Если F(x, y)= 0 есть уравнение линии L, то координаты всякой точки, лежащей на линии L, удовлетворяют этому уравнению. Координаты всякой точки не лежащей на линии L, не удовлетворяют этому уравнению. Следовательно, линия L есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют её уравнению.
Равносильные уравнения определяют одну и ту же линию. Например, х = у и 2х = 2у есть уравнения одной и той же прямой.
Равносильными называются уравнения, множества решений которых совпадают. Множество решений уравнения f (x, y) = 0 является множество всевозможных упорядоченных пар чисел, удовлетворяющих этому уравнению.
СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ
Если линия задана своими геометрическими свойствами, то можно составить её уравнение. Рассмотрим пример. Найти уравнение окружности радиуса R с центром О в начале координат. Заданная окружность есть геометрическое место точек, удалённых на расстояние R от начала координат. Пусть М(х, у) - произвольная точка окружности. Запишем общее свойство всех точек окружности в виде равенства ОМ = R. Выразим длину отрезка ОМ через координаты (х, у) точки М и подставим это выражение в равенство OM = R.