Вариант 29

  1. Упростить выражение .
    Ответ: 1.
  2. Упростить выражение .
    Ответ: 1.
  3. Решить уравнение .
    Ответ: - 5.
  4. Решить уравнение 4 cos2x - 4 cos x - 3 = 0, если х (180°, 270°).
    Ответ: 240°.
  5. Найти наибольшее отрицательное число, удовлетворяющее неравенству
    .
    Ответ: -5.
  6. Найти , где х и у удовлетворяют системе уравнений
    Ответ: 4.
  7. В возрастающей арифметической прогрессии сумма первого и пятого членов равна 26, произведение второго и четвёртого членов этой прогрессии равно 160. Найти сумму первых шести членов этой прогрессии.
    Ответ: 87.
  8. В знакоположительной геометрической прогрессии отношение четвёртого к шестому члену прогрессии равно 1/4, сумма второго и пятого члена этой прогрессии равно 216. Чему равен первый член прогрессии?
    Ответ: 12.
  9. Найти площадь прямоугольного треугольника, один из катетов которого равен 15 см, а высота, опущенная на гипотенузу, равна 12 см.
    Ответ: 150 см2.
  10. Основанием пирамиды служит ромб со стороной 15 дм. Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 45°. Большая диагональ основания равна 24 дм. Найти объём пирамиды.
    Ответ: 518 дм3.

Вариант 30

  1. Упростить выражение и вычислить при b = 16, с = 0,5.
    Ответ: 15,9375.
  2. Упростить .
    Ответ: - 1.
  3. Решить уравнение 3x + 4·3x+1 = 13.
    Ответ: 0.
  4. Найти наибольший корень уравнения 4 sin x·cos x = - , принадлежащий интервалу (90°, 180°).
    Ответ: 150°.
  5. Найти наименьшее натуральное число, удовлетворяющее неравенству
    .
    Ответ: 1.
  6. Найти 3 у + х, если х и у являются решением системы
    Ответ: 8.
  7. Сумма третьего и девятого членов арифметической прогрессии равна 8. Найти сумму первых 11 членов этой прогрессии.
    Ответ: 44.
  8. Сумма первого и третьего членов возрастающей геометрической прогрессии равна 20, а сумма первых трёх её членов равна 26. Найти первый член и знаменатель этой прогрессии.
    Ответ: 2; 3.
  9. Сумма площадей подобных треугольников равна 25 дм2. Две соответственные стороны их равны 2 дм и 1,5 дм. Найти площадь большего треугольника.
    Ответ: 16 дм2.
  10. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб, площадь которого равна 60 см2. Площади диагональных сечений параллелепипеда 72 см2 и 60 см2. Найти объём параллелепипеда.
    Ответ: 360 см3.

Вариант 31

  1. Упростить выражение .
    Ответ: 1.
  2. Упростить выражение .
    Ответ: 0,25.
  3. Найти решение уравнения 27 -1·33x = 27.
    Ответ: 2.
  4. Найти в градусах решение уравнения 2·cos2x = 1 - sin x, если 180° < х < 270°.
    Ответ: 210°.
  5. Найти наименьшее натуральное число, удовлетворяющее неравенству
    .
    Ответ: 1.
  6. Вычислить х·у, если х и у удовлетворяют системе
    Ответ: 2.
  7. Сумма третьего и девятого членов убывающей арифметической прогрессии равна 6, а их произведение равно 135/16.Найдите сумму первых 15 членов этой прогрессии.
    Ответ: 37,5.
  8. Найти сумму бесконечной убывающей знакоположительной геометрической прогрессии с первым членом -9 и пятым -1/9.
    Ответ: -13,5.
  9. Площадь трапеции равна 1024 см2, а основания - 80 см и 48 см. Найти высоту трапеции.
    Ответ: 16 см.
  10. Высота прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием равна 60 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 60°. Найти объём параллелепипеда в дециметрах кубических. Ответ: 36 дм3.

Вариант 32

  1. Упростить выражение и результат вычислить при а = 1,5 и b = 0,13.
    Ответ: 0,75.
  2. Найти значение выражения 3 tg α + ctg α , если известно .
    Ответ: -4,75.
  3. Найти наибольшее решение уравнения 4·log4 x·(5 + log4 x) = 11.
    Ответ: 2.
  4. Найти в градусах решение уравнения cos x + cos 2x = sin2x в интервале (90°, 270°).
    Ответ: 180°.
  5. Для неотрицательных х и у вычислить х + у, где х и у удовлетворяют системе
    Ответ: 3.
  6. Найти наибольшее отрицательное целое число, удовлетворяющее неравенству
    .
    Ответ: -3.
  7. Найти чётное число членов арифметической прогрессии, если первый член этой прогрессии равен 48, второй - 44, и сумма этих членов арифметической прогрессии равна 300.
    Ответ: 10.
  8. Найти сумму членов знакоположительной бесконечной геометрической прогрессии с первым членом 2, третьим членом 0,5.
    Ответ: 4.
  9. Боковые стороны трапеции продолжены до их взаимного пересечения. Найти площадь трапеции, если её основания относятся как 5:3 и площадь всего образовавшегося треугольника равна 50 см2.
    Ответ: 32 см2.
  10. Найти периметр основания правильной четырёхугольной пирамиды, если её высота равна 6 дм и апофема - 6,5 дм.
    Ответ: 20 дм.

Вариант 33

  1. Упростить выражение
    и вычислить полученное выражение при х = 0,25.
    Ответ: 0,5.
  2. Вычислить sin 4α , если ctg 2α = - 2.
    Ответ: - 0,8.
  3. Найти наименьший корень уравнения lg2x - lg x2 = 3.
    Ответ: 0,1.
  4. Найти решение уравнения 4 sin2x + 4 sin x - 3 = 0 в интервале (90°; 180°).
    Ответ: 150°.
  5. Найти наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству
    .
    Ответ: 1.
  6. Вычислить , где х и у удовлетворяют системе
    Ответ: 5.
  7. Найти число членов в арифметической прогрессии, если для неё известно, что d = - 3, a1 = 2, Sn = - 208.
    Ответ: 13.
  8. Найти первый член и знаменатель геометрической прогрессии, сумма первых трёх членов которой равна 10,5, а разность первого и четвёртого равна 31,5.
    Ответ: b1 = 3.5; q = - 2.
  9. Площадь параллелограмма равна 36 дм2, его периметр равен 30 дм, расстояние между большими сторонами 4 дм. Найти расстояние между меньшими сторонами.
    Ответ: 6 дм.
  10. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 60 см, 1 м, 36 см. Найти ребро равновеликого ему куба в сантиметрах.
    Ответ: 60 см.

Вариант 34

  1. Упростить выражение и полученное выражение вычислить при b = 7 и a = 2.
    Ответ: 4,5.
  2. Вычислить , если и 450° < α < 540°.
    Ответ: - 0,6.
  3. Найти отрицательное решение уравнения 32х+1 - 10·3х + 3 = 0.
    Ответ: - 1.
  4. Найти в градусах решение уравнения 2 sin2x - cos x = 1 в интервале (270°; 360°).
    Ответ: 300.
  5. Найти наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству
    .
    Ответ: 1.
  6. Вычислить х/у, где х и у удовлетворяют системе уравнений
    Ответ: 3.
  7. Произведение третьего и шестого членов арифметической прогрессии равно 406. При делении девятого члена этой прогрессии на её четвёртый член в частном получается 2, а в остатке 6. Найти первый член прогрессии, если её члены - целые числа.
    Ответ: 4.
  8. Найти число членов конечной геометрической прогрессии, у которой первый, второй и последний члены соответственно равны 3, 12, 3072.
    Ответ: 6.
  9. Основания трапеции относятся как 7 : 12. Одна из боковых сторон трапеции равна 3 дм. На какое расстояние следует продолжить эту сторону до пересечения с продолжением другой боковой стороны?
    Ответ: 4,2 дм.
  10. В прямоугольном параллелепипеде его измерения относятся как 1 : 2 : 3. Полная поверхность параллелепипеда равна 352 см2. Найти его объём.
    Ответ: 384 см3.

Вариант 35

  1. Упростить выражение .
    Ответ: 2.
  2. Найти ctg α, если sin α = 0,8 и α (0°; 90°).
    Ответ: 0,75.
  3. Решить уравнение (1 - 0,25 lg x) lg x = 1.
    Ответ: 100.
  4. Найти в градусах решение 2 cos2x + 8 cos x - sin2x + 6 = 0, если х [180°, 270°].
    Ответ: 180°.
  5. Найти х·у, где х и у являются решением системы
    Ответ: - 3.
  6. Найти наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству
    .
    Ответ: - 7.
  7. В арифметической прогрессии первый член равен - 20, разность равна 2. Найти число членов этой прогрессии, сумма которых равна нулю.
    Ответ: 21.
  8. Найти знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой отношения суммы кубов всех членов к сумме квадратов всех членов равно 3, а отношение всех членов к сумме квадратов всех членов равно 3/7.
    Ответ: 0,5.
  9. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см. Если один из его катетов увеличить на 4 см, то гипотенуза увеличится на 3 см. Найти меньший и больший катеты этого треугольника.
    Ответ: 5 см, 12 см.
  10. Стороны прямоугольного параллелепипеда относятся как 2 : 3 : 5. Диагональ этого параллелепипеда равна 10 см. Найти объём параллелепипеда.
    Ответ: 120 см3.

Вариант 36

  1. Упростить выражение .
    Ответ: 0,6.
  2. Вычислить , если tg α = 0,3.
    Ответ: 10/3.
  3. Найти решение уравнения .
    Ответ: 9.
  4. Найти в градусах решение уравнения sin 2x + 3 sin x = 0, если известно, что 90° ≤ x ≤ 180°.
    Ответ: 180°.
  5. Найти наименьшее натуральное число, удовлетворяющее неравенству
    .
    Ответ: 3.
  6. Найти , где х и у являются решением системы уравнений
    Ответ: 5.
  7. Найти число членов в геометрической прогрессии, если первый её член равен 32, знаменатель прогрессии q = 0,5, сумма всех этих членов равна 62.
    Ответ: 5.
  8. Найти первый член и разность арифметической прогрессии, в которой сумма второго и восьмого членов равна 10, а сумма третьего и четырнадцатого членов равна 31.
    Ответ: а1 = - 7, d = 3.
  9. В прямоугольном треугольнике один катет на 2 см меньше другого. Найти гипотенузу, если площадь этого треугольника равна 24 см2.
    Ответ: 10 см.
  10. Объём правильной четырёхугольной пирамиды равен 400 см3. Найти апофему боковой грани, если площадь основания пирамиды равна 100 см2. Ответ: 13 см.

Вариант 37

  1. Упростить выражение .
    Ответ: 8.
  2. Вычислить tg α, если известно, что sin α = 0,8 и α (0; 90°).
    Ответ: 0,75.
  3. Решить уравнение .
    Ответ: 0.
  4. Найти в градусах решение уравнения 4 cos2x - 16 sin x - 11 = 0, которое x (180°, 270°).
    Ответ: 210°.
  5. Найти наименьшее натуральное число, удовлетворяющее неравенству
    .
    Ответ: 1.
  6. Найти х2 + у2 , где х и у являются решениями системы
    Ответ: 10.
  7. Двадцатый член арифметической прогрессии равен - 16, тридцатый равен - 26. Найти сумму восемнадцати первых членов этой прогрессии.
    Ответ: - 99.
  8. Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна 18,6, разность четвёртого и первого равна 74,4. Найти четвёртый член этой геометрической прогрессии.
    Ответ: 75.
  9. В окружность, радиус которой равен 17 см, вписан прямоугольник. Найти стороны этого прямоугольника, если отношение их равно 15 : 8.
    Ответ: 30 см, 16 см.
  10. Найти радиус шара вписанного в конус, радиус основания которого равен 3 см, а высота равна 4 см.
    Ответ: 1,5 см.

Вариант 38

  1. Упростить выражение .
    Ответ: 2.
  2. Найти ctg α, если sin α = 0,8 и α (0°; 90°).
    Ответ: 0,75.
  3. Решить уравнение (1 - 0,25 lg x) lg x = 1.
    Ответ: 100.
  4. Найти в градусах решение тригонометрического уравнения 2 cos2x + 8 cos x - sin2x + 6 = 0, принадлежащее интервалу х [180°; 270°].
    Ответ: 180°.
  5. Найти х·у, где х и у являются решением системы
    Ответ: - 3.
  6. Найти наибольшее отрицательное целое число, удовлетворяющее неравенству
    .
    Ответ: - 7.
  7. Первый член арифметической прогрессии равен - 20, разность прогрессии равна 2. Найти число первых членов арифметической прогрессии, сумма которых равна нулю.
    Ответ: 21.
  8. Первый член геометрической прогрессии равен 6, частное прогрессии равно 2. Найти номер члена прогрессии равного 192.
    Ответ: 6.
  9. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5 см. Вычислить площадь треугольника, если его периметр равен 16 см.
    Ответ: 12 см2.
  10. Найти объём правильной четырёхугольной пирамиды, диагональ основания которой равно 8 см и боковое ребро равно 10 см.
    Ответ: 788 см3.

Вариант 39

  1. Упростить выражение .
    Ответ: 0.
  2. Упростить выражение .
    Ответ: 1.
  3. Найти больший корень уравнения .
    Ответ: 0,5.
  4. Найти в градусах решение уравнения cos x = ·sin2x, удовлетворяющее условию х [0°; 90°].
    Ответ: 45°.
  5. Найти наибольшее целое отрицательное число, удовлетворяющее неравенству
    .
    Ответ: - 13.
  6. Вычислить х2 + у2, где х и у являются решением системы
    Ответ: 13.
  7. Найти десятый член арифметической прогрессии, для которой
    Ответ: .
  8. Во сколько раз сумма двадцати первых членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии больше суммы десяти её первых членов?
    Ответ: .
  9. Диагонали параллелограмма равны 24 см и 28 см, а разность его сторон равна 8 см. Найти стороны параллелограмма.
    Ответ: 22 см, 14 см, 22 см, 14 см.
  10. Найти площадь диагонального сечения прямоугольного параллелепипеда, высота которого равна 12 см, а стороны основания равны 8 см, 6 см.
    Ответ: 120 см2.

Вариант 40

  1. Упростить выражение и результат вычислить при х = 1,2 и у = 4.
    Ответ: 4,3.
  2. Найти произведение корней уравнения .
    Ответ: 2.
  3. Вычислить , если и 450° < α < 540°.
    Ответ: - 0,3.
  4. Найти острый угол х (0; 90°) , удовлетворяющий уравнению 11 sin2x + 3 sin x·cos x = 0.
    Ответ: 45°.
  5. Найти наименьшее целое отрицательное число, удовлетворяющее неравенству
    .
    Ответ: - 0,6.
  6. Вычислить х·у, где х и у являются решением системы
    Ответ: 5.
  7. Пятый член арифметической прогрессии равен - 26, девятый его член равен - 46. Найти сумму первых десяти членов этой арифметической прогрессии.
    Ответ: - 285.
  8. Шестой член геометрической прогрессии равен 1, частное этой прогрессии равно 0,5. Найти сумму первых семи членов этой геометрической прогрессии.
    Ответ: 63,5.
  9. Стороны параллелограмма равны 7 см и 11 см. Найти диагонали параллелограмма, если одна из них больше другой на 2 см.
    Ответ: 14 см и 12 см.
  10. Прямоугольный треугольник, катеты которого равны а = 3 см и b = 2 см, вращается вокруг гипотенузы. Найти поверхность тела вращения.
    Ответ: 16,8π см2.

Вариант 41

  1. Упростить выражение .
  2. Решить уравнение 2 cos2x = 3 cos x - 1.
  3. Решить уравнение .
  4. Решить неравенство .
  5. Решить уравнение .
    Ответ: - 1; - 25/3;
  6. Решить систему уравнений
  7. Решить уравнение .Решение примера
  8. Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с основанием 6, если синус одного угла равен косинусу другого.
    Ответ: 3 и 2. Решение примера
  9. Три числа, сумма которых 114, можно рассматривать как три последовательных члена геометрической прогрессии или как 1 - й, 4 - й, 25 - й члены арифметической прогрессии. Найти эти числа.
    Ответ: 2, 14, 98. Решение примера
  10. Параллелограмм ABCD имеет площадь 6. Окружность с центром в точке О, расположенной на отрезке AD, касается отрезков АВ, ВС и прямой CD в точках M, N и K соответственно. Найти радиус этой окружности и стороны параллелограмма ABCD, если CK/BN = 5.

Вариант 42

  1. Упростить выражение .
  2. Решить уравнение 2 cos23 x = cos 3x.
  3. Решить уравнение − 3 ( x − 1)2 + 2 ( x − 1)·( x2 + 3) + ( x2 + 3)2 = 0.
    О т в е т; x = 0, x = − 3.
  4. Решить уравнение .
  5. Решить неравенство .
  6. Решить систему уравнений
  7. Решить уравнение .
  8. Найдите высоту равнобедренного треугольника, проведённую к его боковой стороне, равной 2, если синус одного угла равен косинусу другого.
    Ответ: 2 и .
  9. В арифметической прогрессии третий член равен 35, а пятый член равен 55. На какое число надо разделить сумму пяти членов этой прогрессии, чтобы в частном получить число, меньшее делителя на 7, а остаток от деления был бы равен половине частного?
    Ответ: 17.
  10. На основании ABCD четырёхугольной пирамиды SABCD расположена точка О. Сфера с центром в точке О касается прямых SA, SB, SC, SD в точках А, B, K, L соответственно. Известно, что AB = KL = 5 √ 2, AL = 6, ВК = 8, a отрезок SO составляет с плоскостью ABCD угол arccos (1/√ 6). Найти длины отрезков AK, OS и SD.

Вариант 43

  1. Упростить выражение
    Ответ: xy. (Решение примера)
  2. Решите систему уравнений
    Ответ: {(-9; 25), (5; 4)}. (Решение примера)
  3. Решите уравнение 3·16x + 2·81x = 5·36x.
    Ответ: {0; 1/2}. (Решение примера)
  4. При каких значениях параметра а неравенство
    a x2 + 2 (a + 1 ) x + a + 4 > 0
    выполняется для любых значениях x? (Решение примера)
  5. Для офиса решили купить четыре телефона и три факса на сумму 1470 рублей. Удалось снизить цену на телефон на 20%, и в результате за ту же покупку уплатили 1326 рубля. Найти цену факса.
    Ответ: 250 руб. (Решение примера)
  6. В прямоугольном треугольнике АВС биссектриса [АО] острого угла А делится центром О вписанной окружности в отношении | АО | : | OD | = . Найдите величины острых углов треугольника.
    Ответ: 30° и 60°. (Решение примера)
  7. В параллелепипеде АВСDA1B1C1D1 грань АВСD - квадрат со стороной 5 см; длина ребра [АА1] также равна 5 см, и это ребро образует с ребрами [АВ] и [АD] углы, равные 60°. Найдите длину диагонали [ВD1]. (Решение примера)
  8. Решите уравнение | 5 x - x2 - 5 | = x2 - 5 x + 5. (Решение примера)
  9. Решить уравнение