Билет 44

  1. Решить уравнение .
    Ответ: .
    Решение примера.
  2. В пирамиду, основанием которой служит ромб с острым углом α, вписан шар радиуса R. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом β. Найти объём пирамиды.
    Ответ: .
  3. Решить неравенство .
  4. Найти все значения х, при которых справедливо неравенство .
    Ответ: x = 2 ; 0 < x ≤ 4/5.
    Решение примера.
  5. Из пункта А кольцевого шоссе одновременно в одном направлении выехали автомобиль и мотоцикл, каждый с постоянной скоростью. Автомобиль без остановок дважды проехал по всему шоссе в одном направлении. В момент, когда автомобиль догнал мотоциклиста, мотоциклист повернул обратно, увеличил скорость на 16 км/ч и через 22,5 минуты после разворота одновременно с автомобилем прибыл в пункт А. Найти длину всего пути мотоциклиста, если этот путь на 5,25 км короче длины всего пути.
  6. Решить уравнение
  7. Решить неравенство
  8. Найти тействительные решения системы уравнений

Билет 45

  1. Из пунктов А и В, расстояние между которыми 28 км, одновременно вышли навстречу 2 пешехода. Они должны были встретиться через 3,5 часа, однако второй остановился на 0,5 часа отдохнуть, и когда они встретились, то оказалось, что первый прошёл на 2 км больше второго. Найти скорости пешеходов.
    Ответ: x = 4 км/ч y = 4 км/ч.
    Решение задачи
  2. Решить уравнение .
    Ответ:
    Решение примера.
  3. Решить уравнение .
    Ответ:
    Решение примера.
  4. Решить неравенство .
    Ответ: - 3 < x < - 1, x ≠ - 2, .
    Решение примера.
  5. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, равные стороны которого имеют каждая длину b. Боковые грани пирамиды, проходящие через эти стороны, перпендикулярны к плоскости основания и образуют между собой угол α. Угол между третьей боковой гранью и плоскостью основания равен также α. Определить радиус шара, вписанного в эту пирамиду.
    Ответ:.
    Решение примера
  6. Решите уравнение 10 x4 − 7 x2 (x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)2 = 0.

Билет 46

  1. Решить уравнение .
  2. Решить уравнение
  3. Известно, что a b + b c + c a ≥ a + b + c > 0. Каково наименьшее значение a + b + c ?
    Ответ: 3.
    Решение примера
  4. Сумма в 95 копеек составлена из пятикопеечных и десятикопеечных монет общим числом не более 14. Если все десятикопеечные монеты заменить пятачками, все пяточки десятикопеечными монетами, общая сумма уменьшится более чем в 1,5 раза. Сколько пятачков и десятикопеечных монет было первоначально?
    Ответ: (1; 9), (3; 8), (5; 7), (7; 6), (9; 5) - х - число пятикопеечных монет, у - число десятикопеечных.
    Решение примера
  5. Найти все значения параметра , для каждого из которых уравнение
    sin 2 x + sin x + sin (x - a) = sin a + sin (x + a).
    имеет ровно пять различных корней на промежутке .
    Ответ: при уравнение имеет пять корней.
    Решение примера.
  6. По окружности, длина которой равна l м, двигаются две точки со скоростями v и w ( w < v ). Через сколько времени от начала движения будут происходить последовательные встречи точек, если эти точки двигаются по одному и тому же направлению и первая точка начала двигаться на t секунд раньше второй, отставая в начальный момент на расстояние а метров от второй по ходу движения ( a < l ).

Билет 47

  1. Решить уравнение 3 tg2x + 2 = 4 cos2x.
    Ответ: .
    Решение примера
  2. Решить неравенство .
    Ответ: 0 < x < 1.
    Решение примера
  3. Решить уравнение .
    Ответ: x = 0.
    Решение примера
  4. Расстояние между станциями А и В равно 240 км. Из В по направлению к А вышел поезд. Через 30 мин навстречу ему из А вышел другой поезд, скорость которого на 12 км/час больше скорости первого поезда. Найдите скорости поездов, если известно, что они встретились на середине пути между А и В.
    Ответ: 48 км/час - скорость первого поезда; 60 км/час - скорость второго поезда.
    Решение примера
  5. Множество М состоит из всех точек плоскости, координаты которых (х; y) удовлетворяют системе неравенств
    Определить, при каких а множество М содержит отрезок [1; 2] оси Ох.
    Ответ: Множество М содержит отрезок [1; 2] оси Ох при 0 ≤ a ≤ - 7 + .
    Решение примера
  6. В треугольнике АВС сторона АВ равна 21, биссектриса BD равна , а отрезок DC равен 8. Найти периметр треугольника АВС.
    Ответ: Р (Δ ABC) = 60.
    Решение примера

Билет 48

  1. Решить уравнение 3 tg2 x - 2 cos2 x + 0,5 = 0.
    Решение примера
  2. Решить неравенство .
    Ответ: 2,5 ≤ x < 3.
    Решение примера
  3. Решить уравнение .
    Ответ: x = - 1.
    Решение примера
  4. Пешеход прошёл расстояние СМ за 3 ч. Возвращаясь, он первые 16 км шёл с той же скоростью, а затем снизил скорость на 1 км/ч, вследствие чего затратил на обратный путь на 4 мин больше, чем на путь из С в М. Чему равно расстояние между С и М?
    Ответ: 18 км.
    Решение примера
  5. Множество М состоит из всех точек плоскости, координаты которых (х; y) удовлетворяют системе неравенств
    Определить, при каких а множество М содержит отрезок [1; 2] оси Ох.
    Решение примера
  6. Внутри произвольного треугольника АВС взята произвольная точка К и через неё проведены три прямые, параллельные сторонам треугольника. Эти прямые делят треугольник АВС на шесть частей, из которых три части являются треугольниками. Площади треугольников равны S1, S2 и S3. Вычислить площадь треугольника АВС.
    Решение примера

Билет 49

  1. Решить уравнение 2 tg2 x = 3 cos2 x + 0,5.
    Решение примера
  2. Решить неравенство .
    Решение примера
  3. Решить уравнение .
    Решение примера
  4. Поезд должен был пройти 54 км. Пройдя 14 км, он был задержан с семафора на 10 мин. Увеличив после этого скорость на 10 км/час, он прибыл к месту назначения с опозданием на 2 мин. Определите первоначальную скорость поезда.
    Решение примера
  5. Множество М состоит из всех точек плоскости, координаты которых (х; y) удовлетворяют системе неравенств
    Определить, при каких а множество М содержит отрезок [- 1; 2] оси Ох.
  6. Вычислить площадь треугольника по двум сторонам a и b и биссектрисе угла между ними l.
    Решение примера

Билет 50

  1. Решить уравнение 3 tg2 x - 8 cos2 x + 1 = 0.
    Решение примера
  2. Решить неравенство .
    Решение примера
  3. Решить уравнение .
    Решение примера
  4. Велосипедист проехал 30 км от города до турбазы. На обратном пути он ехал 2 ч с той же скоростью, а затем на 3 км/ч быстрее и затратил на обратный путь на 6 мин меньше, чем на путь из города до турбазы. Какое время затратил велосипедист на обратный путь?
    Решение примера
  5. Множество М состоит из всех точек плоскости, координаты которых (х; y) удовлетворяют системе неравенств
    Определить, при каких а множество М содержит отрезок [0,5 ; 1] оси Ох.
  6. Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полуразности. Найти сумму углов при большем основании трапеции.
    Решение примера

Билет 51

  1. Решить уравнение tg2 x - 2 cos2 x + 2 = 0.
  2. Решить неравенство .
  3. Решить уравнение .
  4. Турист выехал на мопеде из пункта А в пункт В, расстояние до которого 30 км. Обратно он ехал по другой дороге, которая была на 6 км длиннее, и хотя он увеличил скорость на 3 км/ч, всё же затратил на обратный путь на 5 мин больше, чем на путь из А в В. С какой скоростью возвращался турист, если известно, что скорость мопеда не превышает 30 км/ч?
  5. Множество М состоит из всех точек плоскости, координаты которых (х; y) удовлетворяют системе неравенств
    Определить, при каких а множество М содержит отрезок [- 1; 2] оси Ох.
  6. Две стороны треугольника а и b. Найти третью сторону треугольника, если его угол, лежащий против этой стороны в два раза больше угла, лежащего против стороны b.

Билет 52

  1. Решить уравнение 2 tg2 x + 4 cos2 x = 7.
  2. Решить неравенство .
  3. Решить уравнение .
  4. Велосипедист рассчитывал проехать маршрут ВС за 2 ч. Однако, когда до пункта С оставалось 6 км из - за встречного ветра он снизил скорость на 3 км/ч и прибыл в пункт С на 6 мин позже, чем рассчитывал. Чему равна длина маршрута ВС?
  5. Множество М состоит из всех точек плоскости, координаты которых (х; y) удовлетворяют системе неравенств
    Определить, при каких а множество М содержит отрезок [-2 ; - 1] оси Ох.
  6. Треугольник АВС, угол В которого равен 2 α < π/3 , вписан в окружность радиуса R. Диаметр окружности делит угол В пополам. Касательная к окружности в точке А пересекает продолжение стороны ВС в точке М. Найти площадь треугольника АВМ.

Билет 53

  1. Решить уравнение .
    Ответ:
    Решение примера
  2. Решить неравенство .
    Ответ: .
    Решение примера
  3. Упростить выражение .
    Ответ: .
    Решение примера.
  4. Три цистерны одинакового объёма начинают одновременно заполняться водой, причём в первую цистерну поступает 120 л воды в минуту, а во вторую - 40 л. Известно, что в начальный момент времени первая цистерна пуста, а объём воды в третей цистерне в 2 раза меньше, чем во второй, и что все три цистерны будут заполнены одновременно. Сколько литров воды поступает в одну минуту в третью цистерну?
    Ответ: 90 л воды поступает в третью цистерну в минуту.
    Решение примера.
  5. От правильной четырёхугольной призмы плоскостью, проходящей через диагональ нижнего основания и одну из вершин верхнего основания, отсечена пирамида с полной поверхностью S. Найти полную поверхность призмы, если угол при вершине треугольника, получившегося в сечении, равен α .
    Ответ: - площади полной поверхности призмы.
    Решение примера.
  6. При каких значениях параметра а неравенство
    выполняется при любых значений х?
    Ответ: Система неравенств противоречива. Множество значений параметра а пусто.
    Решение примера.

Билет 54

  1. Решить уравнение .
  2. Решить неравенство .
  3. Упростить выражение .
  4. Три цистерны одинакового объёма начинают одновременно заполняться водой, причём в первую цистерну поступает 100 л воды в минуту, а во вторую - 60 л и в третью - 80 л. Известно, что в начальный момент времени первая цистерна пуста, а вторая и третья частично заполнены и что все три цистерны будут заполнены одновременно. Во сколько раз количество воды в начальный момент времени во второй цистерне больше, чем в третьей?
  5. В пирамиде с прямоугольным основанием каждое из боковых рёбер равно L, один из плоских углов при вершине равен α, а другой равен β. Определить площадь сечения, проходящего через биссектрисы углов, равных β.
  6. При каких значениях параметра а неравенство
    выполняется при любых значений х?

Билет 55

  1. Решить уравнение .
  2. Решить неравенство .
  3. Упростить выражение .
  4. Строительство туннеля велось в три смены с одинаковым планом проходки на каждую смену. Скорость проходки во вторую смену была в 1,2 раза больше, чем в первую, а в третью смену возросла на 0,6 м/ч по сравнению со второй. Вторая смена выполнила план проходки на 1 ч быстрее, чем первая, а третья смена выполнила половину плана на 3 ч быстрее, чем вторая весь план. Определите скорость проходки туннеля в первую смену.
  5. В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник с боковой стороной а, и углом при основании, равным α. Через основание треугольника, являющегося верхней гранью, и противоположную вершину нижнего основания проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол β. Определите боковую поверхность призмы и объём отсечённой четырёхугольной пирамиды.
  6. При каких значениях параметра а неравенство
    выполняется при любых значений х?

Билет 56

  1. Решить уравнение .
  2. Решить неравенство .
  3. Упростить выражение .
  4. Расстояние между двумя городами скорый поезд проходит на 4 ч быстрее товарного и на 1 час быстрее пассажирского. Найдите скорости товарного и скорого поездов, если известно, что скорость товарного составляет 0,625 от скорости пассажирского и на 50 км/ч меньше скорости скорого.
  5. Через вершину правильной четырёхугольной пирамиды под углом φ к основанию пирамиды проведена плоскость, параллельная стороне основания. Сторона основания пирамиды равна а, а плоский угол при вершине пирамиды равен α. Найти площадь сечения пирамиды.
  6. При каких значениях параметра а неравенство
    выполняется при любых значений х?

Билет 57

  1. Решить уравнение .
  2. Решить неравенство .
  3. Упростить выражение .
  4. Из пункта А по реке отправляется плот. Одновременно навстречу ему из пункта В, расположенного ниже по течению относительно пункта А, отправляется катер. Встретив плот, катер сразу поворачивает и идёт вниз по течению. Какую часть пути от А до В пройдёт плот к моменту возвращения катера в пункт В, если скорость катера в стоячей воде в 4 раза больше скорости течения реки?
  5. Правильная треугольная пирамида рассечена плоскостью, перпендикулярной к основанию и делящей две стороны основания пополам. Определить объём отсечённой пирамиды, если даны сторона а основания первоначальной пирамиды и двугранный угол α при основании.
  6. При каких значениях параметра а неравенство
    выполняется при любых значений х?

Билет 58

  1. Решить неравенство .
  2. Решить уравнение .
  3. Найти действительные решения системы уравнений
  4. Параллелограмм ABCD имеет площадь 5. Окружность с центром O, расположенной на отрезке AD, касается отрезков AB, BC и прямой CD в точках M, N и K соответственно. Найти радиус этой окружности и стороны параллелограмма ABCD, если CK/BM = 4.
  5. На основании ABCD четырёхугольной пирамиды SABCD расположена точка О. Сфера с центром в точке О касается прямых SA, SB, SC, SD в точках А, B, K, L соответственно. Известно, что AB = KL = 10 √ 2, AL = 16, ВК = 12, a отрезок SO составляет с плоскостью ABCD угол arccos (1/√ 5). Найти длины отрезков AK, OS и SD.