1. В параллелепипеде ( см. рисунок) через середину М ребра ВС проведена прямая, пересекающая прямые АС₁ и DD₁ соответственно в точках N и P. Найти отношение | MN | : | NP |.
   О т в е т: 1 : 2.
2. АВСDA₁B₁C₁D₁ – параллелепипед, АС и DC₁ – диагонали его граней. Доказать, что существует и при том единственная пара точек M ∈ (AC) и N ∈ (DC₁) такая, что (MN) || (BD₁). Найти отношение | MN | | BD₁ |.О т в е т: 1 : 3.
3. Через концы трёх рёбер параллелепипеда, выходящих из одной вершины, проведена плоскость. Определить, в каком отношении она делит диагональ параллелепипеда, выходящую из другой вершины. О т в е т: 1 : 2.
4. Точки M и N – середины тетраэдра (см. рисунок), точки P и Q расположены на рёбрах AD и BC так, что отрезки MN и PQ пересекаются, а | AP | : | AD | = 2 : 3. Найти отношение | BQ | : | BC |.О т в е т: 2 : 3.
5. В правильном тетраэдре точки M и N – середины рёбер АВ и CD (см. ртсунок) | AB | = a. Найти

   1) длину отрезка MN; О т в е т: a/√2.

   2) угол между прямыми MN и BC; О т в е т: π/4.

   3) доказать, что прямая MN перпендикулярна рёбрам AB и CD.

   
6. В тетраэдре ABCD имеем | AB | = | BC |, | AD | = | DC |. Доказать, что рёбра ФС и BD перпендикулярны.
7. Ребро куба имеет длину а. Найти расстояние между прямыми, на которых лежат скрещивающиеся диагонали двух смежных граней куба.О т в е т: а/√3
8. Доказать, что
   а) отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с точками пересечения медиан противоположных граней, пересекаются в точке (обозначим ее О), которая делит каждый из этих отрезков в отношении 3 : 1, считая от вершины;
   б) отрезки, соединяющие середины скрещивающихся ребер тетраэдра, пересекаются в той же точке О, которая является серединой каждого из них.
9. Длина каждого ребра тетраэдра ABCD равна а. На ребрах DA, DC и ВС расположены соответственно точки М, N и Р так, что | DM | = | CN | = а/3, | СР | = а/5. Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP и найти длину отрезка BQ, где Q = (MNP) ∩ (AB).
10. Основанием пирамиды SABCD служит параллелограмм ABCD. Построить сечение пирамиды, проходящее через вершину А и середины М и Р ребер SB и SD. Определить, в каком отношении сечение делит ребро SC.
11. Длина ребра куба АВСDА₁B₁С₁D₁ равна а. На ребрах AD и В₁C₁ взяты соответственно точки М и Q, а на ребре CD — точки Р и N так, что | AM | = | C₁Q | = | СР | = | DN | = а/3. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через прямую МР параллельно прямой NQ, и найти площадь этого сечения.
12. Длины ребер АС и BD тетраэдра ABCD равны соответственно а и b, угол между прямыми АС и BD равен φ. Найти наибольшую площадь сечения тетраэдра, параллельного прямым АС и BD.
13. Даны прямая а и плоскость γ, точки А₁ и А₂ лежат на прямой а (А₁ ≠ А₂), точки М, N и Р, не лежащие на одной прямой, принадлежат плоскости γ. Доказать: для того чтобы прямая а и плоскость γ были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы векторы , и были компланарны, т. е. чтобы существовали числа α и β такие, что = α + β
14. Точки М, N и Р соответственно — середины ребер AB, CD и ВС тетраэдра ABCD. Через точку Р проведена плоскость, параллельная прямым DM и AN. В каком отношении эта плоскость разделяет ребро AD?
15. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ из вершин А₁ и В опущены перпендикуляры A₁P и BQ на диагональ AC₁. Найти длину отрезка PQ, если | AB | = а, | AD | = b, | AA₁ | = c.
16. Каждое ребро правильной призмы АВСА₁B₁C₁ имеет длину а. На диагоналях АВ₁ и BC₁ граней призмы взяты соответственно точки М и N так, что (MN) ⊥ (AB), | MN | = a/√3. В каком отношении точки М и N делят отрезки АВ₁ и ВС₁?
17. Доказать, что если плоскость параллельна одной из двух параллельных прямых, то она параллельна и другой прямой.
18. Две прямые одной плоскости параллельны двум прямым другой плоскости. Следует ли отсюда, что эти плоскости параллельны?
19. Две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны другой плоскости. Доказать, что эти плоскости параллельны.
20. Две плоскости параллельны. Доказать, что прямая, параллельная одной из этих плоскостей, параллельна и другой плоскости.
21. Доказать, что если прямая параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей, то она параллельна их линии пересечения.
22. Как следует провести плоскость γ, чтобы она пересекала две данные плоскости α и β по параллельным прямым?
23. Доказать, что через данную прямую можно провести плоскость, параллельную другой данной прямой. При каком условии такая плоскость единственная?
24. Доказать, что через любую точку можно провести плоскость и притом только одну, параллельную двум данным скрещивающимся прямым.
25. Даны скрещивающиеся прямые а и b и точка М. Построить прямую, проходящую через М и пересекающую а и b. Найти множество всех точек М, для которых задача не имеет решения.
26. Даны три попарно скрещивающиеся прямые. Доказать, что существует прямая, пересекающая эти три данные прямые. Единственна ли такая прямая?
27. Могут ли параллельные проекции скрещивающихся прямых на плоскость: а) быть параллельными; б) совпадать?
28. Может ли параллельная проекция тетраэдра на плоскость быть: а) трапецией; б) параллелограммом; в) пятиугольником?
29. Может ли параллельная проекция параллелепипеда на плоскость быть: а) трапецией; б) пятиугольником; в) шестиугольником?
30. Доказать, что если параллельная проекция плоского четырехугольника на плоскость есть параллелограмм, то и сам четырехугольник — параллелограмм.
31. Параллельная проекция равностороннего треугольника на плоскость оказалась равносторонним треугольником. Доказать, что длины сторон этих треугольников равны.
32. В четырехугольной призме одна из диагоналей пересекает три другие. Доказать, что эта призма — параллелепипед.
33. Скрещивающиеся диагонали АВ₁, BC₁, CD₁, DA₁ граней параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ имеют равные длины. Доказать, что грани ABCD и A₁B₁C₁D₁ — ромбы, а остальные грани — прямоугольники.
34. На ребрах SA, SB и SC пирамиды SABC расположены соответственно точки А₁, B₁ и C₁. Прямые A₁B₁, B₁C₁ и С₁А₁ пересекают соответственно прямые АВ, ВС и СА в точках М, N и Р. Доказать, что точки М, N и Р лежат на одной прямой.
35. На ребрах АВ и CD правильного тетраэдра ABCD расположены соответственно точки М а Р так, что | AM | : | АВ | = | DP | : | DC | = 1 : 3. Найти площадь сечения тетраэдра, проведенного через точки М и Р параллельно прямой АС, если ребро тетраэдра имеет длину а.
36. На ребрах АА₁, CC₁, C₁D₁ параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ расположены соответственно точки М, N и Р так, что | AM | : | АА₁ | = | C₁N | : | C₁C | = | C₁P | : | С₁D₁ |. Построить точку Q пересечения плоскости MNP с прямой ВС и найти отношение | BQ | : | ВС |.
37. Плоскость пересекает боковые ребра AA₁, BB₁, СС₁ и DD₁ параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ соответственно в точках М, N, Р и Q, причем | AM | : | АА₁ | = m, | BN | : | BB₁ | = n, | СР | : | СС₁ | = р. Найти отношение | DQ | : | DD₁ |.
38. Через вершину С тетраэдра ABCD и середины ребер AD и BD проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость разделит отрезок MN, где М и N — соответственно середины ребер АВ и CD.
39. На ребрах А₁В₁, АВ и СС₁ призмы ABCA₁B₁C₁ расположены соответственно точки М, N и Р так, что | A₁M | : | A₁В₁ | = | BN | : | ВА | = | C₁P | : | С₁С | = 1 : 2. Построить точку Q пересечения плоскости MNP с прямой B₁C₁ и найти отношение | C₁Q | : | B₁C₁ |.
40. В призме АВСА₁В₁C₁ медианы основания ABC пересекаются в точке М, а диагонали граней AA₁C₁C и ВВ₁С₁С — в точках N и Р соответственно. Плоскость MNP пересекает прямые В₁С₁ и СС₁ в точках К и L соответственно. Построить сечение призмы этой плоскостью, и найти отношения | В₁К | : | В₁С₁ | и | C₁L | : | СС₁ |.
41. Плоскость пересекает ребра АВ, АС, СС₁ и BB₁ призмы АВСА₁В₁С₁ соответственно в точках К, L, М и N. Площади фигур AKL, CLM и CMNB равны соответственно 1/6, 1/12 и 1/2 площади той грани, в которой каждая из них находится. Найти отношение площади треугольника BKN к площади грани AA₁B₁B.
42. В тетраэдре ABCD через середину М ребра AD, вершину С и точку N ребра BD такую, что | BN | : | ND | = 2 : 1, проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость разделяет отрезок KL, где К и L — соответственно середины ребер АВ и CD?
43. Основанием пирамиды SABCD служит параллелограмм ABCD. На ребре SD взята точка L так, что | SL | : | LD | = 2, точка К — середина ребра SB. Построить сечение пирамиды плоскостью AKL и определить, в каком отношении эта плоскость делит ребро SC.
44. Основанием пирамиды SABCD служит трапеция ABCD. Отношение длин оснований AD и ВС этой трапеции равно 2. Построить сечение пирамиды, проходящее через вершину D и середины ребер SA и SB. Определить, в каком отношении сечение делит ребро SC.
45. Через середины М и N соответственно ребер АА₁ и C₁D₁ параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ проведено сечение, параллельное диагонали BD основания. Построить сечение и определить, в каком отношении оно делит диагональ A₁C параллелепипеда.
46. Через середины М и N ребер AD и СС₁ параллелепипеда проведена плоскость параллельно диагонали DB₁ параллелепипеда. В каком отношении эта плоскость делит ребро ВВ₁?
47. Точки О и О₁ – центры граней ABCD и A₁B₁C₁D₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁. На отрезке OO₁ взята точка S так, что | O₁S | : | OS | = 1 : 3. Через эту точку проведено сечение куба, параллельное его диагонали АС₁ и диагонали BD основания. Найти площадь сечения, если ребро куба имеет длину а.
48. Среди всех сечений куба, проходящих через его диагональ, указать то, которое имеет наименьшую площадь. Найти эту площадь, если ребро куба имеет длину а.
49. Рассматриваются сечения параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостями, параллельными скрещивающимся диагоналям АВ₁ и ВС₁ граней AA₁B₁B и ВВ₁С₁С. Указать сечение с максимальной площадью.
50. Плоскость пересекает ребра АВ, AC, DC и DB тетраэдра соответственно в точках М, N, Р и Q, причем | AM | : | MB | = m, | AN | : | NC | = n, | DP | : | PC | = р. Найти отношение | DQ | : | QB |.
51. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания имеет длину а, а боковое ребро — длину l. Параллельно ребру SA и диагонали BD основания проводятся сечения. Найти наибольшую площадь сечения.
52. Все ребра правильной призмы АВСА₁В₁С₁ имеют длину а. Рассматриваются отрезки с концами на диагоналях ВС₁ и СА₁ боковых граней, параллельные плоскости ABB₁A₁.
    • Один из этих отрезков проведен через точку M диагонали ВС₁ такую, что | ВМ | : | ВС₁ | = 1 : 3. Найти его длину.
    • Найти наименьшую длину всех рассматриваемых отрезков.
53. В треугольной призме АВСА₁В₁С₁ точки М и N — середины боковых ребер BB₁ и CC₁. Через точку O пересечения медиан треугольника ABC проведена прямая, пересекающая прямые MN и АВ₁ соответственно в точках Р и Q. Найти отношение | PQ | : | OQ |.
54. В тетраэдре ABCD проведены медианы AM и DN граней ACD и ADB, и на этих медианах взяты соответственно точки Е и F так, что (EF) || (ВС). Найти отношение | EF | : | BC |.
55. В призме АВСА₁В₁С₁ медианы оснований ABC и A₁В₁С₁ пересекаются соответственно в точках О и О₁. Через середину отрезка OO₁, проведена прямая, параллельная прямой СА₁. Найти длину отрезка этой прямой, лежащего внутри призмы, если | СА₁ | = а.
56. Основанием пирамиды SABCD служит параллелограмм ABCD, диагонали которого пересекаются в точке О. Через середину отрезка SO проведена прямая, параллельная медиане ВМ грани SAB. Найти длину отрезка этой прямой, лежащего внутри пирамиды, если | ВМ | = а.
57. На ребрах AD и BD тетраэдра ABCD взяты соответственно точки М и N так, что | AM | : | AD | = | BN | : | BD | = m. Найти расстояние между точками пересечения медиан треугольников ANС и ВМС, если | АВ | = а.
58. Ребро правильного тетраэдра имеет длину а. Через вершину тетраэдра проведено сечение, являющееся треугольником. Доказать, что периметр р сечения удовлетворяет неравенствам 2а < р ≤ 3а.
59. Даны точки А, В, С, D. Точки М и N — середины отрезков АВ и CD, точка О – середина отрезка MN (если отрезок вырождается в точку, то его середину считаем совпадающей с этой точкой). Доказать, что для любой точки S SA + SB + SC + SD = 4 SO.
60. Дан тетраэдр ABCD. Доказать, что существует и притом только одна точка М такая, что МА + МВ + МС + МD = 0.
61. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ точки М и N — середины ребер АВ и A₁D₁. Плоскость СМN пересекает прямые B₁C₁ и DB₁ соответственно в точках Р и Q. Найти разложения векторов АР и AQ по векторам АВ = a, AD = b, AA₁ = с.
62. Даны четыре различные точки А, В, С, D. На отрезках АС и BD взяты соответственно точки М и N так, что | AM | = λ | AC |, | BN | = λ | ВР |. Доказать, что векторы АВ , CD и MN компланарны, и найти разложение вектора MN по векторам АВ и CD.
63. Даны четыре различные точки А, В, С, D. Точки М и N — середины отрезков ВС и AD соответственно. Доказать, что если , то (АВ) || (CD).
64. Даны скрещивающиеся прямые a и b и на них соответственно точки А₁, А₂, А₃ и В₁ В₂, В₃ (А₂ между А₁ и А₃, В₂ между В₁ и В₃). Известно, что | А₁А₂ | : | А₂А₃ | = | В₁В₂ | : | В₂В₃ |. Доказать, что середины отрезков А₁В₁, А₂В₂, А₃В₃ лежат на одной прямой.
65. ABCDA₁B₁C₁D₁ — параллелепипед. Проведена прямая, пересекающая прямые АА₁, ВС и С₁D₁ соответственно в точках М, N и Р так, что | MN | : | МР | = 2. Найти отношение | BN |: | ВС | (найти все решения).
66. Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ имеет длину а. На прямой ВС₁ взята точка М так, что прямые DA₁, AB₁ и D₁M параллельны одной плоскости. Найти длину отрезка D₁M.
67. На ребре AD и диагонали А₁С параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взяты соответственно точки М и N так, что прямая MN параллельна плоскости BDC₁ и | AM | : | AD | = 1 : 5. Найти отношение | CN | : | CA₁ |.
68. Даны четыре точки А, В, С, О, не лежащие в одной плоскости. Доказать, что для того чтобы точка М лежала в плоскости ABC, необходимо и достаточно, чтобы существовали три числа х, у, z, удовлетворяющие двум условиям: ОМ = х ОА + у ОВ + z OC, х + у + z = 1.
69. Основанием четырехугольной пирамиды SABCD служит параллелограмм ABCD. Плоскость пересекает ребра SA, SB, SC и SD соответственно в точках М, N, Р и Q. Пусть | SA | : | SM | = m, | SB | : | SN | = n, | SC | : | SP | = p, | SD | : | SQ | = q. Доказать, что m + р = n + q.
70. Центр нижнего основания куба соединен прямыми с четырьмя вершинами верхнего основания. Определить углы между этими прямыми.
71. Точка К — середина ребра АА₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁. Найти угол между прямыми а) ВК и BС₁; б) ВК и AD₁; в) ВК и А₁С₁.
72. Точка М — середина ребра CD правильного тетраэдра ABCD. Найти угол между прямыми AM и ВС.
73. Точки М и N — середины ребер ВС и AD тетраэдра ABCD, в котором | АС | = | BD |, а угол между прямыми АС и BD равен α. Найти угол между прямыми MN и АС (найти все решения).
74. Все ребра правильной четырехугольной пирамиды SABCD имеют одинаковую длину. Найти угол между прямыми: a) AM и BN, где М и N — середины ребер SB и SC соответственно; б) SP и BN, где Р — середина ребра АВ.
75. В тетраэдре ABCD известно, что | AC | = | BD | и (АС) ⊥ (BD). На ребрах AD и СВ взяты соответственно точки М и N так, что | AM | : | AD | = | CN | : | СВ | и . Найти отношение | AM | : | AD |.
76. Ребра АВ и CD тетраэдра ABCD перпендикулярны и | АВ | = | CD | = а. На ребре АВ взяты точки М и N, а на ребре CD - точки Р и Q так, что | АМ | = | NB | = | СР | = | QD | = λа (λ < 1/2). Найти расстояние между серединами отрезков МР и NQ.
77. Даны три некомпланарных вектора. Существует ли четвертый вектор, перпендикулярный трем данным?
78. Даны три попарно перпендикулярные прямые. Четвертая прямая образует с данными прямыми соответственно углы ось α₁, α₂, α₃. Доказать, что cos²α₁ + cos²α₂ + cos²α₃ = 1.
79. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Доказать, что
80. В тетраэдре ABCD известно, что , | AD | = | CD | = | ВС |. Найти угол между прямыми AD и ВС.
81. Точка М — середина ребра А₁В₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁, а точка N — центр грани АВВ₁А₁. Найти угол между прямыми MD и CN.
82. Два ребра тетраэдра перпендикулярны скрещивающимся с ними ребрам. Доказать, что и два других скрещивающихся ребра тетраэдра перпендикулярны.
83. Отрезок АВ является общим перпендикуляром к скрещивающимся прямым l₁ и l₂ (A ∈ l₁, B ∈ l₂). На прямых l₁ и l₂ взяты соответственно точки С и D так, что | AС | = | BD | = | АВ | = | CD | ⁄ 2. Найти угол между прямыми l₁ и l₂.
84. Угол между скрещивающимися прямыми l₁ и l₂ равен α, отрезок АВ является их общим перпендикуляром (A ∈ l₁, B ∈ l₂). На прямых l₁ и l₂ взяты соответственно точки С и D так, что | АС | = | BD | = а, | CD | = b. Найти | АВ | (найти все решения). При каком соотношении между а и b задача имеет решение при любом α?
85. Сторона основания правильной треугольной призмы имеет длину а, две непересекающиеся диагонали боковых граней призмы перпендикулярны. Найти длину бокового ребра призмы.
86. На диагоналях граней D₁A, А₁В, В₁С, C₁D куба ABCDA₁B₁C₁D₁), взяты соответственно точки М, N, P, Q так, что | D₁M | : | D₁A | = | BN | : | BA₁ | = | B₁P | : | B₁C | = | DQ | : | DC₁ | = λ, а прямые MN и PQ перпендикулярны. Найти λ.
87. Все ребра правильной призмы АВСА₁В₁С₁ имеют длину а. Рассматриваются отрезки с концами на прямых АВ₁ и ВС₁, перпендикулярные прямой АС₁. Найти наименьшую длину таких отрезков.
88. Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ имеет длину а. На диагоналях D₁A и А₁В взяты соответственно точки М и N так, что | D₁M | : | D₁A | = | NB | : | А₁В | = 1 : 3. Найти расстояние от вершины С до прямой MN.
89. Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ имеет длину а. На прямой ВС, взята точка М так, что прямые D₁M, DA₁, АВ₁ параллельны одной плоскости. Найти: а) расстояние от точки М до прямой АВ₁; б) площадь сечения куба плоскостью MD₁B₁.
90. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известно, что | AD | : | DC | = n. В каком отношении общий перпендикуляр прямых АА₁ и B₁D делит отрезки АА₁ и B₁D?
91. В правильном тетраэдре ABCD проведены высоты DE и BF граней ABD и BDC. В каком отношении разделены отрезки DE и BF основаниями их общего перпендикуляра?
92. Длина каждого ребра параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равна а, все плоские углы при вершине А имеют величину π/3. Определить расстояние между прямыми АС и DB₁.
93. Длина ребра правильного тетраэдра ABCD равна a. Точка Е - середина ребра CD, точка F — середина высоты BL грани ABD. Отрезок MN с концами на прямых AD и ВС пересекает прямую EF и перпендикулярен ей. Найти длину этого отрезка.
94. Длины ребер АВ и ВС прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равны соответственно а и 2а. Известно, что существует прямая, пересекающая прямые АА₁, ВС и C₁D₁ и образующая с ними равные углы. Найти длину ребра АА₁ (найти все решения).
95. Сторона основания ABC правильной призмы АВСА₁В₁С₁ равна а. Точки М и N — ередины ребер АС и А₁В₁ соответственно, точки М₁ и N, — основания перпендикуляров, опущенных из точек М и N на прямую ВС₁. Найти длину бокового ребра призмы, если .
96. Пусть S - площадь треугольника ABC. Доказать, что.
97. Длина ребра правильного тетраэдра ABCD равна а. На ребрах AD и BD взяты соответственно точки Е и F так, что | DE | : | ЕА | = | BF | : | FD | = 2. Найти площадь треугольника CEF.
98. Даны четыре вектора a, b, c и d. Векторы a, b, c компланарны, но попарно не коллинеарны, вектор d не компланарен с векторами a, b, c. Известно, что . Найти угол между векторами d и c.
99. Четыре луча, выходящие из одной вершины, образуют попарно углы равной величины. Найти эту величину.
100. Длина ребра куба равна а. Найти сумму скалярных произведений векторов, начала которых находятся в центре куба, а концы в его вершинах.
101. Даны точки А, В, С, О, причем точки А, В и С не лежат на одной прямой. Известно, что для любых точек М величина у (М) = | МА |² + | MB |² + | МС |² - 3 | МО |² имеет одно и то же значение. Доказать, что О — точка пересечения медиан треугольника ABC.
102. В пространстве даны различные точки А, В, С, D, не лежащие на одной прямой. Пусть S — произвольная точка пространства, обозначим у (S) = | SA |² + | SC |² - | SB |² - | SD |². Доказать, что:
     а) y(S) имеет одно и то же значение для всех точек пространства тогда и только тогда, когда точки А, В, С, D являются вершинами параллелограмма;
     б) если существуют четыре такие точки S₁, S₂, S₃, S₄, не лежащие в одной плоскости, что у (S₁) = у (S₂) = у (S₃) = у (S₄) = 0, то А, В, С, D — вершины прямоугольника. Для данной величины у₀ найти множество точек S пространства, для которых у (S) = у₀.
103. Основание пирамиды — правильный восьмиугольник со стороной длины а, вершина пирамиды удалена от центра основания на расстояние b. Найти сумму квадратов длин боковых ребер.
104. Даны точки А, В, С и D. Найти точку М такую, что величина | МА |² + | MB |² + | МС |² + | MD |² имеет наименьшее значение.
105. Доказать, что для любых четырех точек А, В, С, D.
106. В пространстве даны четыре точки А, В, С и D (А ≠ С, В ≠ D), точки Р и Q соответственно — середины отрезков АС и BD. Доказать, что | АВ |² + | ВС |² + | CD |² + | AD |² = | AC |² + | BD |² + 4 | PQ |².
107. Даны точки А, В, С, D (А ≠ В, С ≠ D). Доказать: для того чтобы прямые АВ и CD были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы 2 | АВ | · | CD | = || AD |² + | ВС |² - | AC |² - | BD |² |.