1. В трапеции ABCD отношение длины основания ВС к длине основания AD равно n. Диагонали трапеции пересекаются в точке О. Разложить вектор АО по векторам АВ и AD.
    О т в е т: .
  2. Даны три ненулевых вектора а, b, c, каждые два из которых неколлинеарны. Найти их сумму, если вектор а + b коллинеарен вектору c, а вектор b + c коллинеарен вектору а.
    О т в е т: а + b + c = 0.
  3. Медианы граней ОАВ и ОАС тетраэдра ОABC пересекаются в точках М и N cоответственно. Доказать, что векторы MN и BC коллинеарны и найти отношение | MN | : | BC |.
    О т в е т: | MN | : | BC | = 1/3.
  4. Точки М, N, Р и Q лежат соответственно на сторонах АВ, ВС, CD и DA параллелограмма ABCD, причем | AM | : | АВ | = | BN | : | ВС | = | СР | : | CD | = | DQ |: | DA |. Доказать, что MNPQ — параллелограмм.
  5. Доказать, что любые два ненулевых вектора а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда существуют такие числа х и у, одновременно не равные нулю, что выполняется равенство х а + у b = 0.
  6. Два ненулевых вектора a и b таковы, что | a + b | = | a - b |. Доказать, что векторы a и b перпендикулярны.
  7. Зная, что | a | = 11, | b | = 23 и | a - b | = 30, найти | a + b |.
    О т в е т: 20.
  8. Вектор a + 3 b перпендикулярен вектору 7 a - 5 b и вектор a - 4 b перпендикулярен вектору 7 a - 2 b. Найти угол между векторами a и b.
    О т в е т: 60°.
  9. Единичные векторы a, b и c удовлетворяют условию a + b + c = 0. Вычислить a·b + b·c + c·a.
    О т в е т: - 3/2
  10. Найти такое число m, чтобы векторы a = i - j + 2 k, b = 3 i + j и c = m i + 2 k были компланарными.
    О т в е т: 4.
  11. Найти координаты вектора b ( x; y; z ), колликеарного вектору a = ( 1; 1; - 1/2 ), образующего острый угол с базисным вектором k, и такого, что | b | = 3.
    О т в е т: b = ( - 2; - 2; 1 ).
  12. Найти координаты единичного вектора p, перпендикулярного векторам a = i + j + k и b = i + 3 j - k и образующего тупой угол с базисным вектором j.
    О т в е т: .
  13. Найти координаты вектора b, компланарного с векторами i и j, перпендикулярного вектору a = 4 i - 3 j + 5 k, и такого, что | a | = | b |.
    О т в е т: .
  14. Найти координаты точки, принадлежащей оси ординат и одинаково удаленной от точек A (2; -1; 1) и В (0; 1; 3).
    О т в е т: (0; 1; 0 ).
  15. От одной точки отложены векторы a = ( - 4; 0; 3) и b = (14; 2; - 5). Найти вектор d ( x; y; z ), который будучи отложен от той же точки делит угол между векторами a и b пополам и длина которого равна .
    О т в е т: d = ( 1; 1; 2 ).
  16. Даны A ( 3; 2 ), В ( 5; 1 ), D( l; - 2 ). Найти длину диагонали АС параллелограмма ABCD.
    О т в е т: 5.
  17. Даны В ( 2; - 19; 16 ), С ( - 4; 29; - 20 ), М ( 1; - 1; 1 ). Найти расстояние d1 от точки М до середины отрезка ВС и расстояние d2 от точки М до точки N, принадлежащей отрезку ВС, и такой, что | BN | : | ВС | = 1/3.
    О т в е т: d1 = 7; d2 = .
  18. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A (1; - 3; 2) параллельно плоскости 4 х - 2 у - z + 7 = 0.
    О т в е т: 4 х - 2 у - z - 8 = 0.
  19. Точка А ( - 1; - 1; 2) является основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составить уравнение этой плоскости.
    О т в е т: х + у - 2 z + 6 = 0.
  20. Найти расстояние от точки А ( - 2; 3; —4) до плоскости 2 х + 2 у - z + 3 = 0.
    О т в е т: 3.
  21. Найти угол между плоскостью, проходящей через точки A ( 0; 0; 0 ), В ( 1; 1; 1 ), С ( 3; 2; 1 ), и плоскостью, проходящей через точки А ( 0; 0; 0 ), В ( 1; 1; 1 ), D ( 3; 1; 2 ).
    О т в е т: 60°.
  22. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки Е, F — середины ребер соответственно SB и SC. Найдите косинус угла между прямыми АЕ и BF. Решение.

    Выполним рисунок. Для решения задачи воспользуемся инструментом векторной алгебры. Имеем
    .
    Далее
    .
    Далее
    .
    Далее
    .
    Теперь найдём скалярное произведение векторов

    Найдём длины перемножаемых векторов
    ,
    Теперь можно найти угол между указанными в условии векторами
    .
  23. В кубе A ... Dl точки Е, F — середины ребер соответственно AlBl и ВlСl. Найдите косинус угла между прямыми АЕ и BF.
    О т в е т: 0,8.
  24. В кубе A ... Dl точки Е, F – середины ребер соответственно АlВl и ClDl. Найдите косинус угла между прямыми АЕ и BF.
    О т в е т: .
  25. В кубе A ... Dl точка Е — середина ребра АlВl. Найдите косинус угла между прямыми АЕ и BDl.
    О т в е т: .
  26. В кубе А … Dl точка E -середина ребра АlBl. Найдите синус угла между прямой АЕ и плоскостью BDDlBl.
    О т в е т: .
  27. В кубе A … Dl точка Е — середина ребра АlВl. Найдите синус угла между прямой АЕ и плоскостью BDCl.
    О т в е т: .
  28. В кубе A … Dl точки Е, F — середины ребер соответственно AlBl и AlDl. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и ВССl.
    О т в е т: .
  29. В правильной треугольной призме А … С1, все ребра которой равны 1, точки D, Е — середины ребер соответственно А1В1 и В1С1. Найдите косинус угла между прямыми AD и BE.
    О т в е т: 0,7.
  30. В правильной треугольной призме А ... С1, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра А1В1. Найдите косинус угла между прямыми AD и ВС1.
    О т в е т: .
  31. В правильной треугольной призме А ... С1 все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра А1В1. Найдите синус угла между прямой AD и плоскостью ВСС1.
    О т в е т: .
  32. В правильной треугольной призме А ... С1 все ребра которой равны 1, точки D, Е — середины ребер соответственно А1В1 и A1C1. Найдите тангенс угла между плоскостями ADE и ВСС1.
    О т в е т: .
  33. В правильной шестиугольной призме A ... F1, все ребра которой равны 1, точки G и Н — середины р¬бер соответственно А1В1 и В1С1. Найдите косинус угла между прямыми AG и ВН.
    О т в е т: 0,9.
  34. В правильной шестиугольной призме A...F1, все ребра которой равны 1, точка G — середина ребра А1В1. Найдите косинус угла между прямыми AG и BC1.
    О т в е т: .
  35. В правильной шестиугольной призме A ... F1 все ребра которой равны 1, точка G — середина ребра А1В1. Найдите косинус угла между прямыми AG и BD1.
    О т в е т: .
  36. В правильной шестиугольной призме A … F1 все ребра которой равны 1, точка G — середина ребра А1В1. Найдите синус угла между прямой AG и плоскостью BCC1.
    О т в е т: .
  37. В правильной шестиугольной призме A … F1 все ребра которой равны 1, точка G — середина ребра A1B1 Найдите синус угла между прямой AG и плоскостью BDD1.
    О т в е т: .
  38. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Длина ребра куба равна 1. Найдите расстояние от середины отрезка ВС1 до плоскости AB1D1.
  39. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между плоскостями AB1D1 и ACD1.
  40. Найдите угол между непересекающимися медианами граней правильного тетраэдра.
    О т в е т: arccos 1/6; arccos 2/3.
  41. Непересекающиеся диагонали двух смежных боковых граней прямоугольного параллелепипеда образуют с плоскостью его основания углы φ и ψ. Найдите угол между этими диагоналями.
    О т в е т: arccos (sin φ - sin ψ)
  42. Плоскость пересекает боковые ребра SA, SB и SC треугольной пирамиды SABC в точках К, L и М, соответственно. В каком отношении делит эта плоскость объем пирамиды, если известно, что , а медиану SN треугольника SBC эта плоскость делит пополам.
    О т в е т: 8/37.
  43. ABCDEF — правильный шестиугольник. Разложить векторы ВС и BD по векторам АВ и AF.
  44. ОABC — тетраэдр, AM — медиана грани ABC. Разложить вектор AM по векторам ОА, ОВ, ОС.
  45. ABCD — параллелограмм, точка М — середина стороны CD. Разложить векторы BD и AM по векторам ВМ и МС.
  46. Дан параллелепипед ABCDAl Bl Cl Dl. Разложить векторы ААl, АС и DB по векторам DAl , DCl и DBl.
  47. В треугольнике ABC точки М и N — середины сторон AВ и AС. Разложить векторы AВ, АС и MN по векторам BN и СМ.
  48. В тетраэдре ОABC точки М и N — середины ребер ОВ и ОС. Разложить векторы AM, BN и MN по векторам ОА, ОВ, ОС.
  49. В треугольной призме ABCA1B1C1 диагонали грани BB1C1C пересекаются в точке М. Разложить векторы AM и по векторам ВА, ВВ1 , ВС.
  50. Может ли длина вектора а - b быть: а) меньше, б) равна, в) больше суммы длин векторов а и b?
  51. Доказать, что любые два ненулевых сонаправленных вектора а и b удовлетворяют условию а/| а | = b/| b |.
  52. Найти число х, если длина вектора b = х a равна 3 | a | и вектор b : а) сонаправлен вектору a, б) противоположно направлен вектору a.
  53. Векторы a и b неколлинеарны. Найти числа х и у, если векторы х a + у b и ( у + 1) a + ( 2 - х ) b равны.
  54. Векторы a и b неколлинеарны. Найти числа х и у, если векторы ( 2 - х ) a + b и у a + ( х - 3) b равны.
  55. Векторы a и b неколлинеарны. Найти число х, если векторы ( х - 1) a + 2 b и 3 a + x b коллинеарны.
  56. Векторы a и b неколлинеарны. Найти число х, если векторы 3 a + x b и (1 - х) a - 2/3 b сонаправлены.
  57. Векторы a и b образуют угол 120°. Найти х из условий, что | b | = 2 | a | и вектор a + x b перпендикулярен вектору a - b.
  58. Определить, при каких х и у вектор a = - 2 i + 3 j + y k коллинеарен вектору b = x i - 6 j + 2 k.
  59. Найти единичный вектор, сонаправленный вектору a = - 6 i + 3 j - 2 k.
  60. Определить длины векторов a + b и a - b, если a = ( 3; —5; 8 ) и b = ( - 1; 1; -4 ).
  61. Дано: | a | = 13, | b | = 19 и | a - b | = 22. Найти | a + b |.
  62. Дано: | a | = 6, | a + b | = 11, | a - b | = 7. Найти | b |.
  63. Определить длины векторов 2 a - b и 3 b - a, если a = - 2 i + j и b = - i - 2 j.
  64. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a = ( 1; 2 ) и b = ( 2; - 1 ).
  65. Найти угол между векторами a = ( 4; 0; 3 ) и b = ( 2; - 2; 1 ).
  66. Угол между векторами a и b равен 120°, | a | = 3 и | b |= 2. Найти а) a·b, б) ( a + b )2, в) ( a - b )2, г) (a + 2 b)·( 2 a - b).
  67. Векторы a, b и c удовлетворяют условию a + b + c = 0. Вычислить a·b + b·c + c·a, если | a | = 1, | b | = 3, | c | = 4.
  68. Найти координаты вектора b, коллинеарного вектору a = ( 2; - 3 ) и удовлетворяющего условию a·b = - 26.
  69. Вычислить скалярное произведение векторов 4 a - b и 2 a + 3 b, если | a | = 2, | b | = 3 и угол между векторами a и b равен 120°.
  70. В плоскости найти координаты единичного вектора e, перпендикулярного вектору AB, если A ( 1; -1 ) и В ( 3; 0 ).
  71. Найти a·b, если a = 4 i + 7 j + 3 k и b = 3 i - 5 j + k.
  72. Найти (6 a + b)·( a - 2 b), если угол между единичными векторами a и b равен 60°.
  73. Найти угол между векторами a и b, если | a | = 2 | b | и вектор 2 a + b перпендикулярен вектору a - 3 b.
  74. Найти координаты вектора b, коллинеарного вектору a = ( - 1; 1; - 2), если a·b = 12.
  75. Найти координаты вектора b, коллинеарного вектору a = ( - 1; 2 ), если | b | = √ 10.
  76. Найти, при каких m и n вектор a = 3 i - 2 j + m k коллинеарен вектору b = n i + j - 2 k.
  77. Найти, при каком m вектор a = ( m; 7; - 2) перпендикулярен вектору b = ( - 3; m; 2 ).
  78. Найти координаты вектора b, перпендикулярного вектору a = ( - 2; 1), если | b | = √5.
  79. Найти косинусы углов, которые образует с базисными векторами вектор a = = ( 2; - 1; - 2 ).
  80. Пусть e1 и e2 — единичные неколлинеарные векторы. Вычислить ( 2 e1 - 5 e2 )·( 3 e1 + e2 ), если | e1 + e2 | = √3.
  81. Найти угол между векторами AB и a = (1; - 3; 1), если А = ( - 5; 7; - 8 ) и В = ( - 7; 9; - 9 ).
  82. Найти координаты единичного вектора, противоположно направленного вектору AB, если A ( 7; 4; - 2 ) и В ( 1; 2; 1 ).
  83. Найти угол между векторами a + b и 2 a - c, если a = - i + j - k, b = 2 i - j + 2 k, c = -2 i + j - 3 k.
  84. Найти угол между векторами AB и CD, если А ( - 5; 1 ); В ( - 1; 4 ), С ( 1; - 4 ); D ( 2; 3 ).
  85. Найти координаты векторов AB и 2 BA, если A ( 3; - 1; 2 ) и В ( - 1; 2; 1 ).
  86. Найти координаты точек M1 и М2, симметричных с точкой М( 1; - 2; 5 ) относительно оси абсцисс и относительно плоскости Oxy соответственно.
  87. Дано: А ( - 1; - 2; 4), В ( 3; 2; - 2 ); С ( 3; - 2; 1 ). Найти угол при вершине С треугольника ABC.
  88. Найти длину медианы AM треугольника ABC, если А ( 2; 3/2; - 4 ), В ( 3; - 4; 2 ), С ( 1; 3; - 7 ).
  89. Найти расстояние от точки М ( - 2; 0; 1 ) до середины отрезка АВ, если А ( 2; - 1; 0 ) и В ( - 2; 3; 2 ).
  90. Даны: A ( - 1; 3; - 7 ), В ( 2; - 1; 5 ), С ( 0; 1; - 5 ). Найти | АВ | и (2 AB - CB)·(2 BC + BA).
  91. Даны: A ( -1; - 2; 2 ), В ( 1; 4; 0 ), С ( - 4; 1; 1 ), D ( - 5; - 5; 3 ). Найти угол между векторами AC и BD.
  92. Вычислить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах 5 a + 2 b и a - 3 b, если | a | = 2√2, | b | = 3; = 45°.
  93. Найти угол между векторами p + q и p - q , если p = 8 i + 4 j , q = 4 i + j .
  94. Вектор a, у которого первая координата вдвое больше второй, образует с базисным вектором k угол 135°. Найти его координаты, если | a | = 5√2.
  95. Вектор a, коллинеарный вектору b = ( 12; - 16; 15 ), образует с базисным вектором k острый угол. Зная, что | a | = 100, найти координаты вектора a.
  96. Найти координаты вектора a, перпендикулярного базисному вектору j и вектору b = 3 i + j - 2 k , если | a | = √13.
  97. Найти координаты единичного вектора a, перпендикулярного векторам i + j и j + k.
  98. Найти координаты вектора a, перпендикулярного векторам i - j и j - k, если | a | = √3.
  99. Найти координаты вектора a, коллинеарного вектору b = (6; 8; - 7,5) и образующего тупой угол с базисным вектором j , если | a | = 50.
  100. Найти m и n, если вектор a = (3; m; - 1) перпендикулярен вектору b = ( 2; 1; n ) и | a | = | b |.
  101. Найти координаты вектора a, перпендикулярного векторам i и b = 3 i + j - k, если | a |= √2.
  102. Найти координаты единичного вектора a, перпендикулярного вектору b = ( - 1; 2; 2 ) и образующего равные углы с векторами i и j.
  103. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку A ( 1; 3; 1 ) перпендикулярно вектору n = ( - 1; 2; - 5 ).
  104. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A ( 1; - 3; 2 ) параллельно плоскости 2 х + у + 2 z - 1 = 0.
  105. Какие из следующих пар плоскостей являются: а) параллельными, б) перпендикулярными?
    1) 2 x + 3 y - z + 6 = 0, x - y - z - 7 = 0;
    2) 2 х - 3 у + 5 z - 1 = 0, 2 х - 3 у + 5 z + 3 = 0.
  106. Найти, при каком m плоскость 2 х + m у - 3 z - 1 = 0 будет перпендикулярна плоскости 5 х + у + 3 z + 1 = 0.
  107. Вычислить расстояние от начала координат до плоскости х - 2 у + 2 z — 6 = 0.
  108. Найти угол между плоскостью Оху и плоскостью √2 х + у - 3 z + 17 = 0.
  109. Найти угол между плоскостями х — у √2 + z - 1 =0 и х + у √2 - z + 3 = 0.