождество .
36. Докажите тождество .
37. Докажите тождество tg 3α - tg 2α - tg α = tg α·tg 2α·tg 3α.
38. Докажите тождество tg α·tg β + tg β·tg γ + tg γ·tg α = 1, если α + β + γ = .
39. Докажите тождество tg nα + tg nβ + tg nγ = tg nα·tg nα·tg nα, если α + β + γ = π. n Z.

1. Вычислите .
2. Вычислите sin 2565°.
3. Упростите sin (2π - α) + соs (4π - α)·tg (α + 7π).
4. Вычислите без таблиц соs 15°.
5. Вычислите соs (α - β), если tg α = - 0,75; соs β = 7/25; α (90°; 180°) и β (270°; 360°).
6. Найдите соs α, если sin β = - 1/4; sin (α + β) = - 3/5; α (270°; 360°) и β (180°; 270°).
7. Упростите sin 6α tg Зα + соs 6α.
8. Вычислите без таблиц .
9. Докажите тождество .
10. Покажите, что величина выражения соs (α - х)·( sin α соs х + соs α sin х) - соs (α + х)·(sin α соs х - соs α sin х) не зависит от α.
11. Докажите, что если А, В и С - углы треугольника, то sin С = sin (А + В), соs С = - соs (А + В).
12. Вычислите tg α, если tg (α - β) = 2; sin β = 3/5; - < β < π.
13. Докажите тождество tg (α + β) - tg α - tg β = tg (α + β)·tg α·tg β.

1. Вычислите sin 2α, cos 2α и tg 2α, если sin α = 0,8 и 0° < α < 90°.
2. Дано = 0,6 и 90° < α/2 < 180°. Найдите sin α и cos α.
3. Дано tg х = 3. Вычислите sin 4 x, если 0 < х < .
4. Найдите , если .
5. Вычислите cos 2х, если .
6. Упростите выражение 2 sin ² (45° + 1,5 x) - 1.
7. Упростите выражение .
8. Упростите выражение 1 - 8 sin² β·cos² β.
9. Упростите выражение .
10. Упростите выражение .
11. Упростите выражение .
12. Упростите выражение при 0° < α < 90°.
13. Упростите выражение при 0° ≤ α ≤ 2π.
14. Упростите выражение .
15. Упростите выражение .
16. Докажите тождествo .
17. Докажите тождествo .
18. Докажите тождествo .
19. Докажите тождествo .
20. Докажите тождествo .
21. Докажите тождествo .
22. Докажите тождествo .
23. Докажите тождествo .
24. Докажите тождествo .
25. Докажите тождествo .
26. Докажите тождествo при 180° < α < 270°.

1. Вычислите sin 4α, если ctg 2α = - 2.
2. Вычислите tg 12α, если , причем 495° < 6α < 540°.
3. Вычислите , если и 450° < α < 540°.
4. Вычислите sin 2α, если tg α = 1.
5. Упростите выражение .
6. Докажите неравенство , если 0 < α < π.
7. Существует ли такой угол α, что ?
8. Сумму преобразуйте в произведение 2 + tg 2α + ctg 2α.
9. Упростите , если 0 ≤ α ≤ .
10. Вычислите без таблиц А = ctg 7,5° + tg 67,5° - tg 7,5° - ctg 67,5°.
11. Вычислите без таблиц .

1. Вычислите, не пользуясь таблицами A = sin 37°30' sin 7°30'.
2. Вычислите, не пользуясь таблицами А = cos 75° cos 15°.
3. Вычислите, не пользуясь таблицами A = sin 52°30' cos 7°30'.
4. Преобразуйте в сумму выражение .
5. Преобразуйте в сумму выражение A = sin 10° cos 8° cos 6°.
6. Преобразуйте в сумму выражение A = cos Зx cos 5x cos 7x.
7. Преобразуйте в сумму выражение A = sin x cos Зx cos 4x.
8. Преобразуйте в сумму выражение A = sin x sin 2x sin Зx sin 4x.
9. Преобразуйте в сумму выражение A = 8 sin³ x cos x.
10. Преобразуйте в сумму выражение A = 4 sin x cos² x.
11. Преобразуйте в сумму выражение A = 16 sin² x cos³ x.
12. Преобразуйте в сумму выражение A = 32 sin⁵ α cos³ α.
13. Упростите A = sin 4° sin 86° - cos 2° sin 6° + ½·sin 4°.
14. Упростите A = 2 cos 20° cos 40° - cos 20°.
15. Упростите .
16. Упростите .
17. Упростите A = cos² 5 + cos² 1 - cos 6·cos 4.
18. Докажите: cos 20° sin 50° cos 80° = 1/8.
19. Вычислите без таблиц A = cos 5° cos 55° cos 65°.
20. Вычислите без таблиц A = = tg 20° tg 40° tg 60° tg 80°.
21. Представьте sin⁵ α в виде многочлена первой степени от тригонометрических функций углов, кратных α.
22. Докажите тождество
23. Докажите тождество sin 3x = 4 sin x·sin (60° - x)·sin (60° + x).
24. Докажите тождество tg 3x = tg x·tg (60° - x)·tg (60° + x).
25. Докажите тождество sin² α + cos (60° + α)·cos (60° - α) = 1/4.
26. Докажите тождество 16 sin 20°·sin 40°·sin 60°·sin 80° = 3.
27. Докажите тождество .
28. Докажите тождество .

1. Преобразуйте произведение4 sin 11° cos 69° sin 22° в сумму.
2. Докажите .
3. Докажите .
4. Докажите .
5. Докажите .
6. Докажите .
7. Докажите cos 20°·cos 40°·cos 80° = ( log₂ 256)^-1.
8. Докажите log₂ cos 20° + log₂ cos 40° + log₂ cos 80° = - 3.
9. lg tg 3°·lg tg 6°·…·lg tg 87° = 0.
10. Докажите .

1. Вычислите .
2. Вычислите .
3. Вычислите .
4. Докажите справедливость равенства
5. Докажите справедливость равенства
6. Из истинности высказывания следует ли истинность высказывания ?
7. Вычислите sin (arccos 0,6).
8. Докажите, что .
9. Чему равен tg (arcsin x)?
10. Определите ctg (arccos x).
11. Вычислите sin (arcctg x).
12. Вычислите cos (arctg x).
13. Вычислите .
14. Вычислите .
15. Вычислите .
16. Вычислите .
17. Вычислите sin (arcctg (-2)).
18. Вычислите .
19. Вычислите .
20. Вычислите .
21. Вычислите .
22. Вычислите .
23. Вычислите .
24. Вычислите sin (2 arctg 3).
25. Вычислите .
26. Представьте в виде арккосинуса.
27. Представьте в виде арккотангенса.
28. Представьте в виде арксинуса.
29. Выразите через арккосинус.
30. Выразите через арксинус.
31. Проверьте справедливость равенства .
32. Проверьте справедливость равенства .
33. Проверьте справедливость равенства .
34. Представьте в виде арксинуса.
35. Чему равен угол ?
36. Докажите, что arctg 1 + arctg 2 + arctg 3 = π.
37. Вычислите .
38. Вычислите .
39. Вычислите .
40. Вычислите .
41. Вычислите arctg (tg( — 3010°)).
42. Вычислите .
43. Вычислите .
44. Расположите в порядке возрастания sin 2006°, cos 2006°, tg 2006°, ctg 2006°.