Обзор задач 1

МЕНЮ

Решить уравнение
Решение. При решении логарифмических и показательных уравнений нахождение области допустимых значений иногда бывает очень трудоемким процессом. Поэтому гораздо легче формально найти корни уравнения (пусть даже посторонние), а затем для каждого из полученных значений переменной сделать проверку.
Это уравнение относится к классу показательных. Первый шаг в алгоритме решения показательных уравнений - приведение всех членов уравнения в степень с одинаковым основанием. Поэтому исходное уравнение преобразуем в (2^{x + 1} - 2^x)^x = 2^{3 x}·2^{- 2},
(2^x·(2 - 1))^x = 2^{3 x}·2^{- 2},
2^x² = 2^{3 x - 2}. из равенства степеней с одинаковыми основаниями, положительными, отличными от единицы отдует равенство показателей x² = 3 x - 2. Перенеся все члены уравнения в одну часть, получим квадратное уравнение х² - З х + 2 = 0, корнями которого являются x₁ = 1 и х₂ = 2. Для самоконтроля можно сделать проверку.
Решить уравнение .

Решение. Разделим числитель и знаменатель дроби, стоящей в левой частиуравнения, на выражение , предполагая, что ≠ 0. Получим уравнение . Полагая , приходим к системе Из первого уравнения находим ; тогда второе уравнение примет вид u³ = u, откуда u = 0, или u = 1, или u = - 1. Последний корень не удовлетворяет первому уравнению системы, так как обращает знаменатель дроби ( u - 1 )/( u + 1 ) в нуль. Первые два корня дают х = 7 или x= 6. Проверка показывает, что эти числа удовлетворяют данному уравнению.
Остаётся рассмотреть исключённый ранее случай = 0, т.е. х = 5. Подставляя это значение в данное уравнение, заключаем, что х = 5 – корень уравнения.
Решить уравнение .
Решение. Пусть , . Тогда уравнение сводится к следующей системе Вычитая второе уравнение из третьего, получаем систему двух уравнений с новыми переменными u, v: Найдём множество решений этой системы; имеем Используя одну из зависимостей u³ = x - 2, или v² = x + 1, находим множество корней данного уравнения. Окончательно получаем ответ: { 3 }.
Решить уравнение .
Решение. Одним из приемов его решения является преобразование всех его членов к тригонометрическим функциям с одним аргументом. Тогда, используя формулу двойного угла для синуса, получаем Произведение двух или нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а другие при этом не теряют смысла. Поэтому , (1) или , (2) Второе уравнение относится к однородным тригонометрическим. Для решения этого уравнения разделим обе его части на · ≠ 0, иначе из уравнения будет следовать, что и , а одновременно синус и косинус одного аргумента не могут быть равны нулю. Итак, , откуда х = - π + 4 π k, где k Î Z. При x₁ = 4 π k, где k Î Z выражение имеет смысл, а при x₂ = - π + 4 π k, где k Î Z.
В правильный треугольник со стороной а вписан квадрат так, что одна из его сторон лежит на стороне треугольника. Найти площадь квадрата.
Решение. В треугольнике ABC (АВ = ВС = АС) DB является медианой, высотой и биссектрисой. Значит, Нажми на линк для просмотра рисунка Обозначим сторону квадрата MNKP через х. Тогда . Треугольники AMN и ADB подобны (оба прямоугольные и имеют общий угол А), следовательно, AM : AD = MN : DB, т.е. , откуда . Площадь квадрата со стороной х равна х².
Ответ. ед. пл.
Решить уравнение .
Решение. Введём новые неизвестные , . Тогда данное уравнение перепишется в виде u - v = 5. Очевидно, что . С учётом вышесказанного получим систему уравнений Решением этой системы будет u = 11. Таким образом, , откуда , или . Откуда видно, что х ≥ 0. Возводя в квадрат, получаем уравнение x² + 66² = 120²·x², откуда находим . Корень найден эквивалентными преобразованиями ( при оговариваемых ограничениях ), поэтому проверка не обязательна.
Решить неравенство .
Решение. Допустимыми значениями х являются только те значения х, для которых - х² + 5 x - 6 > 0,о есть 2 < x < 3, тогда 4 < x² < 9 и 8 < x³ < 27, тогда 14 < x³ + x² + x < 39 и 0 < x³ + x² + x - 14 < 25. Основание первого логарифма будет удовлетворять условию . Следовательно, , откуда получаем ответ 2 < x < 2,5 или 2,5 < x < 3.
При каких значениях параметра m уравнение | х² - 6 х | = m имеет ровно три решения?
Решение.Построим график функции y = | х² - 6 х |. Проводим горизонтали у = m при различных m. Получаем, что при m = 9 горизонталь пересекает график функции y = | х² - 6 х | в трех точках.
Ответ: 9.
При каких значениях параметра а число корней уравнения | х² - 8 | x | + 7 | = a а равно а?
Решение. Построим график функции y = | х² - 8 | x | + 7 |. Построим горизонтали у = а при различных а. Получаем, что при а = 7 горизонталь пересекает график функции y = | х² - 8 | x | + 7 | в семи точках.
Ответ: 7.
При каких значениях параметра а сумма целых корней уравнения | x - 5 | + | x - 8 | = a равна 26?
Решение. Построим график функции у = | x - 5 | + | x - 8 |. Для этого запишем функцию по-другому: Результат построения графика изображен на рисунке. Проводим горизонтали у = а при различных а.
При а = 3 получим, что уравнение | x - 5 | + | x - 8 | = 3 имеет решения х Î [5; 8]. Целые значения х этого отрезка: x = 5, x = 6, x = 7, x = 8, их сумма равна 26.
Если a > 3, то прямая у = а пересекает график функции в двух точках, симметричных относительно прямой х = 6,5. Для одной из них (с абсциссой х₁) выполняется соотношение у₁ = - 2 х₁ + 13, для другой (с абсциссой х₂) — соотношение у₂ = - 2 х₂ - 13. Но у₁ = у₂, - 2 х₁ + 13 = - 2 х₂ - 13, х₁+ х₂= 13, то есть при любом а > 3 сумма решений уравнения всегда будет равна 13. Значит, подходит только а = 3.
Ответ: 3.
( Смотри рисунок задачи ) Пусть в треугольнике ABC точка M лежит на стороне BC, точка N — на стороне AC и отрезки AM и BN пересекаются в точке O, тогда отношения отрезков связаны между собой таким образом, что, зная любые два из них, можно определить остальные по формулам: . (11.1) Приведем вывод первого соотношения (11.1). Выполним дополнительное построение в треугольнике ABC: проведем отрезок MK, параллельный отрезку BN ( Смотри рисунок). Применяя теорему о пропорциональных отрезках, получим: — из треугольника AMK; — из треугольника BNC. Заметим, что . Вывод второго соотношения (11.1) проводится аналогично.
З а м е ч а н и е. Для применения формул (11,1) в задачах полезно запомнить их «структуру»: отношение частей одного из пересекающихся внутри треугольника отрезков, считая от вершины, равно отношению отрезков на стороне, прилежащей к этой вершине, умноженному на сумму единицы и отношения отрезков противолежащей стороны, считая по направлению обхода ( Смотри рисунок) .
Задача о пересечении медиан треугольника. Пусть медианы AM и BN треугольника ABC пересекаются в точке O ( Смотри рисунок) . Найдите, в каком отношении делятся точкой пересечения медианы треугольника.
Р е ш е н и е. Так как и , (N, M — середины AC и BC соответственно), по формулам (11.1): Таким образом, получаем свойство медиан: отношение отрезков, на которые медианы разбиваются точкой пересечения, равно 2 : 1, считая от вершины.
Задача о пересечении медианы и отрезка, делящего сторону в заданном отношении. Точка N лежит на стороне AC треугольника ABC, причем AN : NC = 2 : 3 ( Смотри рисунок). Медиана треугольника AM пересекает отрезок BN в точке O. Найдите отношение BO : ON.
Согласно формулам (11.1): (по определению медианы BM = MC), по условию CN : NA = 3 : 2. Таким образом, . О т в е т: BO : ON = 5 : 2.
Задача о пересечении высоты и биссектрисы в равнобедренном треугольнике.
В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) биссектриса AD пересекает высоту BN в точке O и делит ее в отношении BO : ON = 6 : 5 (Смотри рисунок). Найдите, в каком отношении биссектриса AD делит сторону BC, и отношение AO : OD.
Р е ш е н и е. Запишем формулы (11.1), учитывая, что AN = NC (свойство высоты равнобедренного треугольника, проведенной к его основанию): , следовательно, BD : DC = 6 : 10 = 3 : 5; , следовательно, AO : OD = 8 : 3.
О т в е т: BD : DC = 3 : 5, AO : OD = 8 : 3.
Замечание. Применение формулы (11.1) позволяет решить данную задачу, не используя свойство биссектрисы угла треугольника. Для сравнения приведем решение этой задачи без использования формулы (11.1). Так как биссектриса внутреннего угла треугольника ABN делит противолежащую этому углу сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, получаем: ; учитывая, что AC = 2·AN, имеем: и, следовательно, . Для нахождения отношения AO : OD сделаем дополнительное построение: проведем DF параллельно BN. По теореме о пропорциональных отрезках получим: из треугольника ADF . Но так как AN = NC, то . Из треугольника BCN и, следовательно, .
О т в е т: BD : DC = 3 : 5, AO : OD = 8 : 3.
Задача о двух отрезках в треугольнике, делящихся при пересечении в заданном отношении. В треугольнике ABC точка Q лежит на стороне BC, точка P — на стороне AB. Отрезки AQ и CP, пересекаясь в точке O, делятся этой точкой в отношении AO : OQ = 3 : 2, CO : OP = 4 : 1 (Смотри рисунок). Найдите, в каком отношении эти отрезки делят стороны треугольника.
Р е ш е н и е. Используя формулы (11.1), запишем: , . Подставим отношения, данные в условии задачи: , следовательно, . Таким образом, После преобразований получаем BQ : QC = 1 : 2, тогда . О т в е т: AP : PB = 1 : 1, BQ : QC = 1 : 2.
Задача о пересечении в одной точке трех отрезков, проведенных из вершин треугольника к противолежащим сторонам. Пусть в треугольнике ABC точки K и M расположены на сторонах BC и AC. Отрезки AK и BM пересекаются в точке O. Проведем через вершину C и точку O прямую, которая пересечет сторону AB в точке N (Смотри рисунок). Найдем, как связаны между собой отношения отрезков, полученных на сторонах треугольника ABC.
Решение. В соответствии с формулами (11.1) запишем отношение двумя способами: и Приравняем правые части этих выражений:
. Замечая, что BK + KC = BC, имеем . Перенося все отношения в одну сторону, получим . Полученное соотношение согласуется с теоремой Чевы.
В каком отношении делит точка вписанной окружности биссектрисы треугольника со сторонами a, b, c (Смотри рисунок)?
Используя свойство биссектрисы и формулу (11.1), получим . Аналогично и .