Билет 59

  1. Решить неравенство .
  2. Решить уравнение .
  3. Найти действительные решения системы уравнений
  4. Параллелограмм ABCD имеет площадь 7. Окружность с центром в точке О, расположенной на отрезке AD, касается отрезков АВ, ВС и прямой CD в точках M, N и K соответственно. Найти радиус этой окружности и стороны параллелограмма ABCD, если CK/NB = 6.
  5. На основании ABCD четырёхугольной пирамиды SABCD расположена точка О. Сфера с центром в точке О касается прямых SA, SB, SC, SD в точках А, B, K, L соответственно. Известно, что AB = KL = 2 √ 13, AL = 6 √ 2, ВК = 4 √ 2, a отрезок SO составляет с плоскостью ABCD угол arccos (√ 2/15). Найти длины отрезков AK, OS и SD.

Билет 60

  1. Решить неравенство
  2. Решить уравнение .
  3. Решить систему уравнений
  4. В треугольнике АВС медиана ВМ = 2, угол АВМ равен arctg (2/3), угол СВМ arctg (1/5). Найти стороны АВ, ВС и бисектрису ВЕ в треугольнике АВС.
  5. Решить систему уравнений
  6. В основании пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD. Сфера ω радиуса 15/14 с центром О касается рёбер AS, BS, AD, BC пирамиды SABCD соответственно в точках K,L, M, N, пересекает ребро АВ в точках P и Q и касается грани CDS. Известно, что прямая SO перпендикулярна плоскости ABCD и пересекает её в точке Н, , . Найти угол SBH, высоту пирамиды и её объём.

Билет 61

  1. Решить неравенство .
  2. Решить уравнение .
  3. Решить систему уравнений
  4. В треугольнике АВС медиана ВМ = 2, а угол АВМ равен arctg (2/3), угол СВМ равен arctg (1/5). Найти стороны АВ, ВС и биссектрису ВЕ треугольника АВС.
  5. Решить систему уравнений
  6. В основании пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD. Сфера ω радиуса 15/14 с центром О касается рёбер AS, BS, AD, BC пирамиды SABCD соответственно в точках K,L, M, N, пересекает ребро АВ в точках P и Q и касается грани CDS. Известно, что прямая SO перпендикулярна плоскости ABCD и пересекает её в точке Н, , . Найти угол SAB, угол SBH, высоту пирамиды и её объём.

Билет 62

  1. Решить неравенство
  2. Решить уравнение .
  3. Решить систему уравнений
  4. В треугольнике АВС медиана ВМ = 3, а угол АВМ равен arctg (5/7), угол СВМ равен arctg (1/6). Найти стороны АВ, ВС и биссектрису ВЕ треугольника АВС.
  5. Решить систему уравнений
  6. В основании пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD. Сфера ω радиуса 77/20 с центром О касается рёбер AS, BS, AD, BC пирамиды SABCD соответственно в точках K,L, M, N, пересекает ребро АВ в точках P и Q и касается грани CDS. Известно, что прямая SO перпендикулярна плоскости ABCD и пересекает её в точке Н, . Найти угол SAB, угол BSH, высоту пирамиды и её объём.

Билет 63

  1. Решить неравенство .
  2. Решить уравнение .
  3. Решить систему уравнений
  4. В треугольнике АВС медиана ВМ = 4, а угол АВМ равен arctg (1/4), угол СВМ равен arctg (3/5). Найти стороны АВ, ВС и биссектрису ВЕ треугольника АВС.
  5. Решить систему уравнений
  6. В основании пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD. Сфера ω радиуса 28/23 с центром О касается рёбер AS, BS, AD, BC пирамиды SABCD соответственно в точках K,L, M, N, пересекает ребро АВ в точках P и Q и касается грани CDS. Известно, что прямая SO перпендикулярна плоскости ABCD и пересекает её в точке Н, . Найти угол SBA, угол SAH, высоту пирамиды и её объём.

Билет 64

  1. Решить неравенство .
  2. Решить уравнение .
  3. Решить систему уравнений
  4. В треугольнике АВС медиана ВМ = 5, а угол АВМ равен arctg (1/3), угол СВМ равен arctg (1/2). Найти стороны АВ, ВС и биссектрису ВЕ треугольника АВС.
  5. Решить систему уравнений
  6. В основании пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD. Сфера ω радиуса 15/4 с центром О касается рёбер AS, BS, AD, BC пирамиды SABCD соответственно в точках K,L, M, N, пересекает ребро АВ в точках P и Q и касается грани CDS. Известно, что прямая SO перпендикулярна плоскости ABCD и пересекает её в точке Н, . Найти угол SBA, угол SAH, высоту пирамиды и её объём.

Билет 65

  1. Решить уравнение .
  2. Решить систему уравнений
  3. Решить неравенство .
  4. Высота равнобедренной трапеции ABCD равна 16, а её диагонали пересекатся в точке О. Окружность радиуса 3 с центром в точке О касается меньшего основания ВС и боковой стороны CD трапеции. Найти основания трапеции.
  5. Найти все значения параметра а, при которых уравнение
    | ax2 + 3 | = | 2 a x | + | 3 a |
    имеет хотя бы одно действительное решение.
  6. В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD, причём АВ = 1, ВС = 2. Пусть N – середина SB, М – середина SC, причём BN = MC = 3 MN. Каким может быть минимальным радиус сферы, описанной около пирамиды SABCD? Найти объём пирамиды SABCD, вписанной в эту сферу ( минимального радиуса ).

Билет 66

  1. Решить уравнение .
  2. Решить систему уравнений
  3. Решить неравенство .
  4. Диагонали ранобедренной трапеции ABCD пересекаются в точке О, а её меньшее основание ВС равно 2. Окружность радиуса 3/2 с центром в точке О касается основания ВС и боковой стороны CD трапеции. Найти основание AD и боковую сторону трапеции.
  5. Найти все значения параметра а, при которых уравнение
    | ax2 − 5 | = | 3 a x | + | 2 a |
    имеет хотя бы одно действительное решение.
  6. В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD, причём АВ = 3, SС = 8. Пусть N – середина SB, М – середина SC, причём BN = MC = 4 MN. Каким может быть минимальным радиус сферы, описанной около пирамиды SABCD? Найти объём пирамиды SABCD, вписанной в эту сферу ( минимального радиуса ).

Билет 67

  1. Решить уравнение .
  2. Решить систему уравнений
  3. Решить неравенство .
  4. Диагонали ранобедренной трапеции ABCD пересекаются в точке О, а её высота равна 4. Окружность радиуса 3/4 с центром в точке О, касается меньшего основания ВС и боковой стороны CD трапеции. Найти основание BC и диагональ трапеции.
  5. Найти все значения параметра а, при которых уравнение
    | ax2 + 4 | = | 3 a x | + | a |
    имеет хотя бы одно действительное решение.
  6. В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD, причём АВ = 3, ВС = 2. Пусть N – середина SB, М – середина SC, причём BN = MC = 3 MN. Каким может быть минимальным радиус сферы, описанной около пирамиды SABCD? Найти объём пирамиды SABCD, вписанной в эту сферу ( минимального радиуса ).

Билет 68

  1. Решить уравнение .
  2. Решить систему уравнений
  3. Решить неравенство .
  4. Меньшее основание ВС ранобедренной трапеции ABCD равно 8, диагонали её пересекаются в точке О. Окружность радиуса 6 с центром в точке О, касается меньшего основания ВС и боковой стороны CD трапеции. Найти основание AD и высоту трапеции.
  5. Найти все значения параметра а, при которых уравнение
    | ax2 − 6 | = | 2 a x | + | 3 a |
    имеет хотя бы одно действительное решение.
  6. В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD, причём АВ = 1, SС = 8. Пусть N – середина SB, М – середина SC, причём BN = MC = 4 MN. Каким может быть минимальным радиус сферы, описанной около пирамиды SABCD? Найти объём пирамиды SABCD, вписанной в эту сферу ( минимального радиуса ).

Билет 69

  1. Решить уравнение .
  2. Решить неравенство .
  3. Решить уравнение .
  4. В трапеции ABCD основания AD и ВС равны а и b соответственно, угол BCD равен α. Окружность, проходящая чарез точки B, C и D, касается прямой АВ. Найти радиус этой окружности.
  5. Решить систему уравнений .
  6. Грани АВС и ABD пирамиды ABCD ортогональны и являются равными равнобедренными треугольниками с общим основанием АВ. Известно, что АВ = 1, CD = 2. Найти угол между прямыми АС и BD, расстояние между прямыми АС и BD и радиус сферы, описанной около пирамиды ABCD.

Билет 70

  1. Решить уравнение .
  2. Решить неравенство .
  3. Решить уравнение .
  4. В трапеции ABCD основание ВС равно b, угол АВD равен α. Окружность диаметра d, проходящая чарез точки B, C и D, касается прямой АВ. Найти основание трапеции AD.
  5. Решить систему уравнений