Вариант 15

  1. Упростить .
    Ответ: 2. ( Решение примера )
  2. Упростить выражение и вычислить при α = π/16.
    Ответ: 5.
  3. Решить уравнение .
    Ответ: 1.
  4. Найти в градусах решение уравнения sin (x - 30°) + sin (x + 60°) = 1, если 0 < х < 90°.
    Ответ: 30°. ( Решение примера )
  5. Найти наименьшее натуральное число, удовлетворяющее неравенству
    .
    Ответ: 3.
  6. Вычислить , где х и у являются решением системы
    Ответ: 2.
    ( Решение примера )
  7. Найти сумму восьми первых членов арифметической прогрессии, если a4 = 22,5, d = - 2,5.
    Ответ: 170.
    ( Решение примера )
  8. В геометрической прогрессии знаменатель q = 2. Чему равно число её членов n, если bn=64, Sn = 127?
    Ответ: 7.
  9. В равнобедренном треугольнике основание равно 16 см, а боковая сторона 10 см. Вычислить площадь треугольника.
    Ответ: 48.
    ( Решение примера )
  10. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 10 см, а диагональ основания 6 см. Найти объём пирамиды.
    Ответ: 60.

Вариант 16

  1. Упростить .
    Ответ: 1. ( Решение примера )
  2. Упростить и вычислить при α = π/36.
    Ответ: -0,04.
  3. Решить уравнение log3(4·3x - 9) = x.
    Ответ: 1.
  4. Найти в градусах решение уравнения
    ,
    если 0 < х < 90°.
    Ответ: 60°. ( Решение примера )
  5. Найти наименьшее натуральное число, удовлетворяющее неравенству
    .
    Ответ: 6.
  6. Вычислить , где х и у являются решением системы
    Ответ: 7. ( Решение примера )
  7. Найти номер члена n арифметической прогрессии - 25, - 19, - 13, … , если an = 29.
    Ответ: 10. ( Решение примера )
  8. В геометрической прогрессии b1 = 1, q = 5. Чему равно n, если Sn = 156?
    Ответ: 4.
  9. Определить высоту равнобедренной трапеции, у которой длины оснований равны 26 см и 10 см, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам.
    Ответ: 12. ( Решение примера )
  10. Боковая поверхность конуса равна 2 см2. Образующая его вдвое больше радиуса основания. Найти радиус основания конуса.
    Ответ: 1.

Вариант 17

  1. Упростить .
    Ответ: 0,25.
  2. Упростить выражение и вычислить его при α = π/36.
    Ответ: 0,1.
  3. Решить уравнение .
    Ответ: 0,5.
  4. Найти в градусах решение уравнения , если 270° < x < 360°.
    Ответ: 300°.
  5. Найти наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству
    .
    Ответ: -13.
  6. Вычислить х·у, где х и у являются целыми решениями системы
    Ответ: 18.
  7. В арифметической прогрессии a1 = - 3, a15 = 39. Найти S10.
    Ответ: 105.
  8. В геометрической прогрессии b1 = 76.8, b4 = 9.6. Найти S4.
    Ответ: 144.
  9. Длина меньшей диагонали ромба равна 12 см, а его площадь равна 96 см2. Определить длину стороны ромба.
    Ответ: 10.
  10. Площадь осевого сечения конуса равна 4 см2. Определить радиус основания конуса, конуса, если его образующая наклонена к плоскости основания под углом 45°.
    Ответ: 2.

Вариант 18

  1. Упростить .
    Ответ: 0,5.
  2. Упростить выражение и вычислить его при α = π/36.
    Ответ: 0,625.
  3. Решить уравнение .
    Ответ: -7.
  4. Найти в градусах решение уравнения 2 sin2x = 1 - cos x, если 180° < x < 270°.
    Ответ: 240°.
  5. Найти наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству
    .
    Ответ: - 5.
  6. Вычислить , где х и у являются положительными решениями системы
    Ответ: 5.
  7. В арифметической прогрессии a11 = 18, a13 = 10. Найти сумму первых двадцати членов S20.
    Ответ: 400.
  8. В геометрической прогрессии q = 3, S4 = 40. Найти пятый член прогрессии b5.
    Ответ: 81.
  9. Основание равнобедренного треугольника равно 6 см, а площадь 12 см2. Найти высоту, опущенную на боковую сторону.
    Ответ: 4,8.
  10. В цилиндр, осевым сечением которого является квадрат с площадью 4 см2, вписан шар. Определить радиус этого шара.
    Ответ: 1 см.

Вариант 19

  1. Упростить выражение и вычислить при .
    Ответ: 4,5.
  2. Упростить выражение и вычислить его при α = π/16 .
    Ответ: 0,25.
  3. Решить уравнение .
    Ответ: 1.
  4. Найти в градусах решение уравнения cos2x - sin2x = 7 cos x + 3, если 90° < x < 180°.
    Ответ: 120°.
  5. Найти наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству
    .
    Ответ: - 2.
  6. Вычислить , где х и у являются решением системы
    Ответ: 4.
  7. В арифметической прогрессии известны a1 = - 2, a17 = 78. Найти сумму первых пятнадцати членов этой прогрессии.
    Ответ: 495.
  8. В геометрической прогрессии b1 = 16, b5 = 1. Найти сумму первых её пяти членов S5, если q > 0.
    Ответ: 31.
  9. Длина диагоналей параллелограмма равна соответственно 10 см и 8 см, а угол между ними равен 30°. Найти площадь этого параллелограмма.
    Ответ: 20 см2.
  10. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 4 см, а сторона основания 16 см. Найти боковое ребро.
    Ответ: 18 см.

Вариант 20

  1. Упростить .
    Ответ: 1,5.
  2. Упростить выражение и вычислить его при α = π/36.
    Ответ: 9.
  3. Решить уравнение log5(10 - 3·5x ) = x.
    Ответ: 2.
  4. Найти в градусах решение уравнения sin (x + 60°) + sin (x - 60°) = sin 2x, если - 90° £ < x < 0.
    Ответ: - 60°.
  5. Найти натуральное число, удовлетворяющее неравенству
    .
    Ответ: 1.
  6. Вычислить , где х и у являются решением системы
    Ответ: 3.
  7. В арифметической прогрессии a7 = 22, a2 = 7. Найти S8.
    Ответ: 116.
  8. Знаменатель геометрической прогрессии q = 1/2. Сумма первых восьми членов S8 = 255. Найти восьмой член этой прогрессии.
    Ответ: 1.
  9. Длины катетов прямоугольного треугольника равны 4 см и 3 см. Найти радиус описанной окружности.
    Ответ: 2,5.
  10. Площадь основания цилиндра равна 4 см2. Осевое сечение этого цилиндра есть квадрат. Найти площадь осевого сечения этого цилиндра.
    Ответ: 16.

Вариант 21

  1. Упростить выражение и вычислить его при а = 6, b = 2.
    Ответ: 3.
  2. Упростить выражение .
    Ответ: 2.
  3. Найти ненулевое решение уравнения log2( 9 - 2x ) = 3 - x.
    Ответ: 3.
  4. Найти в градусах решение уравнения 3·tg2x - sec2x = 1, если 180° < х < 270°.
    Ответ: 225°.
  5. Найти наименьшее натуральное число, удовлетворяющее неравенству
    .
    Ответ: 1.
  6. Вычислить x/y, где х и y целое положительное решение системы
    Ответ: 1,5.
  7. Сколько надо взять членов арифметической прогрессии 5, 9, 13, 17, … чтобы получить сумму, равную 10877?
    Ответ: 73.
  8. Найти сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой все члены положительны, первый член равен 4, а разность между третьим и пятым членами равна 32/81 и знаменатель является рациональным.
    Ответ: 6.
  9. Равнобедренный треугольник с основанием 6 дм описан около окружности, радиус которой равен 2 дм. Найти боковую сторону треугольника.
    Ответ: 7,8.
  10. Найти полную поверхность куба, если его диагональ равна 27 см.
    Ответ: 1458 см2.

Вариант 22

  1. Упростить .
    Ответ: 1.
  2. Упростить и вычислить его при α = π/12.
    Ответ: 0,03.
  3. Решить уравнение log2(x + 1) - log0,5(x - 1) = 3.
    Ответ: 3.
  4. Найти в градусах решение уравнения sin23x + cos 3x = 1, если 0 < х < 90°.
    Ответ: 30°.
  5. Найти наименьшее натуральное число, удовлетворяющее неравенству
    .
    Ответ: 7.
  6. Вычислить x·y, где х и у являются решением системы
    Ответ: 6.
  7. В арифметической прогрессии а1 = - 50 и d = 1,2. Найти сумму первых её 45 членов S45.
    Ответ: - 1062.
  8. В геометрической прогрессии знаменатель q = 2, сумма семи её первых членов равна 127. Найти седьмой член этой геометрической прогрессии.
    Ответ: 64.
  9. Высота ВЕ ромба АВСD, проведённая из вершины тупого угла В, делит его сторону АD на отрезки АЕ = 4 см и ED = 1 см. Определить площадь ромба.
    Ответ: 15 см2.
  10. Основанием пирамиды является прямоугольник, одна из сторон которого равна 8 см. Найти другую сторону основания, если высота пирамиды равна 12 см, а каждое из её боковых рёбер равно 13 см.
    Ответ: 6 см.

Вариант 23

  1. Упростить .
    Ответ: 0,5.
  2. Упростить и вычислить при α = π/12.
    Ответ: 0,25.
  3. Решить уравнение 2·5x - 3·5x+1 + 5x+2 = 300.
    Ответ: 2.
  4. Найти в градусах решение уравнения cos2x - 2 sin x cos x = 3 sin2x, если - 90° < х < 0.
    Ответ: - 45°.
  5. Найти наибольшее целое отрицательное число, удовлетворяющее неравенству
    .
    Ответ: - 7.
  6. Вычислить х + 3 у, где х и у являются решением системы
    Ответ: 8.
  7. Седьмой член арифметической прогрессии равен 8, а её тринадцатый член равен 26. Найти номер члена этой прогрессии, который равен 77.
    Ответ: 30.
  8. В геометрической прогрессии первый член равен 9, знаменатель её равен 3. Найти номер члена этой прогрессии, который равен 729.
    Ответ: 5.
  9. Вычислить площадь прямоугольной трапеции, у которой основания равны 7 см и 3 см, а тупой угол равен 135°.
    Ответ: 20 см2.
  10. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания соответственно равны 6 см и 6 см, а высота равна 6 см. Найти в градусах угол наклона диагонали параллелепипеда к его основанию.
    Ответ: 30°.

Вариант 24

  1. Упростить и результат вычислить при а = 4.
    Ответ: 2.
  2. Найти , если tg t = 0,75. Ответ: 7.
  3. Решить уравнение log4(log3(logxx)) = 0 .
    Ответ: 8.
  4. Найти в градусах решение уравнения cos 2x - 5 sin x - 3 = 0, если 180° < х < 270°.
    Ответ: 210°.
  5. Найти наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству
    .
    Ответ: 4.
  6. Найти сумму всех двузначных натуральных чисел.
    Ответ: 4905.
  7. Найти третий член убывающей геометрической прогрессии, если сумма третьего и десятого членов равна - 2, а произведение второго и одиннадцатого членов равно - 3.
    Ответ: - 3.
  8. Найти , где х и у есть решения системы
    Ответ: 3.
  9. В окружности проведены две пересекающиеся хорды. Одна из них делится в точке пересечения на две части 8 см и 2 см, а другая - пополам. Найти длину второй хорды.
    Ответ: 8 см.
  10. Найти полную поверхность прямого параллелепипеда, стороны основания которого 8 дм и 12 дм и образуют угол 30°, а боковое ребро равно 6 дм.
    Ответ: 226 дм2.

Вариант 25

  1. Упростить .
    Ответ: 5.
  2. Вычислить tg (2 arctg 3).
    Ответ: - 0,75.
  3. Решить уравнение .
    Ответ: -0,5.
  4. Найти в градусах решение уравнения , принадлежащее интервалу 0 < х < 90°.
    Ответ: 30°.
  5. Найти наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству
    .
    Ответ: 4.
  6. Найти х у, где х и у являются решением системы уравнений
    Ответ: 2.
  7. Найти первый член арифметической прогрессии, в которой
    Ответ: 13.
  8. В возрастающей геометрической прогрессии сумма первого и последнего членов равна 66, произведение первого и последнего членов равно 128, а сумма всех членов равна 126. Сколько членов в прогрессии?
    Ответ: 6.
  9. Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на диаметр, делит его на отрезки, разность которых равна 18 см. Длина перпендикуляра равна 12 см. Найти диаметр окружности.
    Ответ: 30 см.
  10. Основанием пирамиды служит квадрат. Одно из боковых рёбер перпендикулярно плоскости основания. Наибольшее боковое ребро равно 6 дм и наклонено к основанию под углом 45°. Найти площадь основания.
    Ответ: 9.

Вариант 26

  1. Упростить выражение и вычислить его при х = 0,13.
    Ответ: 1,13.
  2. Вычислить sin 2550°.
    Ответ: 0,5.
  3. Найти отрицательное решение уравнения 2x+1 0,5 x-1 = 5.
    Ответ: -1.
  4. Найти в градусах решение уравнения 4 tg x - 3 = ctg x, если 0 < х < 90°.
    Ответ: 45°.
  5. Найти наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству
    .
    Ответ: 4.
  6. Для отрицательного решения системы
    вычислить x + 2 y.
    Ответ: -5.
  7. Найти сумму семи членов арифметической прогрессии, если известно, что третий член прогрессии равен 8, а одиннадцатый - 17.
    Ответ: 63,875.
  8. Найти сумму членов бесконечной геометрической прогрессии с первым членом - 4,5 и знаменателем 0,75.
    Ответ: - 18.
  9. Стороны прямоугольника равны 9 дм и 16 дм. Найти сторону равновеликого ему квадрата.
    Ответ: 12 дм.
  10. Основанием пирамиды служит ромб с диагоналями 12 см и 16 см. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей ромба и равна 6,4 см. Найти полную поверхность этой пирамиды.
    Ответ: 256 см2.

Вариант 27

  1. Упростить и вычислить при .
    Ответ: 2.
  2. Вычислить выражение cos 4α tg 2α - sin 4α , если tg 2α = 3.
    Ответ: -3.
  3. Найти наибольшее решение уравнения .
    Ответ: 81.
  4. Найти в градусах наибольшее решение уравнения 4 cos 32x = cos 2x , если х (90°, 180°).
    Ответ: 150°.
  5. Найти наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству
    .
    Ответ: 2.
  6. Вычислить х/у, где х и у являются решением системы уравнений
    Ответ: 3.
  7. Найти третий член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, суммы которой равна 8/5, а второй член равен - 0,5.
    Ответ: 0,125.
  8. При делении девятого члена арифметической прогрессии на второй член этой же прогрессии в частном получается 5, а при делении тринадцатого члена этой прогрессии на её шестой член в частном получается 2 и в остатке 5. Найти первый член прогрессии.
    Ответ: 3.
  9. Длина одного из катетов прямоугольного треугольника больше длины другого на 10 см, но меньше длины гипотенузы на 10 см. Найдите длину гипотенузы.
    Ответ: 50 см.
  10. Диагональ квадратного основания правильной пирамиды равна 6 дм, высота пирамиды 15 дм. Найдите объём этой пирамиды.
    Ответ: 90 дм3.

Вариант 28

  1. Упростить выражение и вычислить при х = 4.
    Ответ: - 2,25.
  2. Найти значение выражения , если известно, что tg α = 0.5.
    Ответ: 3.
  3. Найти решение уравнения .
    Ответ: 25.
  4. Найти в градусах решение уравнения 6 sin2x = 2 + sin x, если х (180°, 270°).
    Ответ: 210°.
  5. Найти х·y, где х и у являются решением системы уравнений
    Ответ: 8.
  6. Найти наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству
    Ответ: 5.
  7. Сумма третьего и седьмого членов возрастающей арифметической прогрессии равна 6, а их произведение равно 8. Найти сумму первых 16 членов этой прогрессии.
    Ответ: 76.
  8. Сумма первых четырёх членов геометрической прогрессии равна 30, а сумма следующих четырёх - равна 480. Найти первый член этой геометрической прогрессии, если известно, что её знаменатель отрицателен.
    Ответ: - 6.
  9. Площадь ромба 60 см2, одна из его диагоналей - 10 см. Найти вторую диагональ ромба.
    Ответ: 12 см.
  10. Боковое ребро правильной шестиугольной пирамиды равно 14 дм и сторона основания - 2 дм. Вычислить объём этой пирамиды.
    Ответ: 48 дм3.